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RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie

RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie. Udine, 16 gennaio 2008. Giulia Rotundo Università degli Studi della Tuscia Giulia.Rotundo@uniroma1.it. 90. RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie. 90. AREE DI STUDIO. FISICA. TEORIA DELLA PERCOLAZIONE.

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RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie

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Presentation Transcript

  1. RANDOM NETWORKSper le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio 2008 Giulia Rotundo Università degli Studi della Tuscia Giulia.Rotundo@uniroma1.it 90

  2. RANDOM NETWORKSper le applicazioni economiche e finanziarie 90

  3. AREE DI STUDIO FISICA TEORIA DELLA PERCOLAZIONE COMPLEX NETWORKS RANDOM NETWORKS TEORIA DEI GRAFI INFORMATICA RICERCA OPERATIVA COMBINATORIA MATEMATICA 90

  4. RANDOM NETWORKSper le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio 2008 Definizione di network; esempi; Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; Processi diffusivi su reti; Self-organized criticality; Applicazioni economiche e finanziarie. 90

  5. Definizione RANDOM + NETWORKS • rete • grafo (graph) • (Sylvester (1878) Nature) Un grafo è un insieme di: Nodi (vertici, unità) Archi (edges, lines). Un arco unisce due nodi. Applicazioni: i grafi servono per creare modelli astratti di problemi concreti.

  6. Leonhard Euler (1707-1783) 90

  7. esempio Koenigsberg ed il problema dei 7 ponti (Eulero, 1736) Cammino (path): Sequenza di nodi uniti da archi Problema: Esiste un cammino che attraversi tutti i ponti percorrendo ciascuno di essi una volta sola ? Lunghezza del cammino= N. dei suoi archi PROBLEMI DI CAMMINO MINIMO

  8. esempio PROBLEMI DI CAMMINO MINIMO • Applicazioni: • Il problema del commesso viaggiatore • Problemi di trasporto • Logistica • Instradamento del flusso dati (reti di comunicazione) • … Osservazione: Limite superiore per la lunghezza del cammino lunghezza del path più lungo tra due nodi del grafo Diametro Osservazione: studio del caso peggiore del cammino minimo= studio del diametro 90

  9. Definizione Utilizzo di metodi probabilistici RANDOM + NETWORKS • rete • grafo (graph) • (Sylvester (1878) Nature) Studio delle proprietà che valgono con alta probabilità per grafi ottenuti utilizzando particolari distribuzioni di probabilità per selezionare nodi ed archi. 90

  10. esempio RANDOM NETWORKS Primo articolo sui random graphs (Erdos e Renyi, 1959) Rete con N nodi e connettendo ogni coppia di nodi con probabilità p Osservazione: Il numero delle coppie di nodi è N(N-1)/2 Osservazione: il valore atteso del numero di archi m è E(m)= p N(N-1)/2 Domande classiche: Come dipende il diametro dal numero di nodi? Esiste un cammino che tocca tutti i nodi (ovvero, il grafo è connesso)? Ci sono cammini del tipo (triangoli) ? Obbiettivo: trovare la soglia pcoltre la quale le proprietà sono verificate quasi sempre. 90

  11. esempio RANDOM NETWORKS Scoperta principale: per molte proprietà p(N) esiste pc(N) tale che - Se la p(N) cresce con N più velocemente di pc(N) allora quasi ogni grafo con probabilità di connessione p(N) ha la proprietà - Se la p(N) cresce con N più lentamente di pc(N) allora quasi ogni grafo con probabilità di connessione p(N) NON ha la proprietà Domande classiche: 1. Come dipende il diametro dal numero di nodi? 2. Esiste un cammino che tocca tutti i nodi (ovvero, il grafo è connesso)? 3. Ci sono triangoli ? • Risposte: 1. diametro=O(log(N)) • 2. -Se il valore medio degli • archi uscenti da un nodo è • 3. solo se p>=1/N • =pN<1, no • > 1 no, ma il diametro è lo stesso di un grafo dello stesso tipo e connesso • >=ln(N) si’ 90

  12. 1. esempio Differenze di approccio tra le varie discipline Formalizzazione matematica e calcolo della soluzione Ottima; algoritmi. Ricerca operativa Studio delle componenti connesse Percolazione Utilizzo della probabilità e soprattutto del calcolo combinatorio per lo studio della dipendenza del diametro dal numero dei nodi ed archi Random networks Utilizzo della probabilità per studiare reti con particolari strutture e proprietà Complex networks

  13. RANDOM NETWORKSper le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio 2008 Definizione di network; esempi; Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; Processi diffusivi su reti; Self-organized criticality; Applicazioni economiche e finanziarie. 90

  14. 2. Dalle random network alle complex network COMPLEXNETWORKS RANDOM NETWORKS grafi con proprietà topologiche non banali grafi ottenuti utilizzando particolari distribuzioni di probabilità per selezionare nodi ed archi. Il termine “COMPLEX” è in opposizione a “SEMPLICE” Reti “SEMPLICI” sono quelle con struttura regolare, come le griglie (lattice) oppure grafi completi (ciascun nodo è collegato con ciascun altro).

