Regressione logistica

Regressione logistica Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e ManagementEsercitazione n°10

Regressione logistica - Modello • Modello di regressione logistica • si vuole modellare la relazione tra una variabile dipendente dicotomica (0-1) e un insieme di regressori che si ritiene influenzino la variabile dipendente • la variabile dicotomica rappresenta presenza/assenza di un fenomeno oppure successo/fallimento • l’obiettivo è stimare l’equazione dove π:= Pr(Y=1 l X) è la probabilità che il fenomeno si verifichi

PROC LOGISTIC – Sintassi Modello di regressione logistica – k regressori specificati a priori ordina la variabile dipendente proc logistic data= dataset descending; class regressore_1…regressore_m /param=glm; model variabile dipendente= regressore_1 . . . regressore_k /option(s); run; elencare solo i regressori nominali automaticamente crea variabili dummy per i regressori nominali utilizzando il metodo “glm” OPTIONS: • stb calcola i coefficienti standardizzati • selection=stepwise applica la procedura stepwise per la selezione dei regressori

Regressione logistica – Valutazione modello • Valutazione della bontà del modello (output della PROC LOGISTIC) • Wald Chi_square test OK p-value con valori piccoli •  equivalente al test t nella regressione lineare (valuta la significatività dei singoli coefficienti = la rilevanza dei corrispondenti regressori nella spiegazione della variabile dipendente) • Likelihood ratio test/score test/Wald test OK p-value con valori piccoli •  equivalenti al test F nella regressione lineare (valuta la capacità esplicativa del modello) • Percentuale di Concordant valuta la capacità del modello di stimare la probabilità che il fenomeno si verifichi (quanto più la percentuale è alta tanto migliore è il modello)

Regressione logistica – Passi da fare • Individuare la variabile oggetto di analisi (variabile dipendente dicotomica (0/1)) e i potenziali regressori • Se si vogliono utilizzare variabili qualitative nominali come regressori NON occorre costruire variabili dummy perché la procedura PROC LOGISTIC di SAS lo fa automaticamente elencando nello statment di CLASS le variabili nominali e impostando il metodo GLM • Stimare un modello di regressione logistica utilizzando il metodo di selezione automatica STEPWISE per selezionare le variabili (PROC LOGISTIC con opzione stepwise)

Regressione logistica – Passi da fare • Valutare: • la bontà del modello (percentuale di Concordant) • la significatività congiunta dei coefficienti (Likelihood ratio test/Score test/Wald test ) • la significatività dei singoli coefficienti stimati (Wald Chi-square test) • Valutare la presenza di multicollinearità tra i regressori (PROC CORRper analizzarela matrice di correlazione tra i regressori che entrano nel modello)

Regressione logistica – Passi da fare • In presenza di 2 o più regressori fortemente correlati escludere il/i regressori meno correlati con la variabile dipendente (valutare il coefficiente di correlazione lineare (PROC CORR) tra la variabile dipendente e tutti i potenziali regressori) • Stimare un nuovo modello di regressione con i regressori scelti al punto (4) esclusi quelli scartati al punto (6) • Interpretare i coefficienti e analizzare i segni

Regressione logistica – Esempio DATA SET: TELEFONIA VARIABILE DIPENDENTE: 0: non utilizza gli MMS 1: utilizza gli MMS Obiettivo: prevedere l’utilizzo del servizio MMS a partire da un insieme di variabili (continue, discrete, dicotomiche).

