Řízení rizik II

1. Řízení rizik II Jan Vlachý vlachy@atlas.cz Vlachý, J.: Řízení finančních rizik; Eupress, Praha, 2006.

2. Řízení rizik II • Analýza tržních rizik, zajištění nelineárních rizik, kvantifikace rizik. • Kreditní riziko (kategorizace, analýza, zajištění, řízení). • Kapitálové řízení, aplikace portfoliové teorie, využití při oceňování podniku a měření výkonnosti. • Kde vzniká hodnota podniku; reálné opce. ŘÍZENÍ RIZIK II

3. Cíle analýzy tržních rizik • Navržení a realizace vhodného zajištění (analýza se zaměřuje na faktorovou citlivost). • Kvantifikace rizika (analýza musí zahrnovat model stochastického chování rizikového faktoru). Slouží: • pro stanovení limitů; • pro výpočet rezerv; • pro měření výkonnosti; • pro kapitálové řízení. Pozn.: Analogicky lze někdy postupovat i u jiných rizik. ŘÍZENÍ RIZIK II

4. Zajištění tržního rizika Faktorová citlivost je změna hodnoty pozice v důsledku jednotkové změny hodnoty rizikového faktoru. • Riziko je zajištěno, pokud D = V / x = 0. • Tržní rizika se dělí na lineární a nelineární. • U lineárních rizik (srov. měnové, akciové, komoditní riziko) je přímá úměrnost mezi hodnotou rizikového faktoru a hodnotou pozice V = N × x; D je tedy rovna velikosti pozice. • Základní metodou zajištění je zde párování (tzn. uzavření pozice). ŘÍZENÍ RIZIK II

5. Analýza nelineárních rizik • Základními nelineárními riziky jsou úrokové riziko a rizika v opčních pozicích (viz průběh časové hodnoty opce). • Nelinearita spočívá v tom, že  se mění v závislosti na x. • Faktorovou citlivost D = V / x zde lze zjistit analyticky (výpočtem z oceňovacího modelu) nebo simulací (pokusem). ŘÍZENÍ RIZIK II

6. Úrokové riziko (simulace) V [i0=6%] 471 698 444 998 419 810 8 316 983 rok (t) Ct 1 500 000 2 500 000 3 500 000 4 10 500 000 V [i1=6,1%] 471 254 444 160 418 624 8 285 673 9 653 489 9 619 710 Odhadujeme citlivost hodnoty dluhopisu na růst úrokové sazby o 0,1 procent. bodu. ΔV = - 33 779 Kč ΔV/ Δi = -337 790 Kč ΔV/V  3,5 × Δi ŘÍZENÍ RIZIK II

7. Aproximace úrokového rizika ΔV/V Δi lineární aproximace (vhodná pro velmi malé Di) • Funkce faktorové citlivosti úrokového rizika má (zpravidla) záporný sklon, není však lineární (ověřte simulací - cvičení) ŘÍZENÍ RIZIK II

8. Úrokové riziko (analýza) • Lineární odhad faktorové citlivost se získá první derivací oceňovací funkce V = [Ct/(1+i)t] v bodě i0 (viz učebnici). • Veličina Dm, pro kterou platí ΔV=V× (-Dm) ×Δi, se nazývá modifikovaná durace. • Lze ji spočítat simulací nebo analyticky z tzv. Macaulayho durace D, když platí Dm = D/(1+i). • Durace se počítá jako průměr dob do splatnosti očekávaných peněžních toků, vážený jejich současnými hodnotami. ŘÍZENÍ RIZIK II

9. Výpočet a použití durace V [i=6%] 471 698 444 998 419 810 8 316 983 rok (t) Ct 1 500 000 2 500 000 3 500 000 4 10 500 000 Vj × tj 471 698 889 996 1 259 430 33 267 932 9 653 489 35 889 056 D = 35 889 056 / 9 653 489 = 3,72 Dm = D / (1+i) = 3,72 / 1,06 = 3,51 DV = V×(-Dm)×Di = -9 653 489×3,51×0,001 = -33 878 Kč ŘÍZENÍ RIZIK II

