Wykład 8 Zrandomizowany plan blokowy

1. Wykład 8Zrandomizowany plan blokowy • Staramy się kontrolować efekty zróżnicowania badanych jednostek eksperymentalnych poprzez zapewnienie ich ``jednorodności’’ wewnątrz każdej grupy zabiegowej. • Dzielimy obiekty na bloki: • Blok to grupa podobnych obiektów • Podobieństwo dotyczy wartości zmiennych ubocznych (``zakłócających’’). • Powinniśmy uwzględniać jedynie zmienne mogące mieć wpływ na wynik eksperymentu.

2. Przykłady bloków: • Owocówki z jednej linii wsobnej • Pacjenci podobni pod względem wieku (płci, diagnozy i/lub historii choroby, itp.) • Rośliny kukurydzy rosnące na tym samym stanowisku

3. Przyporządkowanie • Obiekty dzielimy na jednorodne bloki, biorąc pod uwagę zmienne uboczne mogące mieć wpływ na wynik eksperymentu. • Dokonujemy randomizacji w obrębie każdego z bloków (losowo przyporządkowujemy obiekty z bloku do poszczególnych zabiegów). • W każdej grupie zabiegowej otrzymujemy tę samą liczbę obiektów z każdego bloku • Tak więc rozkłady zmiennych ubocznych w grupach zabiegowych są podobne.

4. Przykład Porównujemy efekt działania nowego lekarstwa z placebo: • Obiekty – ochotniczki, u których w ciągu ostatniego roku stwierdzono raka piersi • Niektóre miały lumpektomię, inne radykalną mastektomię (2) • Niektóre były po naświetlaniach, inne nie (2) • U niektórych zidentyfikowano ryzyko genetyczne BRCA1, BRCA2, u innych nie (3)

5. Dzielimy pacjentki na 223=12 bloków, tzn.: lumpektomia, naświetlania, BRCA1 lumpektomia, naświetlania, BRCA2, …. mastektomia, brak naświetlań, bez ryz. gen. W każdym bloku losowo wybrana połowa kobiet otrzymuje lekarstwo, a druga--placebo Dlatego grupy kobiet biorących lekarstwo i placebo mają podobną strukturę

6. Inne czynniki używane do blokowania: Laboratorium lub osoba dokonująca pomiarów Laboratorium lub osoba wykonująca zabieg Geografia Genetyka Czynniki socjo-ekonomiczne Blokujemy tylko względem tych czynników, które mogą mieć wpływ na odpowiedź.

7. Stratyfikacja • Jest to „blokowanie” względem zmiennej ubocznej, której wartości można uporządkować (np. ilościowej). • Dzielimy na tzw. warstwy (zamiast na bloki). • Przykłady: • Niskie, średnie, wysokie dochody • Grupy wiekowe • Stopień rozwoju choroby • Randomizujemy w obrębie każdej warstwy. • Czasami definiujemy warstwy przed próbkowaniem, aby pobrać podobną liczbę obserwacji z każdej; próbkowanie warstwowe.

8. Powiązane pary • Obserwacje występują w parach • Przykłady: • Układ blokowy dla dwu zabiegów, gdzie każdy blok składa się z dwu obiektów • Dwa pomiary na tym samym obiekcie (dwa kolejne dni, dwie strony, przed/po…) • Obserwujemy dwie grupy w czasie

9. Przykłady cd.: • Obiekty naturalnie występują w parach, takich jak pary identycznych blizniaków • Obiekty łaczymy w pary o podobnym wieku, płci, zawodzie, stanie rozwoju choroby itd. • Ten sam obiekt mierzony przy dwu okazjach

10. Test Studenta dla powiązanych par • Do produkcji butów używamy dwóch różnych materiałów: A i B. • Obserwacje: zużycie podeszew w butach noszonych przez 10 chłopców. • Każdy chłopiec ma podeszwę w jednym bucie zrobioną z materiału A, a w drugim z materiału B • Randomizujemy (A na lewy albo na prawy)

11. Zużycie podeszew

15. Hipoteza H0 : d = A - B=0 Ha : d≠ 0 Liczymy d= Y1- Y2, średnią(d), SD(d), SE(d) liczymy ts = średnia(d)/SE(d) = df = nd-1= P-wartość= Tablica wartości krytycznych z książki ``Introduction to the Practice of Statistics’’, D.S. Moore, G. P. McCabe

