Valores y Vectores Propios

1. Valores y Vectores Propios Ponentes: Marbelys Rosario Reinaldo Viloria

2. Valores propios • Definición: sea A una matriz nxn. El número real λes un valor propio (también conocidos como, valores característicos, auto valores, o incluso eingevalores) de A si existe un vector xdistinto de cero en Rtal que: n

3. Ejemplo #01: • Si es la matriz identidad , el único valor propio es ; todo vector distinto de cero en es un vector propio de A asociado con el valor propio de . Inx = 1x

4. Ejemplo #02: • Sea Entonces De modo que es un vector propio de A asociado al valor propio . Además De modo que es un vector propio de A asociado al valor propio

5. La figura muestra que y son paralelos lo mismo ocurre con y . Esto ilustra el hecho de que x es un vector propio de A y por tanto Ax es paralelo a x.

6. Ejemplo 3: • Sea Verifiquemos que x1= (-3,-1,1) y x2=(1,0,0) son vectores característicos de A y encontremos sus valores característicos correspondientes. Tenemos que: • De esta manera x1 es un vector característico de A correspondiente al valor característico de λ1=0.

7. De manera semejante al multiplicar x2 por A se obtiene: Así x2 es un vector característico de A correspondiente al valor característico de λ2=1. Sea λ un valor propio correspondiente a x. en la figura se muestra x y Ax para los casos λ ˂ 0, 0 ˂ λ ˂ 1, λ ˃ 1 x x x λ >1 0 ˂ λ ˂ 1 λ ˂ 0

8. Un valor propio λ de A puede tener asociados muchos vectores propios distintos. De hecho, si x es un vector propio de A asociado con λ es decir, Ax= λxyr es cualquier número real distinto de 0 entonces: En consecuencia, rxtambién es un vector propio de A, asociado con λ. también es cierto que si son vectores característicos correspondientes al mismo valor característico de λ, entonces su suma también es un vector característico correspondiente a λ. En otras palabras, el conjunto de todos los vectores característicos de un valor característico λ dado, junto con el vector 0 es un subespaciode y se llama espacio característico de λ.

9. CÁLCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS • Sea Queremos determinar los valores propios de A y sus vectores propios asociados, es decir, todos los λ reales y los x vectores no nulos tales que se cumpla: Tomemos Así tenemos que:

10. De esta manera tenemos el siguiente sistema (este sistema es homogéneo de dos ecuaciones y dos incógnitas, este tiene al menos una solución diferente a la trivial si y solo si el determínate es igual a cero) Construyamos la matriz de coeficientes Por la condición anterior tenemos que: Por lo tanto

11. estos son los valores propios de A. Para determinar todos los vectores propios de A asociados con , formemos el sistema lineal: de aquí obtenemos podemos ver que: hagamos siendo r cualquier numero real distinto de cero. Por lo tanto, todos los vectores propios asociados con están dados por .

12. Análogamente para determinar todos los vectores propios de A asociados con , formemos el sistema lineal: de aquí obtenemos: podemos ver que: hagamos siendo r cualquier numero real distinto de cero. Por lo tanto, todos los vectores propios asociados con están dados por .

13. DETERMINACIÓN DE VALORES PROPIOS Para determinar los valores propios de una matriz A nxn, sea I la matriz identidad nxn. al escribir la ecuación de la forma se obtiene (este sistema es homogéneo en consecuencia tiene al menos una solución diferente a la trivial si y solo si el determínate es igual a cero). • Teorema: • Sea A una matriz nxn un valor característico de A es un escalar λtal que • Los vectores característicos de A correspondientes a λson las soluciones diferentes de cero de la ecuación

14. Veamos que: La ecuación es denominada ecuación característica de A. Además Este es el polinomio característico de A. Si el polinomio característico de A es de grado n entonces A puede tener a lo más n valores característicos.

15. Teorema: Los valores propios de A son las raíces del polinomio característico de A. Demostración: Sea λ un valor propio de A, asociado con el vector propio x. Entonces se cumple Ax=λx lo cual se puede escribir como: Como este es un sistema homogéneo de n ecuaciones en n incógnitas. este sistema tiene al menos una solución no trivial si y solo si el determinante de su matriz de coeficientes se anula es decir si y sólo si Recíprocamente si λes una raíz real del polinomio característico de A entonces de modo que el sistema homogéneo tiene una solución no trivial x. por lo tanto, λ es un valor propio de A.

