1 / 34

Készítette: Nagy Mihály tan á r Perecsen, 2006.

Készítette: Nagy Mihály tan á r Perecsen, 2006. A függvény. Halmazok Descartes-szorzata. A halmazok Descartes-szorzata: Tehát a Descartes-szorzat rendezett elempárok halmaza. Például: A={3,5}, B={1,4}, akkor AXB={(3,1), (3,4), (5,1), (5,4)}. Általában: AXB ≠ BXA.

shaman
Download Presentation

Készítette: Nagy Mihály tan á r Perecsen, 2006.

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Készítette: Nagy Mihály tanárPerecsen, 2006. A függvény

  2. Halmazok Descartes-szorzata A halmazok Descartes-szorzata: Tehát a Descartes-szorzat rendezett elempárok halmaza. Például: A={3,5}, B={1,4}, akkor AXB={(3,1), (3,4), (5,1), (5,4)}. Általában: AXB≠BXA .

  3. A derékszögű koordináta-rendszer A valós számok halmazának geometriai ábrázolása egy egyenes (számegyenes). Két egymásra merőleges számegyenes egy Descartes-féle koordináta-rendszert alkot. Az RXR={(x,y)|xR, y  R} szorzat minden elempárja ábrázolható ebben a rendszerben. Az OX az abszcissza, OY az ordináta tengely. O a kezdőpont (origó).

  4. Az egyenesek négy negyedet határoznak meg: I., II., III., IV. negyed. A számozás az óra járásával ellenkező irányban történik. II I III IV

  5. y M(2;3) O x N(-3;-1)

  6. Az M pont koordinátái 2 és 3. A 2 az abszcissza, a 3 az ordináta. Az N pont koordinátái a -3 illetve a -1. Az RXR szorzat bármely elemének megfelel egy pont a síkban. Vagyis bármely számpár ábrázolható a koordináta-rendszerben.

  7. A függvény fogalma Tekintsük az A(-2,-4), B(-1,-2), C(0,0), D(1,2), E(2,4). Készítsünk táblázatot: x -2 -1 0 1 2 y -4 -2 0 2 4 Megfigyelhetjük, hogy y = 2x. Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben a pontokat:

  8. y (2,4) (1,2) O (0,0) x (-1,-2) (-2,-4)

  9. Adott az A{-2, -1, 0, 1, 2} és B={0, 1, 4} halmaz. A két halmaz alapján az alábbi táblázatot készíthetjük:x -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 4Észrevesszük, hogy y = x2.Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben:

  10. y (-2,4) (2,4) (-1,1) (1,1) O (0,0) x

  11. -2 -2 0 -4 -1 -1 -2 0 1 0 0 2 1 1 4 2 4 2 Készítsünk diagramokat és nyílakkal ábrázoljuk az elelemek közötti kapcsolatokat (relációkat): 1. 2.

  12. 1 2 a 3 4 5 Más relációkat kifejező diagramok: 3. A B

  13. 1 a 2 3 b 4 5 c 6 Vizsgáljunk meg még egy diagramot: 4. C D

  14. Tanulmányozzuk egy kicsít az előbbi relációkat: Az 1., 2. és 3. ábrán az első halmaz bármely elemének a második halmazból egy és csak egy elem felel meg. Ezek függvényszerű relációk. A negyedik ábrán a C halmaz a elemének a D halmazban több elem felel meg. Ez a reláció nem függvényszerű. Mondhatjuk, hogy az első három reláció függvény, az utolsó viszont nem függvény.

  15. Értelmezés: Adott az A és B halmaz. Ha valamilyen eljárással (f) az A halmaz bármely x elemének megfeltetünk egy és csak egy y elemet a B halmazból úgy, hogy y = f(x), azt mondjuk, hogy egy f :A B függvény értelmeztünk. Az A halmazt értelmezési tartománynak, a B halmazt értéktartománynak nevezzük. Az f a megfeleltetési szabály, törvény, eljárás ami lehet képlet vagy egyéb összefüggés.

  16. Az előbbiek alapján látható, hogy a függvényeket háromféleképpen határozhatjuk meg: táblázattal: x 1 2 3 4 y 1 4 9 16 diagrammal: képlettel f(x) = x2 1 1 4 2 9 3 16 4

  17. A függvény grafikus képe A Gf={(x,y)|x  A,y=f(x)} halmazt az f:A B függvény grafikus képének nevezzük, ahol GfAXB. A Gf számossága mindig egyenlő az A halmaz számosságával. Például: Legyen A={-1, 0, 1, 2}. Tekintsük az f: A B , f(x) = 2x + 1 függvényt. Akkor a Gf = {(-1,-1), ( 0,1), (1,3), (2,5)}. Az A és B halmaz lehet éppen az R.Ebben az esetben Gf  RXR.

