APLICAÇÕES EM ESCOAMENTOS COM RE<1

1. APLICAÇÕES EM ESCOAMENTOS COM RE<1 Meios Porosos (Darcy) Tubo de Seção Variável Mancais Heleshaw

2. MEIOS POROSOS ESCOAMENTO DE DARCY

3. Porosidade (f) Vsvol. sólidos VV vol. vazios • Porosidade define a capacidade de armazenamento. • f = Vv / (VV +Vs)

4. Porosidade: arranjos com esferas • arranjo geométrico • granulometria

5. Porosidade não isotrópica Clark, 1969 Clark, 1969 • Grãos: • Arranjo (tortuosidade) • Cimentação (diminuição dos poros) • Propriedade direcional! • Intergranular ou fraturas

6. Permeabilidade absoluta, k • A lei de Darcy (1856) http://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Darcy base de quase todos os métodos para a medição de permeabilidades!!! Amyx (1960)

7. Permeabilidade k (m2) (wikipedia) • Na geologia, a permeabilidade é a medida da capacidade de um material (tipicamente uma rocha) para transmitir fluídos. É de grande importância na determinação das características de fluxo dos hidrocarbonetos em reservatórios de petróleo e gás e da água nos aquíferos. A unidade de permeabilidade é o darcy ou, mais habitualmente, o mili-darcy ou md (1 darcy = 1 x 10-12.m2). A permeabilidade é usada para calcular taxas de fluxo através da lei de Darcy. • Para que uma rocha seja considerada um reservatório de hidrocarbonetos explorável, a sua permeabilidade deve ser maior que cerca de 100 md (o valor exacto depende da natureza do hidrocarboneto - reservatórios de gás com permeabilidades mais baixas ainda são exploráveis devido à menor viscosidade do gás relativamente ao petróleo). Rochas com permeabilidades significativamente mais baixas que 100 md podem formar selos eficientes (ver geologia do petróleo). Areias não consolidadas podem ter permeabilidades de mais de 5000 md.

8. Ranges of common intrinsic permeabilities • Source: wikipedia

9. Lei de Darcy • A velocidade média por unidade de área através de uma coluna de material poroso é diretamente proporcional ao gradiente de pressão estabelecido através da coluna e inversamente proporcional a viscosidade do fluido, . • k é o coef. Permeabilidade; unidades m2 ou Darcy; • 1 Darcy é equivalente a 9.869233×10−13 m² ou 0.9869233 (µm)². • Esta conversão é usualmente aproximada por 1 (µm)²

10. Lei de Darcy: um processo de média • Ela informa a velocidade média em um ponto no espaço mesmo se naquele ponto haja um material sólido. • Ela trata os meios sólido e fluido como se fossem interpenetrantes. • O resultado da lei de Darcy (empírica) equivale a uma média na velocidade dentro da matriz porosa. • Na S.C. da figura a velocidade calculada é a média na seção e não aquela que passa através dos poros.

11. Lei de Darcy • A lei de Darcy (empírica) está fundamentada por escoamentos com ausência de termos inerciais. • Considere ‘d’ uma dimensão representativa do espaço instersticial do material poroso; U a velocidade média do fluido entre os interstícios; então a razão: • Onde d é estimado pelo coef. Permeabilidade: • Desde que Red <<1 a equação que representa o escoamento passa a ser:

12. Lei de Darcy • Um detalhado conhecimento da distribuição espacial dos interstícios não é disponível. Consequentemente o conhecimento da velocidade local também não será. • Considerando o escoamento através de um grande número de poros pode-se tirar uma média espacial da velocidade. • Se o meio for isotrópico (um gradP aplicado nas 3 direções produz a mesma vazão) pode-se re-escrevera equação q. movimento como: • p e u representam a pressão e velocidade médias e k é a permeabilidade do meio

13. FlowStraigthner – aplicação em túneis de vento.

14. k equivalente (meio isotrópico) Leitos paralelos, submetidos a mesma diferença de pressão! hi= altura leito k1, h1 Q1 Q1 k2, h2 Q2 Q2 k3, h3 Q3 Q3 k4, h4 Q4 Q4 k, h = O resultado possui analogia direta c/ lei de ohm, V=P, i=u e R=hi/ki

15. k equivalente (meio isotrópico) k1h1 k2 h2 k3h3 k4 h4 Leitos em série todos eles submetidos a mesma vazão! q q k, h = O resultado possui analogia direta c/ lei de ohm, V=P, i=u e R=hi/ki

16. O potencial de Velocidades • Considerando forças de campo, a velocidade pode ser expressa pelo gradiente da pressão modificada: • Note que o campo de velocidades é irrotacional: • e a equação da massa é satisfeita desde que o Laplaciano de  seja nulo: • Portanto  é uma função potencial: o gradiente de  expressa o campo de velocidades.

17. Solução do Potencial de Velocidades • A Equação de Laplace é uma equação elíptica e necessita de informação em todo contorno para ser resolvida:

18. Escoamentoem um Poço Radial Pw P r

19. Calcule k p/ geometrias cilíndricas: série e paralelo. Considere a equação de Darcy dada por: ro ri Leitos paralelos Leitos em série

20. Aplicação em barragens

22. Extensão Lei de Darcy: Forchheimer (1901) • Relação quadrática entre o gradiente de pressão e a velocidade. A forma mais comum é: • O termo de Darcy e Forchheimer estão associados ao arrasto (ou resistência) que o meio poroso causa a passagem do fluido. A extensão de Forchheimer está associada ao arrasto de forma interno a matriz porosa e ajustada por meio do coeficiente da matriz, CF. • Tanto a relação de Darcy quanto Forchheimer não possuem embasamento matemático/teórico, são relações empíricas.

