1 / 36

Kvadratické funkce

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – 2004 Zpracoval : Jan HAMERNÍK M – T V T / Z Š 3 . r o č n í k. Kvadratické funkce. hospodářská budova. x. výběh. x. 18 – 2x.

shaman
Download Presentation

Kvadratické funkce

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Jihočeská univerzitav Českých BudějovicíchPedagogická fakultaKatedra matematikyDidaktikamatematikyAkademický rok: 2003 – 2004Zpracoval:Jan HAMERNÍKM – T V T / Z Š3 . r o č n í k Kvadratické funkce

  2. hospodářská budova x výběh x 18 – 2x Kvadratická funkce Příklad 1: Zemědělec chce vybudovat pro drůbež výběh pravoúhlého tvaru, přitom jedna strana bude částí stěny hospodářské budovy. K dispozici má 18 metrů pletiva. Máme určit rozměry výběhu, pro které by jeho obsah byl co největší.

  3. Neznámé jsou délky stran hledaného pravoúhelníku. Má-li každá z „bočních stran“ délku x metrů, pak na zbývající třetí stranu připadne (18 – 2x) metrů.Obsah S pravoúhlého trojúhelníku je tedy (18–2x).xSestavíme si tabulku: Řešení:

  4. Zobrazíme uspřádané dvojice z tabulky do soustavy souřadnic O x y Obrázek zřetelně ukazuje na syme- trické rozložení bodů podle přím-ky rovnoběžné s osou y a vedené bodem [4,5;0]. Odtud se dá usoudit, že ho- dnota výrazu (18 – 2x) . x je maximální pro x = 4,5.

  5. Je tomu ale skutečně tak? Upravíme výraz (18 – 2x) . x doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: (18 – 2x) . x = – 2x2 + 18x = – 2(x2 – 9x + 4,52 – 4,52) = = – 2(x2 – 9x + 4,52) + 2 . 4,52 = – 2(x– 4,5) 2 + 40,5 Výraz – 2(x– 4,5) 2 + 40,5 má maximální hodnotu pro x = 4,5, a to 40,5. Pro každé x  4,5 je totiž – 2(x– 4,5) 2< 0, a tedy – 2(x– 4,5) 2 + 40,5 < 40,5 O d p o v ě ď : Zemědělec by měl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru s „bočními stranami“ o délce 4,5 metru.

  6. Kvadratická funkce je každá funkce na množině R ( tj. o definičním oboru R), daná ve tvaru y = ax2 + bx + c, kde a R – {0}, b, c R

  7. Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí v = 50 m.s-1. Určete, jaké největší výšky dosáhne. (Užijte vzorec ; g = 10 m.s-2. Příklad č. 2:

  8. Použijeme výše uvedený vzorec: Dále využijeme zadané g = 10m.s-2 Zbývá nám tedy spočítat proměnnou t. Dosadíme do vzorce: Řešení: Těleso dosáhne nejvýše výšky 125 m

  9. Příklad č. 3: Výkon P turbíny závisí na počtu n otáček za sekundu. Určete počet otáček, pro něž bude výkonmaximální, víte-li, že tento výkon je vyjádřen vztahem P = n - n2, kde  = 0,455 43 m2.kg.s–2,  = 0,455 43 m2.kg.s-1.

  10. Příklad č. 4: Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany a cm a výšce 4 cm. Zapište funkci, která vyjadřuje a) závislost objemu kvádru na délce hrany podstavy; b) závislost povrchu kvádru na délce hrany podstavy.

  11. Grafy kvadratických funkcí

  12. Uvažujme kvadratickou funkci g: y = x2 Zapište do tabulky funkční hodnoty v bodech –3; –2; –1; –0,5; 0; 0,5; 1; 2 a 3. Získané uspořádané dvojice pak vyznačte v soustavě souřadné Oxy.

  13. Obr.1 Obr. 2

  14. Grafem kvadratické funkce y = x2 je nepřerušovaná křivka, která se nazývá parabola. Z obrázku lze usoudit, že funkce y = x2má tyto vlastnosti: jejím oborem hodnot je interval0,+; funkce je v intervalu ;0 klesající, v intervalu 0,+ rostoucí; v bodě 0 má minimum, nemá v žádném bodě maximum; je zdola omezená, není shora omezená; je sudá.

  15. Na obrázku je graf funkce h1: . Sestrojte pomocí něho graf funkce h2: . Obr. 3 Příklad č. 1:

  16. Pro každé x R je h2(x) = h1(x) – 3; např. pro x = – 2 je Řešení: Ke grafu funkce h2 dospějeme tedy od grafu funkce h1posunutím o tři jednotky ve směru zápornépoloosy y.

  17. Obr. 4

  18. Sestrojte graf funkce h3: , a to opět využitím grafu funkce h1: Řešení: Pro každé x R je h3(x – 1) = h1(x); např. pro x = 3 je Jestliže funkce h1 nabývá nějakou hodnotu v bodě x, nabývá tutéž hodnotu funkce h3 v bodě x– 1 Graf funkce h3 získáme z grafu funkce h1 posunutím o jednu jednotku ve směru záporné poloosy x. Graf funkce h1. Příklad č. 2:

  19. Obr. 5

  20. Sestrojte graf funkce h5: . Řešení: Nejdříve upravíme výraz doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Příklad č. 3:

  21. Obr. 6

  22. Upravíme nejprve výraz ax2 + bx + c doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: • Sestrojíme graf funkce Jak budeme postupovat při sestrojování grafů kvadratických funkcí y = ax2 + bx + c? • Sestrojíme graf funkce • f1: y = ax2.

  23. pro > 0jde o posunutí ve směru • záporné poloosy x, • pro = 0 o posunutí o 0 jednotek • na ose x, (tj. „nulové posunutí“ • ve směru osy x), • pro <0 o posunutí ve směru • kladné poloosy x, a to z grafu funkce f1 pomocí posunutí o jednotek ve směru osy x, přičemž

  24. pro > 0jde o posunutí ve směru • kladné poloosy y, • pro < 0o posunutí ve směru • záporné poloosy y, • pro = 0 o posunutí o 0 jednotek • na ose x, (tj. „nulové posunutí“ • ve směru osy y, a o jednotek ve směru osy x, přičemž

  25. Funkce y = ax2 + bx + c (a0) Grafem každé kvadratické funkce je parabola, která je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y. Závěrem si uvedeme vlastnosti kvadratických funkcí y = ax2 + bx + c v závislosti na hodnotách a.

  26. Obr. 7 Oborem hodnot je . a > 0 Je rostoucí v . Je klesající v . V bodě má minimum. Je zdola omezená, není shora omezená.

  27. Obr. 8 Oborem hodnot je . a < 0 Je rostoucí v . Je klesající v . V bodě má maximum. Je shora omezená, není zdola omezená.

  28. Načrtněte grafy grafy těchto funkcí: • y = x2– 2x + 3 • y = – x2– 6x – 8 • y = – 2x2 + 5x – 1 • y = – 0,5x2 + x + 2 • y = Příklad č. 3:

  29. Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic

  30. Řešte nerovnici s neznámou xR Řešení: Nejprve převedeme danou nerovnici na anulovaný tvar: Příklad č. 1:

  31. Zjistíme, ve kterých bodech je hodnota funkce rovna nule. K tomu vyřešíme početně kvadratickou rovnici x1 = – 3, x2 = 2

  32. Na první pohled také vidíme, že kvadratická funkce má v nějakém bodě maximum (koeficient u x2 je –1); parabola, která je jejím grafem, se tedy „rozevírá směrem dolů“. Obr. 9

  33. Příklad č. 2: Řešte nerovnici s neznámou xR Řešení: Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici: Diskriminant je záporné číslo, rovnice nemá v R žádné řešení. Nejsme ve slepé uličce?

  34. Graf kvadratické funkce nemá s osou x žádné společné body, přitom tato funkce má v nějakém bodě minimum. Tyto dvě skutečnosti zachycuje obr. 10. A z něho lze vyčíst, že řešeními dané nerovnice jsou všechna xR. Obr. 10

  35. Příklad č. 3: • S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto • kvadratické nerovnice s neznámou xR. • x2– 5x + 6  0 • 2x2– 5x + 2 <0 • – 2x2 + 6x – 9  0 • x2– 2x + 3 <0

More Related