  15. 2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: • Clustering • Betweenness • Small world • Scale-free • a.Confronto small word e scale-free • b.Algoritmi per la costruzione scale free • Assortativity/disassortativity • Community structure • Hierarchical structure • Resilience 90

  16. Dalle random network alle complex network • 1. clustering coefficient Gli amici dei miei amici sono miei amici? Proprietà di transitività C A è amico di B che è amico di A e C, ma A e C non sono amici B A D = Clustering coefficient N. triangoli = + + N. triangoli cui manca un arco 90

  17. Dalle random network alle complex network • 1. clustering coefficient C Gli amici dei miei amici sono miei amici? Reti complesse: Reti sociali Reti tecnologiche 90

  18. Dalle random network alle complex network • 1. clustering coefficient C Gli amici dei miei amici sono miei amici? reti “puramente” random: C=O(n-1) Griglie non triangolari: C=0 Grafi totalmente connessi: C=1 90

  19. 2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: • Clustering • Betweenness • Small world • Scale-free • a.Confronto small word e scale-free • b.Algoritmi per la costruzione scale free • Assortativity/disassortativity • Community structure • Hierarchical structure • Resilience 90

  20. Dalle random network alle complex network • 2. betweenness (centrality) Esprime l’importanza di un nodo nel grafo Numero dei cammini più brevi tra qualsiasi coppia di nodi che passa attraverso v C(v)= Numero dei cammini più brevi tra qualsiasi coppia di nodi betweenness (rosso=0,blu=massimo) Esempio: il nodo ha C(v) più alto 90

  21. 2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: • Clustering • Betweenness • Small world • Scale-free • a.Confronto small word e scale-free • b.Algoritmi per la costruzione scale free • Assortativity/disassortativity • Community structure • Hierarchical structure • Resilience 90

  22. Dalle random network alle complex network • 3. small world il diametro della rete è piccolo rispetto al numero di nodi N (<=log(N)) Fotografia di un poster nella metro di Parigi che pubblicizzava una serie di eventi musicali (agosto 2007) Esempi (reti sociali): esperimento del sociologo Stanley Milgram (1967): è possibile contattare chiunque tramite (in media)d=6conoscenti Per gli attori di Hollywood (in media) d=3.65 Co-autori matematici (in media) d =9.5 90

  23. Dalle random network alle complex network • 3. small world Kevin Bacon number: Numero di conoscenze intermedie per arrivare a Kevin Bacon (gioco del 1994) Esempio 1 Kevin Bacon. CAPE FEAR Robert De Niro GOODFELLAS Joe Pesci Nick Nolte   JFK Grado di separazione di Nick Nolte: 3 Esempio 2 TOP GUN A FEW GOOD MAN Val Kilmer Tom Cruise Kevin Bacon Grado di separazione di Val Kilmer: 2

  24. Dalle random network alle complex network • 3. small world Erdős–Baconnumber: Erdős : matematico ungherese Numero di Erdős = lunghezza della più breve catena di coautori in cui solo l’ultimo ha scritto un lavoro con Erdős Erdős–Baconnumber= Erdős number + Baconnumber Esempio: Erdős ha Bacon number 3: Erdős -> N is a number: a portait of Paul Erdős -> Mark Adler -> Rat Pack -> Joe Mantegna -> Sognando Manhattan K.Bacon 90

  25. 2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: • Clustering • Betweenness • Small world • Scale-free • a.Confronto small word e scale-free • b.Algoritmi per la costruzione scale free • Assortativity/disassortativity • Community structure • Hierarchical structure • Resilience 90

  26. Dalle random network alle complex network • 4. scale-free Grado di un nodo = numero di archi uscenti Grado 2 Grado 3 Grado 1 Per ogni rete si può calcolare la probabilità P(k) del grado k dei nodi Reti scale-free: P(k) k- 90

  27. Dalle random network alle complex network • 4. scale-free 90

  28. Dalle random network alle complex network • 4.a confronto small-world e scale-free Sono “small world” le reti in cui la distribuzione di probabilità del grado dei nodi single-scale network Decresce rapidamente. Esempi: random networks (decrescita esponenziale), traffico tra aeroporti, rete di conoscenti: comunità mormone dello Utah, studenti della scuola superiore. broad-scale network Decresce polinomialmente fino ad un certo punto e poi più rapidamente (cutoff) Esempi: movie-actor network scale-free network Decresce polinomialmente Esempi: rete di citazione di lavori scientifici, www, Internet (router, domini), reti elettriche, rete neurale del verme caenorhabditis elegans, …

  29. Dalle random network alle complex network • 4.a confronto small-world e scale-free Osservazione: le griglie NON sono small world e NON sono scale-free Lattice d=3 Lattice d=1 Lattice d=2 Come costruire una rete scale-free? 90

  30. Dalle random network alle complex network • 4.b algoritmi per le scale-free networks preferential attachment I nuovi nodi che sono aggiunti alla rete sono collegati più facilmente a nodi che hanno più archi. Modelli di reti sociali 90

