System lingwistyczny - wnioskowanie

1. System lingwistyczny - wnioskowanie Wnioskowanie rozmyte, nazywane też rozumowaniem przybliżonym, jest procedurą wnioskowania, która wyprowadza wnioski w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty Wnioskowanie w systemie opartym o reguły jest procesem opartym na złożeniowej zasadzie wnioskowania (Zadeh-1973) Złożeniowa reguła wnioskowania - analogie z klasyczną analizą Zadania: a) znaleźć wartość b opowiadającą wartości a przy zadanym odwzorowaniu f punktowym b) znaleźć przedział b odpowiadający przedziałowi a przy zadanym odwzorowaniu f przedziałowym

2. Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia Każda reguła może być rozważana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne występowanie określonych wartości x oraz y) z funkcją przynależności obliczaną z formuły (dla uproszczenia zapisu opuścimy dalej indeks i)

3. Operator I może być:  implikacją rozmytą w sensie klasycznym  implikacją rozmytą inżynierską (t-normą) I implikacja rozmyta w sensie klasycznym: • - jeżeli przesłanka zachodzi to konkluzja musi zachodzić • jeżeli przesłanka nie zachodzi nie potrafimy nic powiedzieć o zachodzeniu konkluzji • relacja nie może być odwrócona (nie jest symetryczna)

4. Przykłady implikacji rozmytej klasycznej: - implikacja Łukasiewicza - implikacja Kleene-Diene

5. I implikacja rozmyta w sensie inżynierskim: • implikacja zachodzi jeżeli zachodzi przesłanka i konkluzja • relacja może być odwrócona (jest symetryczna) Przykłady implikacji rozmytej inżynierskiej: - implikacja Mamdani’ego (t-norma MIN) - implikacja Larsena (t-norma PROD)

6. Niech: - relacja rozmyta określona na przestrzeni rozważań - zbiór rozmyty określona na przestrzeni rozważań oraz: - funkcja przynależności pary do relacji rozmytej - funkcja przynależnoścido zbioru rozmytego Pamiętając, że: wynik złożenia zbioru A oraz relacji F rzutowany na przestrzeń Y jest określony Złożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh’a)

7. i rzutując to przecięcie na przestrzeń Y otrzymamy funkcję wyniku złożenia w tej przestrzeni Zbiór B możemy zatem wyrazić: Używając t-normy min dla operacji przecięcia:

8. Zbiór rozmyty A i jego rozszerzenie cylindryczne Ilustracja: Relacja rozmyta F Zadanie: Dana relacja rozmyta F na przestrzeni rozważań XxY oraz zbiór rozmyty A na przestrzeni rozważań X Projekcja przecięcia F i A na przestrzeń Y Przecięcie F i A Znaleźć wynik złożenia relacji F i zbioru A określony w przestrzeni rozważań Y

9. Złożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh’a)  Jeżeli A jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A i R oznaczone jako A  R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności B(x,y) określoną wzorem: gdzie: A  jest rozszerzeniem cylindrycznym A na przestrzeń X x Y

10. Uogólniona złożeniowa reguła wnioskowania  Jeżeli A jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A i R oznaczone jako A  R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności B(x,y) określoną wzorem: gdzie: A  jest rozszerzeniem cylindrycznym A na przestrzeń X x Y

11.  Każda reguła IF-THEN może być traktowana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne pojawienie się x oraz y): R:(XxY)  [0,1] obliczana Wykorzystując złożeniową regułę wnioskowania można sformułować procedurę wnioskowania rozmytego Operator I może być typu (i) „A pociąga za sobą B” - uogólnienie implikacji klasycznej, albo typu (ii) „A powiązane z B” – operacja przecięcia realizowana t-normą

12.  Niech A, A’ oraz B będą zbiorami rozmytymi (wartościami zmiennej lingwistycznej) w przestrzeniach rozważań X, X oraz Y, odpowiednio. Załóżmy, że implikacja rozmyta A  B jest dana relacją rozmytą R określoną na X x Y. Wówczas zbiór rozmyty B’ indukowany przez fakt „x jest A’ ” oraz regułę „jeżeli x jest A to y jest B” jest określony przez funkcję przynależności: lub równoważnie:

13. Realizacje:  Podejście formalne oparte o relacje rozmyte – systemy czystej logiki rozmytej  Podejście uproszczone – wnioskowanie Mamdaniego – systemy z rozmywaniem i wyostrzaniem

