Aula 6 Propagação de erros

1. Aula 6 Propagação de erros Conteúdo da aula: Como estimar incertezas de uma medida indireta • Como realizar propagação de erros? • Exemplo: medimos A e B e suas incertezas. Com calcular a incerteza de C, se C =A+B?

2. Propagação de ERROS • O resultado de uma medida está sempre sujeito a erro aleatórios • Medidas realizadas em condições idênticas • Valores diferentes!

3. Já vimos que: N medidas de uma grandeza física: x1, x2, x3,... xn Definimos: • Média • Desvio padrão • Desvio padrão da média

4. Como expressar o resultado de um conjunto de medidas? Média para um conjunto de n medidas

5. Mas como saber a incerteza de uma medida indireta? Imagine que medimos uma quantidade x e calculamos outra quantidade f. f depende de x segundo uma função matemática. f = f(x) Como podemos calcular o erro de f?

6. Volume de um cilindro • Como o volume do cilindro varia com o raio e altura • Calcule o volume do cilindro, fixando o raio, para H + sH e H – sH. Calcule a diferença desses dois extremos em relação ao valor médio, calculado com a medida H • Calcule o volume do cilindro, fixando a altura, para D + sD, R – sD. Calcule a diferença desses dois extremos em relação ao valor médio, calculado com a medida D • Qual é a incerteza no volume? • Como combinar as duas variações (diâmetro e altura)?

7. A mesma incerteza no raio acarreta em incertezas diferentes no volume • Volume de um cilindro • Como uma variação na medida de raio afeta o volume? • Essa variação é a mesma, independente da medida do raio?

8. Teoria de erros • Teoria na qual estuda-se o comportamento dos erros de medidas, como eles influenciam outras medidas, bem como propagá-los no caso de uma medida indireta. • Propagação de erros • Método para calcular a incerteza de uma medida indireta

9. Propagação de erros: fórmula geral • Seja uma grandeza G, dependente de duas variáveis, A e B. • O valor da incerteza em G, sG, pode ser expressa em termos das incertezas em A e B (sA e sB, respectivamente) através da fórmula: Derivada parcial de G em relação à A Não conte aos matemáticos puristas  mas a derivada parcial nada mais é do que a derivada comum onde todo o resto da equação pode ser considerado constante

10. Vamos fazer um exemplo simples • Volume de um cilindro • O Volume depende tanto do raio R, cuja incerteza é sR, e da altura H, com incerteza sH. Assim, a incerteza do volume é dada por:

11. Como calcular as derivadas • Suponha que todo o resto da expressão é uma constante....

12. Desse modo... • Incerteza do volume do cilindro

13. Professor, eu preciso fazer esse montão de derivadas e contas toda vez? • A rigor deve-se sempre calcular as derivadas • Na prática, com o tempo, desenvolve-se técnicas que simplificam a nossa vida • Dois casos muito comuns: • Soma e subtração • Multiplicação e divisão

14. Dois casos comuns • Soma e subtração • A incerteza da soma (ou subtração) é a raiz da soma dos quadrados das incertezas individuais • Multiplicação e divisão • A incerteza percentual do produto (ou divisão) é a raiz da soma quadrática das incertezas percentuais individuais