  31. 2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: • Clustering • Betweenness • Small world • Scale-free • a.Confronto small word e scale-free • b.Algoritmi per la costruzione scale free • Assortativity/disassortativity • Community structure • Hierarchical structure • Resilience 90

  32. Dalle random network alle complex network • 5. assortativity/disassortativity Correlazione tra i gradi di nodi uniti da archi Assortative networks: I nuovi nodi che sono aggiunti alla rete sono collegati più facilmente a nodi che hanno più archi. Esempi: reti sociali Disassortative networks: Nodi con pochi archi sono collegati con nodi con molti archi e viceversa. Esempio: reti tecnologiche 90

  33. Grafo dei collegamenti dalla pagina principale di wikipedia 90

  34. 2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: • Clustering • Betweenness • Small world • Scale-free • a.Confronto small word e scale-free • b.Algoritmi per la costruzione scale free • Assortativity/disassortativity • Community structure • Hierarchical structure • Resilience 90

  35. Dalle random network alle complex network • 6. community structure I nodi si dividono in gruppi con - alta densità di connessioni fra di loro e - bassa densità di connessioni verso gli altri Esempio: rete di amicizie nelle scuole 90

  36. 2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: • Clustering • Betweenness • Small world • Scale-free • a.Confronto small word e scale-free • b.Algoritmi per la costruzione scale free • Assortativity/disassortativity • Community structure • Hierarchical structure • Resilience 90

  37. Dalle random network alle complex network • 7. strutture gerarchiche Caso particolare della suddivisione In communities 90

  38. 2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: • Clustering • Betweenness • Small world • Scale-free • a.Confronto small word e scale-free • b.Algoritmi per la costruzione scale free • Assortativity/disassortativity • Community structure • Hierarchical structure • Resilience 90

  39. Dalle random network alle complex network • 8. resilience Robustezza delle reti rispetto a rimozione random dei nodi -scale-free: rimozione di piu’ del 99% dei nodi Interventi mirati: isolare gli hubs (nodi piu’ connessi) Assortative: rimuovere il “club” centrale Disassortative: gli hubs sono sparsi nella rete 90

  40. Dalle random network alle complex network • 8. resilience • Robustezza delle reti rispetto a rimozione random dei nodi -scale-free: rimozione casualedi piu’ del 99% dei nodi Interventi mirati: isolare gli hubs • Assortative: rimuovere il “club” centrale • Disassortative: rimuovere gli hubs sparsi nella rete La proprietà di resilience è particolarmente importante nello studio della diffusione di epidemie. 90

  41. RANDOM NETWORKSper le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio 2008 Definizione di network; esempi; Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; Processi diffusivi su reti; Self-organized criticality; Applicazioni economiche e finanziarie. 90

  42. 3. Processi diffusivi La struttura della rete è importante per lo studio dei processi diffusivi Problema importante per la diffusione delle epidemie. Esempio: diffusione della SARS Interventi mirati: isolare gli hubs 90

  43. 3. Processi diffusivi Importanza della struttura dei primi vicini: diffusione delle epidemie Disassortative Neutral Assortative t 90

  44. 3. Processi diffusivi importanza della struttura dei primi vicini Diffusione dell’informazione

  45. 3. Processi diffusivi importanza della struttura dei primi vicini The Diffusion of Innovations in Social NetworksH. Peyton Young [..] New ideas and ways of doing things do not necessarily take hold all at once, but often spread gradually through social networks. In a classic study, Coleman, Katz, and Menzel (1966) showed how doctors‘ willingness to prescribe the new antibiotic tetracycline diffused through professional contacts. A similar pattern has been documented in the adoption of family planning methods, new agricultural practices, and a variety of other innovations (Rogers and Shoemaker, 1971; Rogers and Kincaid, 1981; Rogers, 1983; Valente, 1995). In the first stage a few innovators adopt, then people in contact with the innovators adopt, then people in contact with those people adopt, and so forth until eventually the innovation spreads throughout the society. [..] 90

  46. RANDOM NETWORKSper le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio 2008 Definizione di network; esempi; Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; Processi diffusivi su reti; Self-organized criticality; Applicazioni economiche e finanziarie. 90

  47. 3. Self-organized criticality Modello di Bak e Sneppen Self-organizedcriticality “is a property of (classes of) dynamical systems which have a critical point as an attractor. Their macroscopic behaviour thus displays the spatial and/or temporal scale-invariance characteristic of the critical point of a phase transition, but without the need to tune control parameters to precise values. ” 90

  48. 1-d Bak-Sneppen Evolution Model • L agents • Fitness • Drawn at t=0: uniform distribution in (0,1) • coevolution: • at each time step t the lowest fi and its first • 2 neighbours are replaced by a uniform sampling min(fi) 90

  49. Caratteristiche per Soglia critica fc: i valori di fihanno una distribuzione uniforme al di sopra di un valore fc : Avalanche: Durata di un avalanche= tempo che intercorre tra due istanti in cui tutti i valori sono al di sopra di fc Probabilità di avere un avalanche di durata s: Media delle fitness

  50. Modello co-evolutivo Fase transiente Fase stabile 90

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