10. Zajištění nelineárních rizik - imunizace • Imunizace spočívá v úpravě pozic tak, aby byla jejich okamžitá faktorová citlivost nulová. • U úrokového rizika se toho docílí tvorbou portfolia s durací blízkou nule. Durace portfolia je přitom rovna váženému průměru durací všech pozic (Macaulayho durace jednotlivého příjmu je rovna době jeho splatnosti v letech). • Obdobně se postupuje u opčních pozic; ty mají citlivostí více. Citlivosti se označují řeckými písmeny („The Greeks“), nejdůležitější je delta (d = V / x; x je hodnota podkladového aktiva). ŘÍZENÍ RIZIK II

11. Imunizace - příklad • Mějme portfolio čtyřletých 5% stát. dluhopisů v hodnotě VI = 9 653 489 Kč, a půlročních pokl. poukázek v hodnotě VII = 9 425 959 Kč. Bezrizikový tržní výnos i = 6%. • Portfolio financujeme diskontovaným dluhem. Při jaké splatnosti dluhu bude p. imunizováno? • VD = VI + VII = 19 079 448 Kč • VD DD = VI DI + VII DII • DD= (9653489×3,72+9425959×0,5)/19079448 = 2,13 => splatnost 2 roky, 47 dní. ŘÍZENÍ RIZIK II

12. Příklad - odhad úrokové citlivosti • Odhadněte citlivost šestiletého 4% dluhopisu v nominální hodnotě 50 mil. Kč, který byl právě zčásti financován úvěrem-čtyřletou čtvrtletní anuitou ve výši 20 mil. Kč. Tržní úroková sazba je 5%. • K odhadu použijte nejprve simulaci, a pak analytický postup. ŘÍZENÍ RIZIK II

13. Příklad - imunizace (viz též Př. II/14) • Těžařský podnik vytváří rezervy na budoucí útlum těžby a ekologické závazky. Očekává výdaje 100 mil. Kč ročně v letech 2012-2014, a dále pak 50 mil. Kč ročně v letech 2015 až 2020. • Do rezervního fondu lze nakoupit státní dluhopisy SD 5%/10 a SD 3%/18. Tržní úroková míra od 1 do 4 let činí 2,5%, nad 4 roky pak 3%. • Navrhněte takové portfolio, aby bylo úrokové riziko imunizováno. Určete potřebné změny za rok, pokud by mezitím sazby stouply o 1 bod. ŘÍZENÍ RIZIK II

14. Řešení • VZ = VI + VII • VZ DZ = VI DI + VII DII • VZ DZ = VI DI + (VZ - VI ) DII • VI = VZ (DZ - DII) / (DI - DII) • VII = VZ - VI ŘÍZENÍ RIZIK II

15. Měření rizika • Chování hodnoty pozice (podniku) se odvíjí od rizikového faktoru a faktorové citlivosti. • Metody měření: • Historická simulace (neparametrická metoda, viz semin. práce ŘR I a ŘR II) • Analytická metoda (parametrická metoda s využitím modelu faktorové citlivosti a statistického modelu chování rizikového faktoru) • Statistická simulace (Monte Carlo, zpravidla semiparametrická, tzn. s použitím statistického modelu chování riz. faktoru a přímým výpočtem vlivu hodnoty faktoru na hodnotu pozice) ŘÍZENÍ RIZIK II

16. Základní otázka při měření rizika • O jakou hodnotu mohu maximálně přijít za určitou dobu v důsledku daného rizika (ukazatel se nazývá např. Value at Risk, Capital at Risk)? • Vzhledem k tomu, že jde o statistický odhad, mohu to určit pouze s určitou mírou spolehlivosti, za použití příslušného kvantilu. • Nejčastěji se používá 95. nebo 99. percentil (u normálního rozdělení  1,65s, resp. 2s). Pozn.: U provozních rizik se postupuje analogicky přes oceňovací model podniku či projektu (tzv. Earnings-at-Risk, Cash-Flow-at-Risk). ŘÍZENÍ RIZIK II

17. Kvantily normálního rozdělení P(x) 99% m x 2,33s Vycházejí z distribuční funkce normovaného norm. rozdělení (běžně tabelováno, funkce normsdist()) u50% = 0 (medián) u90% = 1,28 (9. decil) u95% = 1,65 (95. percentil) u99% = 2,33 (99. percentil) x > xmin = m - u s x < xmax = m + u s ŘÍZENÍ RIZIK II