  18. Az elsőfokú függvény Az f::A B, f(x) = ax + b, a, bR alakú függvényeket elsőfokú függvényeknek nevezzük. Amint előbb láttuk ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenesbe eső pontok. Ezért tévesen egyes tankönyvekben lineáris függvényként emlegetik. Ha A  R, akkor a grafikon egy szakasz, félegyenes vagy egyenes. Az f : R R, f(x) = ax + b az elsőfokú függvény általános alakja.

  19. y (2,5) (1,3) (0,1) O (-1,-1) x Példák: 1. Adott az f:{-1, 0, 1, 2} R, f(x) = 2x+1 függvény.

  20. x 0 -1 y -3 1 f(x) (-1,1) O x (0,-3) 2. Legyen az f: R R, f(x) = 4x-3 függvény. Ábrázoljuk: y

  21. y f(x) O x g(x) 3. Tekintsük az f:R R, f(x)=3 és a g:R R, g(x)=-2 függvényeket. Ábrázoljuk:

  22. y O x f(x) 4. Ábrázoljuk az f:R R, f(x) = -2x függvényt!

  23. A tengelyekkel való metszéspontok meghatározása Legyen f:R R, f(x)=ax+b az elsőfokú függvény általános alakja. Ha x=0, akkor f(0)=b, tehát A(0,b) az OY tengellyel való metszéspont. Ha f(x)=0, akkor ax+b=0, vagyis x= tehát B( ,0), az OX tengellyel való metszéspont. A két ponton áthaladó egyenes a függvény grafikonja.

  24. Példa: Tekintsük az f:R R, f(x)=2x-6 függvényt. Keressük meg a tengelyekkel való metszéspontokat és ábrázoljuk. Ha x=0, akkor f(0)=-6, tehát A(0,-6) pontban metszi az OY tengelyt. Ha f(x)=0, akkor 2x-6=0, azaz x=3, tehát a B(3,0) pontban metszi az OX tengelyt. Mivel az elsőfokú függvény grafikonja egy egyenes és két pont mindig meghatároz egy egyenest, ezért a két ponton átmenő egyenes a függvény grafikonja.

  25. f(x) B(3,0) O A(0,-6) Készítsük el a grafikont: y x

  26. Függvény meghatározása két pontja segítségével Példa: Határozzuk meg az A(-2,3) és B(4,-1) pontokon áthaladó függvényt! Megoldás: Az elsőfokú függvény általános alakja f(x)=ax+b. Kiszámítjuk az f(-2) és f(4) értékeket, azután pedig megoldjuk az f(-2)=3 és f(4)=-1 egyenletekből álló egyenletrendszert. Innen kapjuk, hogy a = és b = . A függvény:

  27. O x Feladat: Határozzuk meg az f:R R, f(x)=3x+6 függvény grafikonja és a tengelyek által határolt alakzat területét! A(0,6) x=0, f(x)=6, tehát A(0,6) f(x)=0, x= -2, tehát B(-2,0) B(-2,0) f(x)

  28. Növekvő, ha a<b, akkor f(a)<f(b) Állandó, ha a<b, akkor f(a)=f(b) y y f(b) f(a) f(a) f(b) f(a) f(b) a b a b a b O O O x x x Az elsőfokú függvény tulajdonságai • Csökkenő, ha a<b, akkor f(a)>f(b) y

  29. Intervallumokon értelmezett elsőfokú függvények Az f:I R, f(x)=ax+b függvény a g:R R, g(x)=ax+b függvénynek az I intervallumra való leszűkítése. Az f függvény grafikus képe a g függvény képének (d) egy része, ami lehet szakasz vagy félegyenes. Ahogy az értelmezési tartomány zárt vagy nyílt intervallum, úgy a grafikon zárt vagy nyílt szakasz. Nézzünk egy pár példát:

  30. y f(x) O -2 3 x 1. Legyen az f:(-2,3) R, f(x)=x+3.

  31. f(x) O -2 3 x 2. Legyen az f:[-2,3] R, f(x)=x+3. y

  32. y f(x) O -2 3 x 3. Legyen az f:[-2,+ ) R, f(x)=x+3.

  33. Köszönöm a figyelmet!

More Related