1 / 22

Agregace rizik

Agregace rizik. Iman – Conoverova metoda. Iva Justová. SAV 10. 11. 2006. Obsah. Úvod Míry asociace IC metoda Základní myšlenka Teoretické odvození Algoritmus Referenční rozdělení Metoda normální kopuly Srovnání IC metody a metody normální kopuly Praktický příklad Závěr – odkazy.

shea-leon
Download Presentation

Agregace rizik

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Agregace rizik Iman – Conoverova metoda Iva Justová SAV 10. 11. 2006

  2. Obsah • Úvod • Míry asociace • IC metoda • Základní myšlenka • Teoretické odvození • Algoritmus • Referenční rozdělení • Metoda normální kopuly • Srovnání IC metody a metody normální kopuly • Praktický příklad • Závěr – odkazy

  3. Úvod • Kvantifikace celkového rizika • Formulace modelů korelovaných rizik • Kombinace modelů korelovaných rizik • Parametrizace modelu korelovaných rizik • Užití IC metody v tomto procesu • Vzorky z marginálních rozdělení → kombinace → požadovaná korelační struktura • Stephen J. Mildenhall • Correlation and Aggregate Loss Distributions With An Emphasis On The Iman-Conover Method

  4. Míry asociace • Lineární (Pearsonův) korelační koeficient • Dostatečné pro normální rozdělení • Normalizační transformace • Pořadová (Spearmanova) korelace • Lineární korelace pořadí vzorku • Kendallovo tau • Invariantní vůči striktně monotónním transformacím • Maximum pro neklesající funkce

  5. IC metoda • Základní myšlenka • Máme dva vzorky X a Yn hodnot ze známých marginálních rozdělení a požadovanou korelaci ρ • Určíme vzorek n x 2 z dvourozměrného referenčního rozdělení s lineární korelací ρ • Přeuspořádáme vzorky X aY tak, aby měly stejné pořadí jako vzorek z referenčního rozdělení • Výsledkem je vzorek z dvourozměrného rozdělení s příslušnými marginály a stejným pořadovým korelačním koeficientem jako dvourozměrné rozdělení s lineárním korelačním koeficientem ρ • Rozšíření do více dimenzí • Pořadová a lineární korelace bývají podobné → výstup má přibližně požadovanou korelační strukturu

  6. IC metoda • Výhody • Jednoduchý algoritmus k určení vzorku z referenčního rozdělení • Efektivní i v MS Excel • Nezáleží na typu vstupních marginálních rozdělení • Výsledný vzorek obsahuje stejné hodnoty jako vstupní, pouze jinak spárované • Vitale´s Theorem • Nechť U a V jsou dvě libovolné náhodné veličiny. Potom existuje posloupnost funkcí S1, S2, … taková, že (U,SnU) konverguje v distribuci k (U,V) pro . • … cyklická permutace

  7. IC metoda – Teoretické odvození • M(n x r) • Matice n vzorků z r-rozměrného rozdělení • Sloupce nekorelované s nulovým průměrem a jednotkovou směrodatnou odchylkou • Kovarianční matice = korelační matice = n-1M´M = I • S(r x r) • Požadovaná pozitivně definitní korelační matice • Choleskiho rozklad S = C´C • T = MC • Průměr ve sloupcích = 0, směrodatná odchylka = 1 • Korelační matice = S (n-1T´T = n-1C´M´MC = C´C = S) • IC metoda spočívá v přeměně M (snadná simulace) v T (požadovaná korelační struktura S)

  8. IC metoda – Teoretické odvození • Tvorba matice M • Vytvoříme sloupec matice M a r-krát ho nakopírujeme • Hodnoty ve sloupcích náhodně permutujeme → nezávislost • Skóry → tvar výsledného vícerozměrného rozdělení • Normální skóry • Simulace N(0,1), úprava na nulový průměr a jednotkovou směrodatnou odchylku • Stratifikovaný výběr z N(0,1) • Nulový průměr • Polovina hodnot

  9. IC metoda – Teoretické odvození • Korelační matice M bude rovna I jen přibližně • E = n-1M´M korelační matice M • E singulární → permutace ve sloupcích matice M • Choleskiho rozklad E = F´F • T = MF-1C • Sloupce nulový průměr • Kovarianční matice • Referenční rozdělení T má přesně korelační strukturu S