18. Historická simulace s pravděpodobností 90% neklesne hodnota portfolia o více než 2,15% s pravděpodobností 95% neklesne hodnota portfolia o více než 2,65% s pravděpodobností 99% neklesne hodnota portfolia o více než 4,80% Zjistí se přímo z distribuce historických výnosů simulovaného port-folia (není nutné předpokládat konkrétní teoretické rozdělení). ŘÍZENÍ RIZIK II

19. Analytický odhad rizika • Vyžaduje model chování rizikového faktoru včetně odhadu jeho parametrů (historicky, implicitně, kvalifikovaným odhadem). • Nejjednodušší model: logaritmicko-normální rozdělení výnosů (tzn. normální rozdělení logaritmických výnosů, „náhodná procházka“). • Parametry jsou medián (=trend m) a směrodatná odchylka (=volatilita s). • Pro odhad se používají kvantily (95%, 99%) rozdělení výnosů v rámci daného rozdělení. ŘÍZENÍ RIZIK II

20. Příklad - Analytický odhad VaR • Dlouhá dolarová pozice N = 1 mil. $ při kursu p = 20,00; roční volatilita s = 12% a trend m = -1%. • Odhad měsíční VaR (maximální očekávané ztráty) při spolehlivosti odhadu 95% (1,65s). • rmin = mM - 1,65 sM; rmax = mM + 1,65 sM • ln(pmin/p) = m/12 - 1,65 s/12 • pmin = p em/12-1,65s/12 = 18,87 Kč • VAR = N |pmin - p| = N | p em/12-1,65s/12 - p | = N p (1 – em/12-1,65s/12 ) = 1 127 000 Kč • Je-li pozice krátká: pmax = p em/12+1,65s/12 = 21,16 Kč; VARS = N |pmax - p| = 1 159 000 Kč ŘÍZENÍ RIZIK II

21. Využití VaR • Kolik (ekonomického) kapitálu kryje dané riziko? Mám-li kapitál ve výši 1,13 mil. Kč, pak s 95% spolehlivostí vím, že nemohu zkrachovat. • Kolik mě dané riziko stojí? Je-li náklad na kapitál rC = 20%, pak je jeho cena (měsíčně) 1,13×0,2/12 = 19 tis. Kč. Za vyšší cenu bych měl riziko koupit, za nižší cenu bych ho měl prodat. • Jaký limit mám stanovit pro obchodování? Nechci (nemohu si dovolit) ztratit měsíčně víc než 1 mil. Kč. Pak bych neměl připustit dlouhou pozici vyšší než 1 000 000/(20,00 - 18,87) = 885 tis. $ (tj. 17,7 mil. Kč). ŘÍZENÍ RIZIK II

22. Analytické řešení pro jediný riz. faktor VARL = p (1 - e-ust+mt) ... tzn. např. VAR jednoho dolaru VARS = - p (1 - e+ust+mt) VAR pozice pak určíme vynásobením faktorovou citlivostí (u lineárních rizik vynásobením N, u nelineárních využitím delta). Pozn.: Riziko krátké pozice je větší než riziko dlouhé pozice. Pozn.: Při zjednodušeném předpokladu normálního rozdělení cenových změn platí VAR = ± p (u st - m t), pro krátká období lze m zanedbat. ŘÍZENÍ RIZIK II

23. Alternativní modely vývoje tržních cen • „Náhodná procházka“ (Random Walk) - akcie, indexy, cizí měny (předpoklad L-N rozdělení) • „Tlusté konce“ (Fat Tails) - akcie, upřesnění • Limitní střední hodnota (Reversal to Mean) - úrokové sazby, zbožové komodity (cykličnost trendu) • Skokový model (Poisson Jump) - elektřina • Podmíněná závislost (Conditional Heteroskedasticity) - např. volatilita ŘÍZENÍ RIZIK II

