Eletrônica Digital Álgebra de Boole e Simplicação

1. Eletrônica Digital Álgebra de Boole e Simplicação Prof. Wanderley

2. Introdução • Os circuitos lógicos obtidos tal como mostrado na aula anterior em geral admitem simplificações • Para sermos capazes de simplificar circuitos digitais, temos que entender a Álgebra de Boole • A Álgebra de Boole apresenta postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades que permitem as simplificações • A Álgebra de Boole também apresenta todos os fundamentos da Eletrônica Digital • A Álgebra de Boole, portanto, trabalha com variáveis e expressões booleanas (assumem apenas dois estados, 0 ou 1)

3. Álgebra de Boole - Postulados • A seguir serão apresentados os postulados da: • Complementação; • Adição; • Multiplicação. • Apresenta-se ainda suas respectivas identidades resultantes.

4. Álgebra de Boole - Postulados • Complementação Seja A uma variável booleana. Então, é dito ser o complemento de A. Assim, Daí, pode-se estabelecer a identidade O inversor é o bloco lógico que executa este postulado!

5. Álgebra de Boole - Postulados Adição 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 Daí, pode-se estabelecer as identidades: pois A pode ser 0 ou 1.

6. Álgebra de Boole - Postulados Adição 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

7. Álgebra de Boole - Postulados Adição 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

8. Álgebra de Boole - Postulados Adição 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

9. Álgebra de Boole - Postulados Multiplicação 0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1

10. Álgebra de Boole - Postulados Multiplicação 0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1

11. Álgebra de Boole - Postulados Multiplicação 0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1

12. Álgebra de Boole - Postulados Multiplicação 0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1

13. Álgebra de Boole - Propriedades Assim como na matemática comum, valem, na Álgebra de Boole as propriedades: Comutativa Associativa Distributiva

14. Álgebra de Boole - Propriedades Propriedade Comutativa Na Adição: A+B = B+A Na Multiplicação: A.B = B.A Propriedade Associativa Na Adição: A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C Na Multiplicação: A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C

15. Álgebra de Boole - Propriedades Propriedade Distributiva A.(B+C) = A.B+A.C PROVA

16. Álgebra de Boole – Teoremas de De Morgan Esses teoremas são de fundamental importância em simplificações de expressões booleanas PROVA PROVA 1º Teorema de De Morgan 1º Teorema de De Morgan Extensão para N variáveis

17. Álgebra de Boole – Teoremas de De Morgan 2º Teorema de De Morgan Trata-se de uma extensão ao primeiro teorema Primeiro teorema Podemos reescrevê-lo da seguinte maneira:

18. Álgebra de Boole – Teoremas de De Morgan 2º Teorema de De Morgan Seja: e então Reescrevendo em termos de A e B temos 2º teorema Extensão para N variáveis

19. Álgebra de Boole – Identidades Auxiliares Provamos esta identidade utilizando a propriedade distributiva, seguido da identidade (1+B)=1 do postulado da soma e, finalmente, a identidade A.1=A do postulado da multiplicação

20. Álgebra de Boole – Identidades Auxiliares PROVA Propriedade distributiva Identidade A.A=A Propriedade distributiva Identidades: 1+X=1 e A.1=A

21. Álgebra de Boole – Identidades Auxiliares PROVA Identidade 2º teorema de De Morgan 1º teorema de De Morgan Propriedade distributiva e identidade 1º teorema de De Morgan

22. Álgebra de Boole – Simplificação de Expressões Booleanas Seja a expressão booleana Use a Álgebra de Boole para simplificá-la ao máximo. Evidenciando A Evidenciando A Propriedade associativa Propriedade associativa Propriedade associativa Aplicando Aplicando Aplicando Aplicando o teorema de De Morgan Aplicando o teorema de De Morgan Fazendo Fazendo Fazendo Aplicando identidade Aplicando identidade Aplicando identidade Aplicando identidade Aplicando identidade Aplicando identidade Aplicando identidade Aplicando identidade

23. Álgebra de Boole – Simplificação de Expressões Booleanas Tarefa para casa 1) Simplifique as expressões booleanas 2) Obtenha de 3) Obtenha o circuito simplificado que executa a expressão

24. Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh • Mapas de Karnaugh permitem a simplificação de circuitos digitais de maneira mais rápida • As informações para minimização são extraídas de tabelas verdade Mapa de karnaugh para duas variáveis

25. Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh Região

26. Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh Região

27. Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh Região

28. Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh Região

29. Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh Exemplo

30. Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh A=1 A=0 B=1 B=0

31. Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh Agrupamentos Quadra Pares Termos isolados

32. Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh Exemplo Par 1 Par 2

33. Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh 3 Variáveis