17. Co się stanie, jeżeli wykonamy test Studenta dla prób niezależnych ? • Ta sama hipoteza =10.63, =11.04 • =1.11 • ts=(10.63-11.04)/1.11=-0.369 • P-wartość =

18. Skąd taka rozbieżność? • Bardzo różne SE • Test dla par : SE = 0.12 • Test dla dwóch niezależnych prób: SE=1.11 • Duże zróżnicowanie między obiektami może ukryć wpływ zabiegu! • To zróżnicowanie można zneutralizować łącząc obiekty w pary (neutralizujemy wpływ zmiennej ubocznej=ruchliwość dziecka).

19. Kiedy użyć testu dla par, a kiedy testu dla niezależnych prób ? Na ogół łatwo stwierdzić, czy istnieją naturalne pary obiektów z jednej i drugiej grupy zabiegowej. Kiedy zaplanować eksperyment w oparciu o powiązane pary ? Trudniejsze: oczekujemy, że zmienne zakłócające mogą istotnie zwiększyć rozrzut wyników i staramy się utworzyć dwuelementowe bloki jednorodne ze względu na zmienne zakłócające.

20. Założenie • Test Studenta dla par jest oparty na założeniu, że różnice mają w przybliżeniu rozkład normalny.

21. Test znaków • Co zrobić jeżeli obserwacje nie mają rozkładu normalnego? • Dla dwóch niezależnych prób liczyliśmy test Wilcoxona-Manna-Whitneya. • Gdy występują sparowane obserwacje możemy zastosować prosty test znaków. • Obliczamy znak różnicy między pierwszym i drugim elementem każdej pary obserwacji. • Jeżeli zabiegi się nie różnią efektem, to p-stwo, że w dowolnej parze dostaniemy plus powinno być ½. • Liczba plusów powinna być w przybliżeniu równa liczba minusów.

22.  = p-stwo, że w dowolnej ustalonej parze pierwszy zabieg daje lepszy wynik niż drugi. H0:  = ....... HA:  ........ Dla każdej pary obserwacji zapisujemy (+) gdy y1–y2jest dodatnielub (–) gdy jest ujemne Zliczamy liczbę + (= N+) i – (= N–) (nie liczymy zer)

23. Niech n = #par z niezerowymi wynikami. Statystyka testowa Bs = max(N+, N–) dla testu dwustronnego Wartości krytyczne na kolejnym slajdzie. (dla testu jedno i dwustronnego) Odrzucamy H0, gdy Bs wartości krytycznej Można też obliczyć p-wartości korzystając ze wzoru na rozkład dwumianowy z p=½.

24. CRITICAL VALUES FOR THE SIGN TEST, N = 5..44 | Alpha | 1 Sided 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 | 2 Sided (0.10) (0.05) (0.02) (0.01) (0.005) (0.002) | ------+-------------------------------------------------+---- N | ----| 5 | 5 . . . . . 6 | 6 6 . . . . 7 | 7 7 7 . . . 8 | 7 8 8 8 . . 9 | 8 8 9 9 9 . | | 10 | 9 9 10 10 10 10 11 | 9 10 10 11 11 11 12 | 10 10 11 11 12 12 13 | 10 11 12 12 12 13 14 | 11 12 12 13 13 13 | | 15 | 12 12 13 13 14 14 16 | 12 13 14 14 14 15 17 | 13 13 14 15 15 16 18 | 13 14 15 15 16 16 19 | 14 15 15 16 16 17 | | 20 | 15 15 16 17 17 18 21 | 15 16 17 17 18 18 22 | 16 17 17 18 18 19 23 | 16 17 18 19 19 20 24 | 17 18 19 19 20 20 This public domain table was made by William Knight <http://www.math.unb.ca/~knight>

25. CRITICAL VALUES FOR THE SIGN TEST, N =25..44 | Alpha | 1 Sided 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 | 2 Sided (0.10) (0.05) (0.02) (0.01) (0.005) (0.002) | 25 | 18 18 19 20 20 21 26 | 18 19 20 20 21 22 27 | 19 20 20 21 22 22 28 | 19 20 21 22 22 23 29 | 20 21 22 22 23 24 | | 30 | 20 21 22 23 24 24 31 | 21 22 23 24 24 25 32 | 22 23 24 24 25 26 33 | 22 23 24 25 25 26 34 | 23 24 25 25 26 27 | | 35 | 23 24 25 26 27 27 36 | 24 25 26 27 27 28 37 | 24 25 27 27 28 29 38 | 25 26 27 28 29 29 39 | 26 27 28 28 29 30 | | 40 | 26 27 28 29 30 31 41 | 27 28 29 30 30 31 42 | 27 28 29 30 31 32 43 | 28 29 30 31 32 32 44 | 28 29 31 31 32 33