14. Podejście formalne 1. Przedstaw każdą regułę IF-THEN jako relację rozmytą 2. Zagreguj posiadane relacje w jedną reprezentatywną dla całej bazy reguł 3. Mając określone wejście, użyj reguły złożeniowej dla określenia odpowiadającego mu wyjścia

15. 1. Oblicz funkcję przynależności relacji implikacji 2. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia B’ z A’ Wnioskowanie z jedną regułą Przykład graficzny:

16. Rozważmy regułę: ze zbiorami rozmytymi A oraz B danymi Niech zbiór rozmyty wejścia Praktycznie obliczenia relacyjne mogą być prowadzone w dyskretnych przestrzeniach rozważań Przykład:

17. Używając t-normy min (implikacja Mamadaniego) macierz relacji RM reguły IF-THEN otrzymujemy w postaci

18. Zbiory wejścia: przesłanki A i faktu A’ Stosując regułę złożeniową wnioskowania obliczymy zbiór wyjścia

19. Wybierając ponownie zastosowanie t-normy min jako operatora przecięcia obliczymy je dla aktualnego zbioru wejścia i relacji

20. Zbiory wyjścia: konkluzji B i faktu B’

21. Używając operatora implikacji Łukasiewicza otrzymamy macierz relacji RŁ reguły IF-THEN w postaci

22. Wybierając zastosowanie jako operatora przecięcia t-normę Łukasiewicza

23. Zbiory wyjścia: konkluzji B i faktu B’

24. Implikacja inżynierska Implikacja klasyczna • Przyjmuje wartość zero tylko, kiedy przesłanka jest prawdziwa, a konkluzja nie • Kiedy przesłanka nie jest prawdziwa, przyjmuje wartość 1 niezależnie od wartości konkluzji - Przyjmuje wartość zero kiedy tylko przesłanka lub konkluzja, bądź obydwie nie są prawdziwe Wpływ na wynik wnioskowania i wybór metody wyostrzania!

25. 1. Oblicz relację implikacji dla każdej z relacji 2. Zagreguj relacje Ri w jedną całościową 3. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia B’ z A’ Wnioskowanie z wieloma regułami

26.  Jeżeli Ri jest typu „A pociąga za sobą B” (implikacja w sensie klasycznym) reguła całościowa jest uzyskiwana za pomocą operatora przecięcia poszczególnych relacji Ri (operatora t-normy)  Jeżeli Ri jest typu „A powiązane z B” (implikacja inżynierska) reguła całościowa jest uzyskiwana za pomocą operatora połączenia poszczególnych relacji Ri (operatora s-normy) Agregacja reguł Baza reguł jest przedstawiana za pomocą agregacji relacji Ri odpowiadających poszczególnym regułom w pojedynczą relację

27. Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Tablice funkcji przynależności: Przesłanek Konkluzji

28. Baza reguł: R1: LowxLow Dziedziny lingwistyczne reguł: R1: LowxLow; R2: OKxHigh; R3: HighxLow; Macierze implikacji dla poszczególnych reguł: wybieramy t-normę MIN:

29. R2: OKxHigh R3: HighxLow

30. Agregacja reguł:

31. R1: LowxLow R = R1R2R3 R2: OKxHigh R3: HighxLow Relacje reguł graficznie i ich agregacja – graficzna ilustracja (większa rozdzielczość dyskretyzacji przestrzeni rozważań):

32. Grafik/wykres rozmyty Wykres rozmyty modelu lingwistycznego z przykładu. Ciemniejsze zacieniowanie odpowiada większemu stopniowi przynależności. Linia ciągła jest możliwą funkcją punktową reprezentującą podobną relację jak model rozmyty

33. Niech zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (raczej niskie) Wnioskowanie

34. Wybieramy t-normę złożenia - MIN: Approximately Low

35. Niech teraz zbiór rozmyty wejścia - Approximately OK (mniej więcej OK)

36. Wybieramy t-normę złożenia - MIN: Approximately High

37. Niedogodność metody formalnej: konieczność wykonywania i przechowywania wyników obliczeń relacyjnych Można pokazać, że dla przypadków 1. korzystania do reprezentacji reguł z implikacji rozmytych i dla punktowych (crisp) wejść 2. korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzw. implikacje inżynierskie) i dla wejść zarówno punktowych (crisp) jak i rozmytych schemat wnioskowania może być uproszczony przez ominięcie obliczeń relacyjnych

38. Dla korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzw. implikacje inżynierskie) i dla wejść zarówno punktowych (crisp) jak i rozmytych uproszczenia te prowadzą do powszechnie znanego schematu wnioskowania nazywanego wnioskowaniem Mamdaniego Ebrahim MAMDANI Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London

39. Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu