Cours 5 : symétries et lois de conservation

1. Cours 5 : symétries et lois de conservation • Symétries, lois de conservation • Spin et moment angulaire orbital • Addition des moments angulaires • Spin 1/2 • Symétries discrètes • Parité (P) • Conjugaison de charge (C) • Le renversement du temps

2. en pratique la différence entre N(quarks) et N(anti-quarks) • Toutes les interactions conservent : • L’énergie et l’impulsion • Le moment cinétique • La charge électrique • Le nombre baryonique • Les nombres leptoniques • À part les interactions faibles les autres interactions conservent: • Le nombre de quarks de chaque espèce (u,d,s,c,b,t) • La conjugaison de charge • La parité • Le renversement du temps La saveur : étrangeté charme beauté

3. Nombres quantiques conservés

4. Les symétries Symétrique par rapport à un renversement du temps t-t • Une figure a une symétrie si elle est invariante par un certain nombre de transformations • Une loi de la physique est symétrique par rapport à une transformation si la forme de l’équation exprimant la loi est invariante sous cette transformation • Symétries géométriques (rotations, translations, t-t) • Symétries internes (liées à la MQ) transformation d’Isospin, Charge

5. Un objet possède une symétrie s’il est invariant quand on lui applique une certaine transformation z Le Fuji-san est : invariant par rotation autour de l’axe z symétrie cylindrique Les physiciens s’intéressent aux symétries : un objet n’est pas symétrique “par hasard”* * Dans le cas du Fuji-san, cette symétrie est le résultat de l’éruption volcanique

6. Symétries lois de conservation en mécanique classique Position absolue non observable Loi de conservation de l’impulsion Invariance par translation   Principe de symétrie  grandeur non observable • Pas d’origine absolue de l’espace • La position absolue d’un point n’est pas observable • Les lois de la physique sont invariantes par translation L’impulsion totale est conservée

7. r Autre exemple : INVARIANCE PAR ROTATION Le moment cinétique est conservé direction absolue non observable Loi de conservation du moment cinétique Invariance par rotation   r ne varie pas avec le temps

8. Symétries lois de conservation en MQ Propriétés des transformations (opérateurs de symétries) par def d’une transformation avec |’> le transformé de |> avec |b’> le transformé de |b> Note : T peut être unitaire ou anti-unitaire (cad unitaire et anti-linéaire) Opérateur linéaire : Opérateur anti-linéaire : (on parle d’anti-unitarité car l’opérateur renversement du temps est anti-unitaire)

9. En résumé, une transformation T : |> : objet physique T : translation.  : observable (appareil de mesure). Si l’objet physique et l’appareil de mesure subissent la même translation, les résultats des mesures ne doivent pas être changés Transformation d’une observable (q) Les transformations telles que H=H’ laissent H inchangé C’est à dire si les résultats des mesures ne sont pas modifiés lorsqu’on déplace l’objet sans déplacer l’appareil de mesure (ou vice-versa) Les opérateurs de symétrie qui laissent H inchangé commutent avec H Note : Ces transformations (opérateurs) jouent un rôle important en MQ : elles permettent de définir un ECOC (Ensemble Complet d’Observables qui Commutent) et donc de spécifier univoquement tous les états propres de H (cf Cohen).

10. Importance des opérateurs de symétrie : Théorème de Ehrenfest Évolution dans le temps de la valeur moyenne d’une observable T L’observable T ne dépend pas du temps une bonne symétrie ne dépend pas explicitement de t Si T est un opérateur de symétrie [T,H]=0 Une observable T qui commute avec l’hamiltonien H (= qui est un opérateur de symétrie) est une constante du mouvement (=sa valeur moyenne est indépendante du temps)

11. Règles de sélection à à Si [T,H]=0 T commute aussi avec uneexp de H La mesure de T donne le même résultat y0 quelque soit t. Règles de sélection Si l’état d’un système est y0 à t=0 (état propre de T avec une valeur propre y0), l’état du système restera état propre de T avec la même valeur propre y0 au cours de son évolution. En théorie des perturbations :