  10. IC metoda – Algoritmus • Vstup • MaticeX(n x r) n vzorků z každého z r marginálních rozdělení • Požadovaná korelační maticeS • Vytvoříme sloupec skórů a upravíme, aby se směrodatná odchylka rovnala jedné • Zkopírujeme skóry r-krát → matice M • V každém sloupci matice Mnáhodně přeházíme hodnoty • Spočteme korelační matici E = n-1M´M • Určíme Choleskiho rozklad E, E = F´F • Určíme Choleskiho rozklad S, S = C´C

  11. IC metoda – Algoritmus • Spočteme matici T = MF-1C • Určíme matici Y přeuspořádáním každého sloupce matice X, aby pořadí hodnot ve sloupcích bylo stejné jako v matici T • Výstupem je maticeY(n x r) • Sloupce jsou permutací odpovídajících sloupců matice X • Korelační matice je přibližně S • Pořadová korelační matice je stejná jako pro r-rozměrné rozdělení s korelační maticí S • Detailnější popis algoritmu na www.mynl.com/wp

  12. IC metoda – Ilustrativní příklad

  13. IC metoda – Ilustrativní příklad Y =

  14. IC metoda – Referenční rozdělení • Skóry • Normální skóry (IC metoda) • Exponenciální rozdělení • Rovnoměrné rozdělení • Libovolné rozdělení (průměr 0, směrodatná odchylka 1) • Choleskiho rozklad (IC metoda) • Simulace referenčního rozdělení s danou korelační maticí • Eliptická rozdělení (t rozdělení, Laplaceovo rozdělení)

  15. Metoda normální kopuly • Vstupem je vektor rizik s marginálními distribučními funkcemi Fi a Kendallovými tau nebo pořadovými korelačními koeficienty • Určíme korelační koeficienty a Choleskiho rozklad na S = C´C • Generujeme r náhodných veličin z N(0,1) • Položíme Z = YC • Položíme • Položíme • Výstupem je vzorek • Marginální rozdělení Fi • Korelační matice je přibližně S

  16. Srovnání IC a NC metody • Podstata je podobná • IC – matici X s marginály Fipřeuspořádáme podle matice T s požadovanou korelační strukturou • NC – vektor Z s přibližně požadovanou korelační strukturou přetransformujeme, aby marginály byly Fi • Metody si odpovídají pouze při použití normálních skórů a Choleskiho rozkladu v IC metodě • IC metodu aplikujeme na daný vzorek z marginálního rozdělení, NC metoda vzorek generuje invertováním distribučních funkcí jako součást procesu

  17. Srovnání IC a NC metody • Referenční rozdělení má u IC metody přesně požadovanou korelační strukturu, u NC metody pouze přibližně • Vzorky mají u IC metody pořadovou korelaci stejnou jako vzorek z referenčního rozdělení se správnou lineární korelací. Vzorky normální kopuly mají přibližnou lineární i pořadovou korelaci • Vzorek z IC metody musí být brán jako celek (případně náhodné řádky), u NC metody má vzorek z každé iterace přibližně požadované rozdělení • Obě metody uvažují pouze lineární závislost

  18. Praktický příklad • Sdružené rozdělení agregovaných čistých (retained) a postoupených (ceded) škod při XL zajištění • Určení rozdělení čistých výsledků pojišťovny, kdy zajištění obsahuje variabilní prvky • Marginální rozdělení • Individuální škody • Pojistný limit 1 milion USD • XL zajištění, priorita a = 200 000 USD, limit = 800 000 USD • Výše škody má lognormální rozdělení, • Počet škod má negativně binomické rozdělení

  19. Praktický příklad • Agregované škody – posunuté Gamma rozdělení • Korelační koeficient • X, Y jsou komonotonické, nicméně R a C obecně nejsou • IC metoda • 10 000 pozorování čistých a postoupených škod • Výstup – matice 10 000 x 2 vzorku z dvourozměrného rozdělení

  20. Praktický příklad

  21. Závěr • Software • LAPACK (Linear Algebra PACKage) • Algebraické operace s maticemi, Choleskiho rozklad, … • www.netlib.org/lapack • SCARE (Simulating, Correlated Aggregation and Risk Engine) • IC metoda, kopuly, Choleskiho rozklad, … • www.mynl.com/wp • Literatura • Stephen J. Mildenhall • Correlation and Aggregate Loss Distributions With An Emphasis On The Iman-Conover Method • Casualty Actuarial Society Winter Forum 2006, pages 103-203 • www.mynl.com/wp

  22. Děkuji za pozornost

More Related