JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO ginoux@univ-tln.fr rossetto@univ-tln.fr

1. SÉRIES JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO ginoux@univ-tln.frrossetto@univ-tln.fr http://ginoux.univ-tln.frhttp://rossetto.univ-tln.fr Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon Université du Sud, B.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, France

2. PLAN • Séries Numériques 1. Définitions 2. Condition nécessaire de convergence 3. Série géométrique • Séries à termes positifs 1. Théorèmes de comparaison 2. Règle de Cauchy 3. Règle de d'Alembert 4. Comparaison avec une intégrale 5. Série de Riemann Séries

3. PLAN • Séries à termes de signes quelconques 1. Convergence absolue 2. Semi-convergence 3. Séries alternées • Séries de fonctions 1. Convergence simple et uniforme 2. Propriétés Séries

4. Séries Numériques - Convergence • Séries Numériques • Définition Soit la suite (Un). On appelle série de terme général Un la suite des sommes partielles Sn : • Si (Sn) admet une limite finie S, on dit que la série est convergente et a pour somme : • Si (Sn) n'admet pas de limite ou une limite infinie, on dit que la série est divergente Séries

5. Séries Numériques - Convergence • Condition nécessaire de convergence Pour qu'une série converge il faut que son terme général Un tende vers 0 quand En effet, si la série converge et admettent une limite lorsque • Cette condition n'est pas suffisante ! • Sa réciproque est fausse ! La contraposée de cette condition permet de démontrer la divergence d'une série. Séries

6. Séries Numériques - Convergence Ex 1:Soit la série de terme général appelée série harmonique. Son terme général tend bien vers 0 lorsque Supposons la quantité : Soit, Or si la série convergeait tendrait vers une limite S lorsque et il en serait de même pour et alors ce qui est en contradiction avec donc la série diverge ! Séries

7. Séries Numériques - Convergence • Série géométrique Soit la série de terme général si On vérifie que : • la série converge • la série diverge Séries

8. B. Séries à termes positifs – Convergence • Séries à termes positifs • Théorèmes de comparaison Théorème 1 : Soit et deux séries à termes positifs tels que à partir d'un certain rang. • Si converge alors converge • Si diverge alors diverge Séries

9. B. Séries à termes positifs – Convergence Théorème 2 : Soit et deux séries à termes positifs telles que i.e., lorsque Alors les séries et sont de même nature, i.e., toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes Séries

10. B. Séries à termes positifs – Convergence • Règle de Cauchy Soit une série à terme positifs et soit • Si à partir d'un certain rang L< 1 Alors la série est convergente • Si à partir d'un certain rang L> 1 Alors la série est divergente Si L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de Cauchy Séries

11. B. Séries à termes positifs – Convergence • Règle de d'Alembert Soit une série à terme positifs et soit • Si à partir d'un certain rang L< 1 Alors la série est convergente • Si à partir d'un certain rang L> 1 Alors la série est divergente Si L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de d'Alembert Séries

12. B. Séries à termes positifs – Convergence 4. Comparaison avec une intégrale Soit une fonction positive sur , décroissante à partir d'une certaine valeur de Alors l'intégrale et la série de terme général sont de même nature Séries

13. B. Séries à termes positifs – Convergence • Série de Riemann La série de Riemann de terme général avec définie par : est • convergente si • divergente si Séries

14. C. Séries à termes de signes quelconques • Séries à termes de signes quelconques • Convergence absolue – Semi-convergence La série est absolument convergente si la série est convergente. Si la série est absolument convergente alors la série est convergente. La réciproque est fausse ! Séries

15. C. Séries à termes de signes quelconques • Semi-convergence Si la série diverge et si la série est néanmoins convergente, alors on dit que la série est semi-convergente. Séries

16. C. Séries à termes de signes quelconques • Séries alternées La série est dite alternée si son terme général est alternativement positif et négatif à partir d'un certain rang, i.e., telle que , Théorème 3 : Pour qu'une série alternée converge, il suffit que la valeur absolue de son terme général tende vers 0 en décroissant, i.e., telle que : • soit décroissante Séries

17. D. Séries de fonctions • Séries de fonctions • Convergence simple et uniforme La série de fonctions converge simplement sur un intervalle I si la suite converge simplement sur I. La série de fonctions converge uniformément sur un intervalle I si la suite converge uniformément sur I. Séries

18. D. Séries de fonctions • Propriétés P1 : Si la série de fonctions continues sur I converge uniformément sur I, alors la fonction définie par : est continue sur I Séries

19. D. Séries de fonctions • Propriétés P2 : Intégration terme à terme Si la série de fonctions continues sur converge uniformément sur alors Séries

20. D. Séries de fonctions • Propriétés P3 : Dérivation terme à terme Si la série de fonctions dérivables sur I converge simplement sur I alors la fonction est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction : Séries

21. Chaotic Snail Shell Séries