12. Considérons le cas d’une transformation infinitésimale (au premier ordre) • Si A est une observable telle que A’=A+da On néglige les termes en da2

13. Translations On cherche la forme de T En utilisant le formalisme précédent Version quantique de ce que l’on a vu en mécanique classique [H,T]=0  Invariance par translation Conservation de l’impulsion

14. Rotations • On procède de même • La rotation d’un angle a autour d’un axe est décrite par l’opérateur Jx, Jy , Jz sont les générateurs des rotations [H,R]=0  conservation de Invariance par rotation Si un système a été préparé dans un état propre de de J2 et de Jz, il restera au cours de son évolution dans un état propre de ces 2 opérateurs, avec les mêmes valeurs propres.

15. Tentative de résumé… Quantité non observable  Invariance  Loi de conservation MQ : Opérateur(observable) qui laisse H invariant on montre qu’il commute avec H ([H,Q]=0) et (si il ne dépend pas explicitement du temps) - est une constante du mouvement - les nombres quantiques associés sont conservés (règles de sélection) L’opérateur peut être exprimé en termes d’autres opérateurs ( les générateurs) On associe à ces générateurs des lois de conservation

16. La charge électrique Nombre quantique additif : c’est une grandeur qui prend des valeurs discrètes et dont la valeur pour un système est égale à la somme de ses valeurs pour les composants du système • C’est un nombre quantique additif • Par analogie avec les rotations et les translations • SiS(a)commute avec H : conservation de la charge électrique • Dans une réaction • Puisque tous les états physiques ont une charge déterminée l’effet de ces opérateurs est de multiplier la fonction d’onde par un facteur de phase Observable : la charge électrique Opérateur de symétrie associé à la charge électrique Transformation de phase ou transformation de jauge globale On peut faire de même avec les autres nombres quantiques additifs (baryonique, leptonique…). Ces transformations qui ne font pas intervenir la situation dans l’espace sont dites symétries internes.

17. .. transformation de jauge locale • : transformation de jauge globale ne modifie pas l’Éq de Schrödinger • : transformation de jauge locale si satisfait l’équation de Schrödinger • Pour les particules chargées la solution est la suivante :en présence d’un champ elm l’Éq de Schrödinger est modifiée si on définit La forme de (*) ne change pas si

18. On peut réinterpréter ce résultat en disant que l’invariance de phase locale fait apparaître un terme de champ • L’existence d’invariance sous transformation locale implique l’existence d’une interaction électromagnétique proportionnelle à la charge q (la valeur numérique de q est à déterminer c’est un paramètre libre de la théorie)

20. Spin et moment angulaire orbital moment angulaire orbital spin • Classiquement 3 composantes : • mesurables avec la précision souhaitée • peuvent prendre n’importe quelles valeurs • MQ (Heisenberg): • Mesure de L2 et de Lz • Quantification : • L2 : • Lz: (*) (*)Les opérateurs(générateurs) des rotations forment une algèbre de commutation puisque [Ji,Jk]=iejklJl =+1(-1) permutation cyclique(anticyclique) de 1,2,3 =0 dans les autres cas. Puisque deux opérateurs J ne commutent pas entre eux, seulement les valeurs propres d’un d’entre eux (on choisit d’habitude Jz ) sont des nombres quantiques utiles. Opérateurs de Casimir : combinaisons non-linéaires des générateurs qui commutent avec tous les générateurs. Pour le groupe de rotation il y en a un seul  J2=J21+J22+J23 ; [J,Ji]=0

21. Pour le spin c’est similaire : • S2 prend les valeurs • Et Sz : Une particule peut avoir n’importe quel moment orbital mais son spin est fixé Élement. Compo.

22. Addition des moments angulaires • On a : • moment angulaire total : • Calcul de • projection suivant l’axe z m=m1+m2 • et pour J2 : • On a Proba. d’obtenir si on mesure J2 pour un système constitué de (carré du coeff. de CG) Coefficients de Clebsch-Gordan(CG)

23. Un exemple de table de coefficients de Clebsch-Gordan

24. - Vecteurs propres |j,m> • - Le sous-espace HJ qui correspond à une valeur donnée de J • est de dimension 2J+1 (prenant toutes les valeurs entre –J et J) • On peut construire les vecteurs de base de cet sous-espace à partir de l’un • d’entre eux à l’aide des opérateurs J± = Jx ± iJy • L’utilisation des bases standard permet de remplacer les opérateurs (de rotation) • par des matrice unitaires (2J+1)(2J+1) ( les matrices de rotation) • Représentation d’un Opérateur dans une base  Matrice

25. Exemple J=1/2, particule de spin 1/2 En général : combinaison linéaire matrices de Pauli Les matrices de Pauli sont hermitiennes et les matrices de transformation U(q i)=exp(-i qi si/2) sont unitaires. L’ensemble de ces matrices 22 forment le groupe U(2) qui est plus large que le groupe contenant les générateurs si, car ces matrices ont toutes une trace zéro ( groupe SU(2))

26. Il y a différentes représentations dans SU(2) Dim J 1 0 2 ½ 3 1 4 3/2 Correspond à si On dit que c’est la représentation fondamentale car on peut construire, en partant d’elle, toutes les autres représentations 1/21/2 = 01 1/21/21/2 = (0  1)1/2 = 1/2  3/2 On peut construire les multiples à partir du multiplet fondamental ½ (dim 2)

27. Quelques définitions + rappel • générateurs d’un groupe dim2 –1 (nombre de matrice indépendantes) • Rang d’un groupe = nombre de matrices diagonales, correspondant au • nombre d’opérateurs qui commutent = observables • (par ailleurs le Rang = nombre d’opérateurs de Casimir) groupe de toutes les rotations dans un espace à n dim. (nous : SO(3))

28. Hélicité s s Particule droite Particule gauche • Particule de spin • Orientation d’un axe le long de l’impulsion • Hélicité : • Valeurs propres • Si masse=0 2 valeurs propres seulement : s L’hélicité est invariante par rotation (produit scalaire de 2 vecteurs)  inclusion dans l’ECOC {J2,Jz,L} L’hélicité est invariante par transformation de Lorentz (si celle ci n’amène pas la particule au repos). L est le générateur infinitésimal d’une rotation autour de p et commute donc avec les TL qui n’affectent pas les vecteurs 

29. La parité (P) On peut aussi avoir des états sans parité bien définie : • Change z P x’ y’ y x z’ hélicité

30. Digressons … Souvent au lieu de l’opérateur Parité on introduit l’opérateur « Réflexion par rapport à un plan » que l’on peut représenter facilement : Parité = Parité + Rotation de p autour d’un plan Or puisque tous les Hamiltoniens d’interaction sont invariants par rotation on utilise indifféremment P ou P’ Le transformé par parité d’un objet s’obtient en faisant subir une rotation de p(suivant u) à son image au miroir Considérons la parité sous un autre angle. Au lieu de considérer la parité comme une opération que l’on applique à un système physique on peut l’imaginer comme une transformation qui fait passer des observations de physique faites par un physicien qui utilise un système d’AXES À DROITE aux observations faites par un autre physicien qui utilise un système d’AXES À GAUCHE.

31. En physique macroscopique : Les lois de physique sont invariantes si l’on passe d’un système d’axes DROITE  GAUCHE Les lois de physique ne permettent pas de distinguer la droite et la gauche de façon absolue  Parité conservée. De façon un peu plus formelle on dit que étant donné que l’opérateur de parité commute avec l’Hamiltonien, P est une observable, on peut donc mesurer ces nombres quantiques ± 1 et ces nombres quantiques sont conservés dans l’évolution

32. Parité d’un système de particules • Système de particules : (1) et (2) Parité e=e1e2eL Fonctions orbitales Fonctions de spin Moment angulaire orbital l Parité e=e1e2(-1)L