23. Tubo de Seção Variável (Batchelor) a r z Considere um tubo circular cujo raio ‘a’ varia lentamente ao longo da direção axial. O escoamento ocorre em Regime Permanente. As extremidades do tubo estão a pressão constante. Como o raio do tubo varia com a posição axial, a = a(z), então o gradiente de pressão também varia com z.

24. Análise de Ordem de Magnitude a r z O problema simplifica se pudermos desprezar os termos de inércia. Neste caso a solução reduz para a solução de Poiseuille. A questão é: quando a aproximação é válida? • Sabemos que se o raio ‘a’ for constante a solução de Poiseuillié exata. • Queremos saber para qual taxa de variação de ‘a’ com ‘z’ ainda é válida a aproximação de inércia desprezível. • Para isto temos que determinar escalas para as velocidades axial e radial, W e V.

25. Escalasde W e V a Tana=r/z << 1 ~ a W0 a a-Dr Escala da velocidade z : W0 Dz Balanço de massanadireção z: Escala da velocidadey: ? Balanço de massanadireção r:

26. Avaliação do TermoInercial O termo de inércia e viscoso eq. q. mov. na direção z:  (desde que  << 1) Os termos inerciais são desprezíveis desde que a.Rea<<1 e  << 1. A eq. q. movimento reduz para:

27. Perfil de Velocidades (Batchelor) a r x Desprezando os termos de inércia, vamos encontrar a solução de Poiseuille: A vazão é constante em qualquer seção do tubo:

28. Perfil de Velocidades (Batchelor) Substituindo a definição de dp/dz no perfil de velocidade: As linhas de corrente não são exatamente paralelas a z mas inclinadas pelo ângulo a. Existe uma componente radial v ~ aw, conhecendo-se w a velocidade v é estimada. A queda de pressão vem do gradiente:

29. Influência do perfil a(z) a r x • A solução proposta é válida desde que  << 1 e tan(a).Rea<<1. • Considere, por exemplo, um perfil linear em z, r(z) = a0 – a1.z; a1 = a0/10 • A figura mostra que a diferença de pressão varia de forma não linear Z

30. ESCOAMENTOS EM MANCAIS EQUAÇÃO DE REYNOLDS

33. Equações de Reynolds e o Mancal de Deslizamento Dedução a partir da aproximação por um escoamento de Couette + Poiseuille para Re << 1

34. Perfil de velocidades adimensional para escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas, placa superior movendo-se com velocidade U. Solução: superposição linear: 1 (y/a) 0 1 3 (u/U) 2

35. Escoamento Plano: Superposição Linear E.D.O.

36. Mancal de Deslizamento A figura representa um bloco estacionário com uma parede deslizante. O contrário é possível, porém o problema passa a ser transiente. Neste caso é aconselhável fixar um referencial no bloco e a parede que se movimenta. Nesta configuração coincide com aquela proposta no 1º caso.

37. Mancal de Deslizamento Aproximações: d/L << 1, garante ausência de efeitos de borda e que d2u/dy2 >> d2u/dx2; Red.(d/L) << 1 garante inércia desprezível, sol. Poiseuille A vazão por unidade de comprimento z: Como a vazão independe de x isto requer que:

38. Mancal de Deslizamento Integrando a pressão em x teremos: p0 é a pressão em x=0

39. Mancal de Deslizamento Vamos considerar uma variação linear de d com x A variação de pressão entre a entrada e saída passa a ser: Considerando que a pressão em x = L também seja p0, então a vazão Q é dada por:

40. Mancal de Deslizamento distribuição pressão A variação de pressão passa a ser: Note que p-p0>0 somente quando h1>h2. A pressão é gerada somente quando o movimento relativo entre as placas é capaz de arrastar fluido por meio das tensões viscosas da abertura mais larga para a mais estreita. Note que p é inversamente proporcional a h2. Quanto menor for a folga maior será a pressão gerada.

41. Mancal de Deslizamento A força normal exercida no bloco por unidade de largura A força tangencial:

42. Equação de Reynolds (1886) Condições de contorno u(0) = u0 e w(0) = 0 u(h) = 0 e w(h) = 0

44. Equação de Reynolds A equação da continuidade pode ser re-escritatermo a termo: Para bloco estacionário, a equação integral do volume na seção transversal (y) do mancal passa a ser:

45. Equação de Reynolds Observe que os termos da integral representam as vazões na direção x e z, b é a largura do mancal na dir. Z Qxadvém da superposição de Couette + Poiseuilledir X Qzadvém de Poiseuille dir. Z Dependendo da ordem de magnitude dos termos o mancal pode ser governado por forças hidrostáticas ou hidrodinâmicas ou misto.

46. Esta é a Eq. de Reynolds (1886) para lubrificação em um canal variável h(x) com a parede inferior movendo-se com velocidade U0. Este é um modelo básico em lubrificação. • . A distribuição de pressão pode ser determinada conhecendo-se a geometria e o movimento das paredes. • A essência do fenômeno de lubrificação está na pequena espessura do filme que gera altas tensões no fluido que por sua vez gera elevadas pressões. • A força motriz do escoamento é o movimento relativo entre as paredes.

47. HELESHAW FLOW O aparatoHele-Shaw gera um escoamentodominadopelaviscosidadeque pode ser visualizadocomoirrotacional(Potencial) emumadireçãopreferencial.

48. How to build • The cell consists primarily of two transparent plates separated by a narrow gap. A thin spacer runs along the internal edges of the plates to maintain their separation and keep the fluid from leaking out. Air bubbles are introduced into the cell through a port along one of the edges. The fluid can be pushed or pulled through the cell by a pump connected to other ports. Alternatively, the cell can simply be propped up at a slant or mounted vertically so that gravity and buoyancy move the fluid and the bubbles.