24. Příklad - VaR úrokové pozice Dluhopis V = 10 mil. Kč, i = 4%, mod. durace D = 4,45 (dluhopis 4%, 5 let), denní volatilita úrok. sazeb si = 0,08%, hledáme 99% VaR na 10 dní, L-N rozdělení. VARS(i) = - i (1 - e+ust) ...dlouhá pozice v dluhopisu  krátká pozice v úrokových sazbách; krátkodobě nepředpokládáme trend DV = V × (-Dm) × Di ...lineární odhad faktorové citlivosti VAR = - V Dm (1 - e+ust) VAR = 263 079 Kč Srov. duraci 9,4; VaR 95%; VaR 30 dní. Stanovte limit otevř. pozice pro max. ztrátu 20 mil. Kč. VL* = - 2 mil. / Dm (1 - e+ust) = 760 000 000 Kč ŘÍZENÍ RIZIK II

25. Příklad - VaR úrokové pozice (M-C) Dluhopis NH 10 mil. Kč, 4%, 5 let, i = 4%, denní volatilita úrok. sazeb si = 0,08%, hledáme 99% VaR při době držení 10 dní, předp. norm. rozdělení změn i. • Generátorem náhodných čísel simulujeme hodnotu náhodného procesu e s normovaným norm. rozdělením. • Předpokládáme (například), že dílčí změny úrokových sazeb se řídí procesem Di = mt + set (zde trend m = 0). • Z toho počítáme it = i + set. • Pro simulované it spočítáme hodnotu pozice a zisk/ztrátu modelem diskontovaných příjmů (je možná i plně parametrická simulace s využitím citlivosti). • Vyhledáme mezní hodnotu zvoleného kvantilu. ŘÍZENÍ RIZIK II

26. Kreditní riziko Kreditní riziko je pravděpodobnost změny hodnoty podniku, způsobené tím, že protistrana nesplní svůj závazek. • Míra kreditního rizika = pravděpodobnost neplnění (= 1-bonita) ... diskrétní událost • Rizikové faktory (?) => je třeba najít takové, které lze snadno pozorovat a mají prokazatelný vliv na bonitu; to se ověřuje kvalifikovaným odhadem nebo statisticky ŘÍZENÍ RIZIK II

27. Struktura kreditního rizika • Složky kreditního rizika • Riziko protistrany (pravděpodobnost neplnění P(d)) • Riziko produktu (výše ztráty, ke které by vlivem neplnění došlo) • Očekávaná výše angažovanosti při neplnění E(A) • Očekávaná ztráta v případě neplnění L|d => Očekávaná ztráta E(L) = E(A)×P(d)×L|d Příklad: 5letá anuita A0= 500 tis. Kč, P(d)= 5%, L|d= 50% E(L)1= 500×5%×50%= 12,5; E(L)2= 400×5%×50%= 10... Pozn.: U některých produktů (úvěrové rámce, akreditivy) není E(A) dána smlouvou, ale musí se odhadnout či modelovat: E(A) = kcA Úvěrový ekvivalent ŘÍZENÍ RIZIK II

28. Formy kreditního rizika vlastní plnění plnění protistrany uzavření obchodu • Podle vývoje obchodu v čase (liší se rizikem produktu) • Úvěrové riziko (mezi vlastním plněním nebo neodvolatelným závazkem k plnění a plněním protistrany) - kC = 1 • Riziko vypořádání (mezi vlastním plněním a ověřeným plněním protistrany) • Riziko ztráty obchodu (mezi uzavřením smlouvy a zahájením plnění) - kC < 1 ŘÍZENÍ RIZIK II

29. Odhad a řízení rizika protistrany P A B C P(d) 0,5% 1,25% 2,5% • Riziko protistrany má vždy systematickou a specifickou složku. • Analýzou se provádí zařazení do rizikové třídy na základě systému rizikové klasifikace, specifické riziko závisí na míře diverzifikace. ŘÍZENÍ RIZIK II

30. Analýza rizikových faktorů • Klasifikace: kvalitativní (expert. odhad) × kvan-titativní (diskrimin. analýza); interní × externí. • Dvouparametrické × jednoparametrické metody • Konkrétní faktory a jejich vyhodnocení • Likvidita • Struktura a hodnota aktiv a pasiv • Kapitálová přiměřenost • Kvalita řízení, konkurenceschopnost • Chování • Záleží na odvětví, délce období, cykličnosti/ sezónnosti, kvalitě použitých informací ŘÍZENÍ RIZIK II