16. Ejemplo 4: Sea el polinomio característico de A viene dado por: Las posibles raíces enteras del polinomio son: ±1, ±2, ±3 y ±6. Al sustituir estos valores en el polinomio tenemos. Para por lo tanto es un factor del polinomio .

17. Para por lo tanto es un factor del polinomio. Para por lo tanto es un factor del polinomio. De esta manera tenemos Entonces los valores propios de A son:

18. Determinemos ahora un vector propios de A asociado a , formamos el sistema lineal Una solución es: Para cualquier numero real r. En consecuencia para r = 2 Es un vector propio asociado al valor propio

19. Análogamente obtenemos x2 y x3 tales que: Son vectores propios asociados a los valores propios y respectivamente. Teorema: Si A es una matriz triangular nxn, entonces sus valores característicos son sus elementos en la diagonal principal. Demostración: Sea A una matriz triangular nxn. Por teorema sabemos que el determinante de una matriz triangular es igual a producto de los elementos de su diagonal principal, de esta manera el polinomio característico de A en factores viene dado por: Así los elementos de la diagonal principal de A son la raíces del polinomio característico y en consecuencia los valores propios de A.

20. Determinar los valores característicos de las siguientes matrices.

21. Hallemos los valores característicos de A Por tanto los valores característicos de A son: que son simplemente los elementos de la diagonal principal de A, esto ilustra el teorema anterior

22. Hallemos los valores característicos de B Apliquemos directamente el teorema Así los valores característicos de B son:

23. Diagonalización

24. Matrices Semejantes (Similares). Definición: se dice una matriz B es semejante o similar a una matriz A, si existe una matriz no singular P tal que: Ejemplo: Sean y Entonces Así En consecuencia B es semejante a A.

25. Definición: Diremos que la matriz A es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. • Ejemplo: Sean A y B como en el ejemplo anterior entonces A es diagonalizable, ya que A es semejante a B y B es diagonal.

26. Teorema: Matrices semejantes tienen los mismos valores característicos. Si A y B son matrices semejantes nxn, entonces tienen los mismos valores característicos. Ejemplo: determinación de valores característicos de matrices semejantes. Las siguientes matrices son semejantes Use el teorema anterior para hallar los valores característicos de A y D. Solución: Como D es una matriz diagonal, entonces sus valores característicos son simplemente los elementos que están en su diagonal principal; es decir: Además dado que A es semejante a D, por el teorema anterior se sabe que A tiene los mismos valores característicos que D. lo anterior puede verificarse al demostrar que el polinomio característico de A es:

27. Demostración: Dado que A y B son semejantes, entonces existe una matriz invertible P tal que . En virtud de las propiedades de los determinantes, se concluye que: Pero lo anterior significa que A y B tienen el mismo polinomio característico. Por tanto, deben tener los mismos valores característicos.

28. Teorema: condición para la diagonalización. Una matriz A nxn es diagonalizable si y solo si tiene n vectores característicos linealmente independientes. Demostración: Primero se supone que A es diagonalizable. Entonces existe una matriz invertible P tal que es diagonal . Al hacer que los elementos en la diagonal principal de D sean y que los vectores columnas de P sean se obtiene: Pero y , se tiene que, , lo cual implica En otras palabras, 𝐴𝑝𝑖=𝜆𝑖𝑝𝑖para todo vector columna 𝑝𝑖. Lo anterior significa que los vectores columnas 𝑝𝑖 de P son vectores característicos de A. Además, dado que P es invertible, entonces sus vectores columnas son linealmente independientes. Así, A tiene n vectores característicos linealmente independientes.

29. A la inversa, suponga que A tiene n vectores característicos linealmente independientes con valores característicos correspondientes Sea P la matriz cuyas columnas son estos n vectores característicos. Es decir, • Como todo es un vector característico de A, entonces se tiene y La matriz del lado derecho de esta ecuación puede escribirse como el producto siguiente de matrices. Por último, dado que los vectores son linealmente independientes, entonces P es invertible y se puede escribir la ecuación como , lo cual significa que es diagonalizable.