Sintassi ordina la variabile dipendente proclogisticdata= corso.telefonia_1 descending; class marca sesso sistemazione tecnologia/param = glm; model uso_mms= marca sesso sistemazione tecnologia durata_chiamate_e durata_chiamate_r email_g email_h eta fisso_g fisso_h imessaging_g imessaging_h importanza num_chiamate_e num_chiamate_r num_contatti perc_altri_ope perc_cell_mattino perc_cell_notte perc_cell_pome perc_cell_sera perc_comunica_mattino perc_comunica_notte perc_comunica_pome perc_comunica_sera perc_estero perc_fisso perc_ope ricarica_importo dolby dvd dvx email fisso imessaging lettore_mp3 macchina_foto reddito /selection=stepwise stb; run; creazione dummy variabile dipendente metodo di selezione stepwise e coeff. standardizzati

Regressione Logistica Il metodo di selezione automatico stepwise seleziona le seguenti variabili: Var qualitativa Var quantitative

Multicollinearità Verificare la presenza di multicollinearità tra i regressori ed eventualmente eliminarne alcuni. Se il coeff. di correlazione tra due o più regressori è alto (>0.5) tenere nel modello il regressore più correlato con la variabile dipendente o quello più importante in termini di business. proccorrdata= corso.telefonia_1 ; var importanza num_contatti perc_altri_ope perc_comunica_sera ; run;

Test statistici (1/2) Test per valutare la significatività congiunta dei coefficienti (“Testing Global Null Hypothesis: BETA=0”) P-VALUE ipotesi nulla Se il p-value piccolo (rifiuto H0), quindi il modello ha buona capacità esplicativa. N.B. Equivalenti al Test F della regressione lineare

Test statistici (2/2) Test per valutare la significatività dei singoli coefficienti P-VALUE ipotesi nulla Il coefficiente è significativo (significativamente diverso da 0) se il corrispondente p-value è piccolo (ossia, rifiuto l’ipotesi di coefficiente nullo)  il regressore a cui il coefficiente è associato è rilevante per la spiegazione del fenomeno N.B. Equivalente al Test t della regressione lineare

Interpretazione coefficienti Si guarda il segno del coeff. Variabili qualitative: • SESSO F vs. M: -1.3325 Le femmine usano meno il servizio MMS dei maschi. N.B. per le variabili qualitative i parametri stimati sono relativi alle dummy e forniscono la differenza nell’effetto di ogni livello confrontato con l’ultimo. Variabili quantitative: • NUM_CONTATTI (# persone contattate più frequentemente): 0.2092 segno positivo Soggetti con community più estese mandano più MMS • PERC_COMUNICA_SERA (% comunicazioni che avvengono di sera): -0.0229 Chi comunica prevalentemente la sera manda meno MMS segno negativo

Segno dei coefficienti Il segno dei coefficienti deve rispettare la relazione tra il regressore e la variabile dipendente. Come controllare? + : relazione positiva - : relazione negativa Variabili qualitative Variabili quantitative proccorrdata= corso.telefonia_1 ; var uso_mms; with importanza num_contatti perc_altri_ope perc_comunica_sera ; run; procfreqdata=corso.telefonia_1; table sesso*uso_mms; run;

Importanza dei coefficienti In presenza di regressori quantitativi, i coefficienti standardizzati possono essere utili per valutare l’importanza relativa delle variabili, capire quali sono quelle che pesano di più nel modello. Si guarda il valore assoluto del coeff. standardizzato La variabile num_contatti è quella che pesa di più nel modello e perc_comunica_sera è quella meno importante.

Odds Ratio stimato Variabili qualitative: • SESSO F vs. M: 0.26 L’odds previsto dell’utilizzo di MMS per le femmine è circa il 75% più basso che per i maschi. Variabili quantitative: • NUM_CONTATTI (# persone contattate più frequentemente): 1.233 L’odds previsto dell’utilizzo di MMS per soggetti con community più estese è il 23% più alto di quelli con community meno estese.

Bontà del modello (Misure di connessione tra valore previsto e valore osservato ) Chiameremo PAIRS il numero di coppie di osservazioni (i,h con i≠h) che in un caso hanno Y=1 e nell’altro Y=0. La coppia di osservazioni (i,h con i≠h) per la quale Yi =1 e Yh =0 è: • concordante se • tied se • discordante se Tanto maggiore èil numero dei CONCORDANT (e quindi tanto minore è il numero dei DISCORDANT), tanto più il modello rappresenterà adeguatamente il fenomeno indagato.

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