26. Dla testu jednostronnego • albo HAjest < 0.5 (w dowolnej parze druga obserwacja ma większą szansę być większa) (Bs = N–), • albo HAjest > 0.5 (w dowolnej parze pierwsza obserwacja ma większą szansę być większa) (Bs = N+)

27. P-wartość • Niech Y ma rozkład dwumianowy (n, 0.5) • Gdy HAjest > 0.5, wtedy Bs = N+, i P-wartośćwynosi Pr(Y  Bs ) • Gdy HAjest < 0.5, wtedy Bs = N–, i P-wartośćwynosi Pr(Y  Bs ) • Gdy HAjest 0.5, wtedy Bs = max(N+, N–), i P-wartość wynosi 2Pr(Y  Bs )

28. Przykład: przeszczepy skóry • Po dwóch stronach ciała 11 ochotników zastosowano przeszczepy skóry. • Jeden przeszczep ma dobre dopasowanie HLA z odbiorca, drugi nie. • Obserwujemy czas do odrzucenia przeszczepu (nie ma on rozkładu normalnego, więc nie można stosować testu Studenta). • Czy dobre dopasowanie HLA zwiększa czas przetrwania przeszczepu ?

31. Testu znaków używamy, gdy • dane nie mają rozkładu normalnego, lub • dane zapisane są w postaci preferencji, a nie wielkości liczbowej, np. lepsze/gorsze, mniejsze/większe itp.

32. Test znakowany Wilcoxona • Podobny do testu znaków, ale bardziej czuły • Metoda • Liczymy różnice w parach • Znajdujemy wartość bezwzględną • Przyporządkowujemy rangi wartościom bezwzględnym (1 dla najmniejszej, n dla największej) • Każdej randze przyporządkowujemy jej znak (+,-)

33. W+ : suma rang dodatnich • W- : suma rang ujemnych • Ws : min(W+, W-) • Odrzucamy H0gdy Ws≤wartość krytyczna Tabela wartości krytycznych jest dostępna w kartotece z wykładami. Źródło: http://fsweb.berry.edu/academic/education/vbissonnette/tables/wilcox_t.pdf

35. Przed & Po vs. Grupa kontrolna • Czasami obserwujemy obiekty przed i po pewnym zabiegu i mierzymy wpływ zabiegu na poszczególne obiekty • Dostajemy pary zależnych obserwacji • Czasem parujemy podobne (ze względu na zmienne zakłócające) obiekty z grupy zabiegowej i kontrolnej • Również dostajemy pary zależnych obserwacji

36. Czasami obiektów w grupie kontrolnej i zabiegowej nie można w naturalny sposób połączyć w pary • Takie obserwacje traktujemy jako dwie niezależne próby

37. Niekiedy oczekujemy, że obiekty w naturalny sposób się zmieniają w trakcie eksperymentu. Chcemy odróżnić zmiany wywołane zabiegiem od zmian wynikających z upływu czasu Obserwujemy grupę zabiegową i kontrolnąprzed i po zabiegu Obiekty w grupie kontrolnej dostarczają nam informacji, jakiej zmiany należy oczekiwać jedynie w wyniku upływu czasu. Obiekty w grupie zabiegowej dostarczają nam informacji o wpływie zabiegu Cztery grupy obserwacji

38. Możemy porównać obiekty z grupy zabiegowej przed i po zabiegu za pomocą testu dla par. Podobnie obiekty z grupy kontrolnej możemy porównać przed i po zabiegu za pomocą testu dla par. Dowiemy się czy była zmienność w każdej z grup. Naprawdę interesuje nas jednak porównanie zmian wartości cechy (między grupą zabiegową i kontrolną) Zwykle w takim przypadku analizujemy różnice po-przed za pomocą testu dla dwu niezależnych prób (zabiegowej i kontrolnej)