Funções de mais de uma variável

1. Funções de mais de uma variável Derivadas Parciais Everton Lopes

2. Derivadas Parciais • Dada uma função de duas variáveis z = f(x,y), podemos, a partir de f, formar duas funções de uma só variável, bastando para isto considerarmos a outra variável constante. • g1(x) = f(x,yo) • g2(y) = f(xo,y) Quando isto acontece, dizemos que temos as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.

3. Derivadas Parciais Seja z = f(x,y). A derivada parcial de f em relação à variável x é uma função denotada por , tal que, seu valor num ponto (x,y) do domínio de f é dado por , se esse limite existir Analogamente, a derivada parcial de f em relação à variável y é definida como

4. Derivadas Parciais Observemos que, no primeiro caso, para , demos um acréscimo à variável x, mantendo y constante e no segundo caso, para , demos um acréscimo à variável y, mantendo x constante. Também são usadas as seguintes notações:

5. Derivadas Parciais Podemos usar também as seguintes expressões para as derivadas parciais num ponto (xo,yo): Exemplo 1: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 3x + 2y Exemplo 2: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 4x2 + 5xy

6. Derivadas Parciais • Observemos que teríamos o mesmo resultado se tivéssemos derivado f, supondo y constante para e derivado f supondo x constante para . • Todas as regras para funções de uma variável se aplicam nesse caso. • De maneira análoga, define-se e calcula-se as derivadas parciais para funções de mais de duas variáveis • Exercícios no quadro

7. zo C111 t1 yo xo Derivadas Parciais Interpretação Geométrica: • Seja z = f(x,y). O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). Consideremos a curva C1 obtida quando interceptamos o plano y = yo com a superfície z = f(x,y). A equação de C1 é dada por :

8. Derivadas Parciais Tomando y = yo temos que z = f(x, yo) = g(x) e é o coeficiente angular de t1, reta tangente a C1 no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo ). Assim, t1 tem as seguintes equações

9. Derivadas Parciais Consideremos agora a curva que é o traço da superfície z = f(x,y) sobre o plano x = xo Tomando x = xo temos que z = f(xo, y) = g(y) e é o coeficiente angular de t2, reta tangente a C2 no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo ) Assim, t2 tem as seguintes equações

10. Derivadas Parciais Exemplos: • Encontre as equações da reta tangente à curva de intersecção da superfície z = x2 + y2 com o plano y = 1 no ponto ( 2, 1, 5 ). 2) Determine as equações da reta tangente à curva que é intersecção da superfície com o plano x = 2 no ponto em que y = 1.

11. y x x+x Derivadas Parciais Interpretação Física Uma derivada parcial também pode ser interpretada como uma taxa de variação. Se z = f(x,y), temos que a taxa média de variação de f em relação à variável x, mantendo-se y constante, é dada por

12. Derivadas Parciais Assim, dá a taxa instantânea de variação de z = f(x,y) no ponto Po(xo,yo), por unidade de variação de x, para y constante, isto é, y = yo. Interpretação análoga é dada para Exercícios no quadro

13. Derivadas Parciais de ordem superior Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida em D  R2, tal quee existam em D. As derivadas parciais são funções de x e y. Logo, é natural se pensar nas derivadas parciais dessas funções. Estas derivadas são chamadas de derivadas parciais de 2a ordem e são em número de 4 e ( Deriva-se duas vezes em relação a x )

14. Derivadas Parciais de ordem superior ( Deriva-se duas vezes em relação a y ) ( Deriva-se em relação a x e depois em relação a y ) ( Deriva-se em relação a y e depois em relação a x ) Os dois últimos casos são chamados de derivadas parciais de 2a ordem mistas.

15. Derivadas Parciais de ordem superior Observações: • Analogamente, define-se as derivadas parciais de 2a ordem para funções de mais de duas variáveis • Analogamente define-se derivadas parciais de 2a ,3a, n-ésima ordem. Exemplo: Encontre as derivadas parciais indicadas • f(x,y) = x2 + y3; fxx; fyy; fxy; fyx 2) f(x,y) = exseny + lnx + lny fxx; fyy; fxy; fyx 3) f(x,y) = ln( cos(x2 – y )) fxx; fyy; fxy; fyx

16. Derivadas Parciais de ordem superior • Observação: Vimos nos três exemplos anteriores que as derivadas fxy e fyx são iguais. Isto nem sempre ocorre mas, para a maioria das funções com as quais iremos trabalhar as derivadas mistas são iguais, ou seja, não importa a ordem de derivação fxy = fyx. Este fato está expresso num teorema chamado de Teorema de Schwartz que nos diz que se f for uma função contínua em determinada região do plano com derivadas parciais contínuas, então fxy = fyx.

17. Derivadas Parciais de ordem superior • As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial é chamada de equação de Laplace em homenagem ao matemático Pierre Laplace ( 1749 –1827 ). As soluções dessa equação são chamadas de funções harmônicas e são importantes no estudo da condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. No exemplo anterior temos uma função harmônica u(x,y) =

18. u(x,t) x Derivadas Parciais de ordem superior • A equação da onda , sendo a uma constante, descreve o movimento de uma onda ( onda do mar, onda de som, onda luminosa, onda de uma corda vibrante, etc ). Uma solução para a equação da onda é uma função u(x,t). Por exemplo, se u(x,t) representa o deslocamento da corda de um violino, no instante t e x a distância a uma extremidade da corda, então u(x,t) satisfaz a equação da onda. Neste caso, a constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada. A equação da onda