30. Ejemplo de matriz no diagonalizable: • Demuestre que la siguiente matriz no es diagonalizable. • Solución: Como A es triangular, entonces los valores característicos son simplemente los elementos de la diagonal principal. Así, el único valor característico es La matriz tiene la siguiente forma: • Esto implica que x2 = 0, y al hacer x1 = t se encuentra que todo vector característico de A es de la forma: • Por tanto, A no contiene dos vectores característicos linealmente independientes y, entonces, se concluye que A no es diagonalizable.

31. Ejemplo de matriz diagonalizable: • Demuestre que la siguiente matriz es diagonalizable. y luego determine una matriz P tal que sea diagonal. Solución: el polinomio característico de A es: Por tanto, los valores característicos de A son A partir de estos valores característicos se obtienen las siguientes formas escalonadas por renglones reducidos y sus vectores característicos correspondientes.

32. Vectores Caracteristicos • Para verificar la independencia lineal de los tres vectores anteriores se forma la matriz P, cuyas columnas son los vectores característicos y se convierte a la forma escalonada reducida.

33. Dado que la forma escalonada reducida es la identidad , se concluye que los tres vectores característicos son linealmente independientes. Por tanto, es diagonalizable. Además, dado que: • Entonces se concluye que

34. Teorema: Condición suficiente para la diagonalización. • Si una matriz A nxn tiene n valores característicos distintos, entonces los vectores característicos correspondientes son linealmente independientes y A es diagonalizable. • Ejemplo: Determine si la siguiente matriz es diagonalizable. • Solución: Como A es una matriz triangular, entonces sus valores característicos son los elementos que están en su diagonal principal, Además, debido a que estos tres vectores son distintos, por el teorema anterior se concluye que A es diagonalizable.

35. Matrices simétricas. • Definición: una matriz cuadrada A es simétrica si Teorema: valores característicos de las matrices simétricas. • Si A es una matriz simétrica nxn, entonces las siguientes propiedades son verdaderas: • A es diagonalizable. • Todos los valores característicos de A son reales. • Si  es un valor característico de A con multiplicidad k, entonces  tiene k vectores característicos linealmente independientes. Es decir, el espacio característico de  es de dimensión k.

36. Ejemplos: Valores característicos y vectores característicos de una matriz simétrica 2x2 • Demuestre que la matriz simétrica es diagonalizable. Solución: el polinomio característico de A es Como cuadrático en , este polinomio tiene por discriminante a Dado que este discriminante es la suma de dos cuadrados, debe ser cero o positivo. Si entonces a=b y c=0 lo cual implica que A ya es diagonal. Es decir,

37. Por otra parte, si entonces por la formula cuadrática el polinomio característico de A tiene dos raíces reales distintas, lo cual implica que A tiene dos valores característicos distintos. Por tanto, A es diagonalizable también en este caso. • Teorema:teorema fundamental de las matrices simétricas. Sea A una matriz nxn. Entonces A es diagonalizable ortogonalmente y tiene valores característicos reales si y solo si A es simétrica. Ejemplo: determinación de si una matriz es diagonalizable ortogonalmente ¿Cuáles de las siguientes matrices es diagonalizable ortogonalmente? Solución: por el teorema anterior, las únicas matrices diagonalizable ortogonalmente son las simétricas: A1 y A4.

38. Aplicaciones de Vectores y Valores Propios

39. Sucesión de Fibonacci

40. 1,1,2,3,5,8,…, • Podemos escribir la sucesión de Fibonacci de la siguiente manera: tal que: • A su vez podemos decir que • De esta manera tenemos el siguiente sistema: • En forma matricial:

41. De esta manera: Tenemos así: El polinomio característico de A viene dado por:

42. De acá obtenemos los valores propios de A • Sea D una matriz diagonal semejante a A, como son semejantes A y D tienen los mismos valores propios, entonces: • Los vectores propios de A son:

43. Formemos la matriz P con los vectores propios de A linealmente independientes y Como A y D son semejantes tenemos que: