Základy ekonometrie

1. Základy ekonometrie Cvičení 2 27. září 2010

2. Metodologický postup • Specifikace modelu • Odhad parametrů (tj. kvantifikace) • Verifikace • Využití

3. 1. Specifikace modelu • určení proměnných • určení vzájemných vazeb mezi proměnnými • formulace hypotéz – v podobě algebraických vztahů (tj. jedné či více rovnic) • specifikace náhodných vlivů

4. 2. Odhad parametrů • využití disponibilní (tj. výběrové) informace z dat • použití vhodné odhadové techniky

5. 3. Verifikace • aneb jak se odhadnutý model shoduje s teorií a napozorovanými daty • ekonomická (jestli proměnné modelu mají správný směr a intenzitu) • statistická (ověření přesnosti a významnosti výsledků) • ekonometrická (zda byly dodrženy podmínky pro použití dané odhadové techniky a statistických testů)

6. 4. Využití • Kvalitativní a kvantitativní analýza minulého vývoje • Předpovědi (predikce, prognózy) • Volba hospodářské politiky • analýza různých scénářů • simulační experimenty

7. SPECIFIKACE MODELU • Ekonomický model • Stanovení základní hypotézy (tj. které proměnné použijeme, jak budou působit, jejich intenzita, apod.) • Slovní vyjádření • Ekonomicko-matematický model • převedení slovního vyjádření do podoby • jedné rovnice (jednorovnicový model) • soustavy rovnic (vícerovnicový model) • Ekonometrický model • zahrnutí faktoru nejistoty v podobě náhodné složky

8. Druhy proměnných v modelu I • Endogenní • tj. vysvětlované, závisle proměnné • hodnoty jsou generovány systémem či modelem • Exogenní • tj. vysvětlující, nezávisle proměnné • působí na zkoumaný systém, samy systémem nejsou ovlivňovány • jejich hodnoty jsou determinovány mimo systém

9. Druhy proměnných v modelu II • Nezpožděné endogenní proměnné • vždy v roli vysvětlovaných proměnných • Predeterminované proměnné • všechny exogenní proměnné • zpožděné endogenní proměnné Spotřebat = β1 + β2 Příjemt + β3 Spotřebat-1 Zpožděná endogenní Nezpožděná endogenní Predeterminované

10. Matematický tvar • Jednorovnicový model • Vícerovnicový model zcela nebo zdánlivě nezávislých rovnic • každou rovnici lze zkoumat buď odděleně nebo jako vícerozměrný regresní model • Simultánní model • nezpožděné endogenní proměnné jak v roli vysvětlovaných, tak vysvětlujících • lze odhadovat jen všechny rovnice najednou

11. Simultánní model

12. Analytický tvar • ekonometrie pracuje s ekonometrickými funkcemi • buď lineární v parametrech (cca 90%) • nebo nelineární, které lze zlinearizovat logaritmickou či semilogaritmickou transformací (zbývajících cca 10%) • např. Cobb-Douglasova produkční funkce • logistická křivka

13. Funkce lineární v parametrech

14. Funkce nelineární v parametrech • např. funkce mocninné • důležitou roli hraje, zda lze funkce zlinearizovat či nikoliv • nejčastějším způsobem linearizace je • logaritmická transformace

15. Konstrukce modelu • 3 fáze: • specifikace • kvantifikace (tj. naplnění modelu daty) • verifikace • ekonomická • statistická • ekonometrická

16. Klasický lineární regresní model (KLRM) • obecný model (maticový zápis): Y = Xβ + u X – matice (n x (k+1)) pozorování exogenních (resp. predeterminovaných) proměnných (vč. úrovňové konstanty) Y – vektor (n x 1) endogenních proměnných β – vektor ((k+1) x 1)parametrů u – náhodná složka, o které předpokládáme, že má normální rozdělení N(0,σ2) k - počet vysvětlujících proměnných k+1 – počet odhadovaných parametrů

17. Zápis KLRM po složkách Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + …βk XK + u • za předpokladu: n > k (k – počet vysvětlujících proměnných) • odhadnout koeficienty β – tj. určit b (resp. β^ - tj. odhady β)

18. Abstraktní X konkrétní model • klasický LRM: Y = βX + u (pracuje s úrovňovou konstantou) • model „naplníme“ daty (tj. provedeme kvantifikaci modelu) => Y = Xb + e kde Y jsou napozorované hodnoty, e jsou rezidua => kde jsou vyrovnané hodnoty, rezidua jsou 0

19. Rezidua X náhodná složka • rezidua = rozdíl mezi napozorovanými a vyrovnanými hodnotami: • náhodná složka – rozdíl mezi napozorovanými hodnotami a jejich střední hodnotou: u = Y – E(Y) Platí: náhodná složka → kvantifikace → reziduum

20. Bodová odhadová funkce b • vzniká z podmínky, aby součet čtverců reziduí byl minimální • součet čtverců reziduí: eTe b … ∑ eTe → min (podmínka pro výpočet odhadové funkce metodou nejmenších čtverců – tj. ordinary least squares)

21. Bodová odhadová funkce b b … ∑ eTe → min ? Kdy je funkce minimální ? • derivace funkce je nulová • derivace funkce je kladná

22. Odhad koeficientů β • Metoda nejmenších čtverců – nejznámější technika • funkční předpis odhadové funkce: b = (XTX)-1XTY… bodová odhad.fce - poskytuje odhady: - nestranné (resp. nevychýlené) - vydatné bT= (b0, b1, b2,… bk)

23. Nestrannost odhadu

24. Vydatnost odhadu

25. Velký výběr • počet pozorování n ≥ 30 • Konzistentní – bodový odhad b je konzistentním odhadem, jestliže jeho hodnota s rostoucím počtem pozorování n konverguje ke skutečnému=populačnímu parametru • Asymptoticky nestranný– je to slabší vlastnost, (pokud je odhad asymptoticky nestranný tak je i konzistentní) • Asymptotická vydatnost– rozptyl konverguje k nule rychleji než s použitím jiné odhadové funkce

26. Příklad Yi = (5, 4, 6, 4, 3) Xi = (3, 2, 3, 2, 3) Yi = β1 + β2 Xi + ui, i = 1, 2, ... 5 • Stanovte odhad parametrů β1 a β2, aby součet čtverců odchylek vyrovnaných hodnot od hodnot napozorovaných byl minimální • Napište odhadnutou regresní rovinu • Vypočítejte vyrovnané hodnoty • Vypočítejte rezidua ei

27. Graf – skutečná pozorování

28. Graf – regresní přímka

29. Skutečné hodnoty vs. vyrovnané