31. Metody řízení kreditního rizika • Řízení rizika produktu • Snížení angažovanosti při neplnění • Platební podmínky; skonto (úvěrové r., r. vypoř.) • Vypořádací agent (r. vypoř.) • Zápočet pohledávek; clearing (r. vypoř., úvěrové r.) • Snížení ztráty při neplnění • Zástavy, zálohy; zajišťovací vklad (úvěrové r., r. ztr. o.) • Financování aktiv; repo operace (úvěrové r.) • Záruky; pojištění (úvěr. r., r. vypoř., r. ztr. obch.) • Tržní metody (prodej rizika) • Sekuritizace • Kreditní deriváty ŘÍZENÍ RIZIK II

32. Zajištění • Kritéria pro použití zástav • Finanční, movitý, nemovitý majetek, práva • Vymahatelnost (bez souhlasu dlužníka) • Kontrola nad předmětem zástavy • Tržní hodnota v okamžiku realizace, doba zpeněžení • Subjektivní riziko (zástava může zvyšovat i snižovat) • Kritéria pro použití záruk • Odpovědnost za plnění přejímá jeden nebo více vedlejších dlužníků • Bonita ručitele • Pravděpodobnost sdruženého neplnění (závislost) ŘÍZENÍ RIZIK II

33. Správa kreditního rizika • Kreditní limity (rámce) • Podle úvěrové kapacity protistrany • Nástroj diverzifikace (omezení specifického rizika) • Dodatečná smluvní ustanovení • Monitoring • Nahrazuje tržní ocenění • Vymáhání • Snižuje ztrátu při neplnění • Snižuje subjektivní riziko ŘÍZENÍ RIZIK II

34. Příklad - clearing 5 A B A B 6 2 8 3 3 2 C D C D 6 1 • Metoda řízení rizika vypořádání (zápočet mezi větším počtem protistran) ŘÍZENÍ RIZIK II

35. Příklad - repo operace • Měsíční repo úvěr na nákup N = 2 000 kusů akcií ČEZ, p = 875 Kč. • Obchodník půjčuje za reposazbu rR = 8%, odhaduje max. roční volatilitu s = 25%. • Za předpokladu L-N rozdělení výnosů bude při spolehlivosti 99% (2,33s) za měsíc nejhorší možný kurs akcie p1 = p e-2,33s/12 = 739,57 Kč. Ten použije obchodník jako cenu konečného prodeje. • Kurs počátečního odkupu spočítá pomocí reposazby, p0 = p1 / (1+rR)1/12 = 734,84 Kč. • Poskytne tedy úvěr ve výši N×p0 = 1,47 mil. Kč, což odpovídá zajišťovací marži (haircut) ve výši 16%. ŘÍZENÍ RIZIK II

36. Příklad - zajišťovací vklad • Uzavíráme termínové kontrakty na nákup ropy. Používáme zajišťovací vklad pro krytí rizika ztráty obchodu, přičemž lhůta pro navýšení nepřesahuje dva týdny. Odhad roční volatility cen ropy σ = 20%, předpokládáme normální rozdělení výnosů, požadujeme spolehlivost krytí 99%. Termínový kurs F = 68 $/barel. • Se spolehlivostí 99% předpokládáme, že cena za dané období oproti termínovému trhu nevzroste/neklesne o víc než 2,33σ. Čtrnáctidenní volatilita σ2W = 20%/\/25 = 4%. Cenová změna by pak neměla překročit D = 2,33×4% = 9,3%, tzn. 6,32 $/barel, což bude minimální výše požadovaného počátečního zajišťovacího vkladu. ŘÍZENÍ RIZIK II

37. Příklad - kreditní model (CreditRisk+) • Portfolio n = 75 navzájem nezávislých úvěrů s p = P(d)i = 5% v celkové výši A = 2 mil. Kč. • Jakou je třeba vytvořit rezervu pro pokrytí ztrát, je-li L|d = 100%, při stat. spolehlivosti 95%? • Popis procesu: náhodný pokus bez vracení s možnými výsledky d a (1-d) (nesplatil/splatil). • Jde o hypergeometrické rozdělení, které lze (při velkém n a malém d) aproximovat Poissonovým rozdělením P(x) = (lx e-l) / x!, kde l = n p. ŘÍZENÍ RIZIK II