33. Parité intrinsèque d’une particule • une particule de spin J est décrite par une fonction de spin (scalaire, spineur,vecteur..) • Fonction de spin : elle se transforme de façon spéciale sous le groupe des rotations • Le spin est une fonction propre de P  valeur propre : parité intrinsèque JP • Opération d’inversion spatiale : pas évident pour une particule… • 1A+B • État final de 2 particules avec un mouvement relatif peut être examiné en terme de transformation de parité  parité bien définie • Si l’interaction conserve la parité parité de 1 particule définie : parité intrinsèque Donc la parité intrinsèque a un sens parce que il y a interaction et que cette interaction conserve la parité

34. Parité intrinsèque d’une particule (suite) • Il faut néanmoins définir la parité intrinsèque de certaines particules  la parité des autres est fixée par l’expérience • Exemple :e+e- Pi= Pe+Pe-= Pf= Pg2(-1)lg • Exp : on mesure lg=1  Pe+Pe-= -1 • On détermine le produit Pe+Pe-mais on ne peut pas déterminer les parités individuelles car les e+et les e- ne sont jamais créés seuls. On fixe Parité(particules) = +1 et Parité(anti-particules) = -1 cf TD

35. Conjugaison de charge (C) • particule anti-particule • C : définie pour une particule neutre ou pour un système particule-anti-particule • Désintégration p0 2 g (Cg=-1  Cp0 =1) expérimentalement : • C est conservée par l’interaction électromagnétique • C : nombre quantique multiplicatif

36. Renversement du temps t -t • En mécanique classique • En MQ c’est assez délicat, il n’y a pas d’opérateur «mesure du temps » en MQ t=t1 t=-t1 t=0 t=0 t=t1 t=-t1

37. Si on effectue le changement t-t dans l’eq de Schrödinger on a : • On voit que (x,t) et (x,-t) n’obéissent pas à la même équation. • Par contre si on prend le complexe conjugué de l’équation transformée on trouve • C’est donc *(x,-t) le transformé de (x,t) par renversement du temps. cf Messiah

38. Notes de cours

39. Composition des spins Triplet singlet 3 1 Une base est exprimée en termes d’autres bases par la relation : C : Coeff. de Clebsch-Gordan (PDG p248-249) Par exemple JA=JB= ½ J=0,1 la décomposition peut être écrite de façon symbolique en utilisant les dimensions (la taille du multiplet) pour indiquer les représentations irréductibles : 22=31 Si on rajoute une troisième particule de spin ½ : (22)2 =(32)(12) = 422 Si on veut construire les états propres (cas ½ , ½ ) : Il n’est pas nécessaire de spécifier JA=JB Exemple 1 ½ : Note : pratiquer les coefficients de C.G. Quadruplet Doublet

40. B B C A A On rappelle ici aussi que souvent on considère des réactions A+BC+D où les particules A et B ont un spin et aussi un moment orbital L. Dans un système à deux corps on introduit la distance relative et on définit par rapport à Il y a : 1 moment cinétique orbital pour un système à deux corps 2 moments cinétiques orbitaux pour un système à trois corps Combinaison des moments angulaires : on considère les spins et les moments cinétiques orbitaux

41. Système de deux particules (résumé) Mouvement relatif : Centre de masse (P=0) :

42. Triplet singlet 3 1 Échange de deux particules On considère un système de deux particules x1 et x2 . La parité du système est donnée par h = h1 h2(-1)l puisque Échange de deux particules A et B . Le nombre quantique associé à cette opération est donné par h = hA hB(-1)l+S+1 pour les fermions et hC = hA hB(-1)l+S pour les bosons. Exemple de 2 spins ½ : on obtient Symétrique sous l’échange A-B Anti-symétrique sous l’échange A-B L’opération échange de deux particules consiste en une opération de parité (échange spatial) ( hA hB(-1)l ). Puis à changer A et B ds l’expression de la f.o. de spin ( (-1)S+1 ).