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Einführung in die Matrizenrechnung

Einführung in die Matrizenrechnung. Gliederung Aufbau von Matrizen Quadratisch, symmetrisch, diagonal Einheitsmatrix, Nullmatrix Rechenoperationen Addition Skalar-Multiplikation Matrix-Multiplikation. Der Aufbau einer Matrix. Zeilenindex. Spaltenindex. Quadratische Matrizen.

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Einführung in die Matrizenrechnung

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Presentation Transcript

  1. Einführung in die Matrizenrechnung Gliederung • Aufbau von Matrizen • Quadratisch, symmetrisch, diagonal • Einheitsmatrix, Nullmatrix • Rechenoperationen • Addition • Skalar-Multiplikation • Matrix-Multiplikation 03_matritzen1

  2. Der Aufbau einer Matrix Zeilenindex Spaltenindex 03_matritzen 2

  3. Quadratische Matrizen • Quadratisch, wenn m = n • Hauptdiagonale: alle xii (x11,x22, …, xmn) • Symmetrisch: (an der Hauptdiagonale gespiegelt) • xmn = xnm • x21=x12, … , xm1=x1n, xm2=x2n, … , xm(n-1)=x(m-1)n 03_matritzen 3

  4. Die „Diagonalmatrix“ • Diagonalmatrix: • quadratische Matrix • alle Elemente außer der Hauptdiagonalen sind Null 03_matritzen 4

  5. Die „Einheitsmatrix“ • Einheitsmatrix (E) bzw. Identitätsmatrix (I): • Diagonalmatrix • alle Elemente der Hauptdiagonalen haben den Wert 1 • neutrales Element der Matrixmultiplikation: X ·E=X 03_matritzen 5

  6. Die „Nullmatrix“ • Nullmatrix: • beliebige Dimensionen • alle Elemente gleich Null • neutrales Element der Matrixaddition: X+N=X 03_matritzen 6

  7. Rechnen mit Matrizen Rechenoperationen • Matrixaddition: Am×n + Bm×n= Cm×n • Skalarmultiplikation: a · Am×n= Bm×n • Matrixmultiplikation: Am×n·Bn×k= Cm×k 03_matritzen 7

  8. Addition von Matrizen  Die Matritzenaddition ist kommutativ! 03_matritzen 8

  9. Skalarmultiplikation  Kommutativ!  Distributiv! 03_matritzen 9

  10. Multiplikation von Matrizen Voraussetzung: Spaltenanzahl der ersten Matrix = Zeilenzahl der zweiten Matrix 03_matritzen 10

  11. Multiplikation von Matrizen  NICHT kommutativ!  distributiv!  assoziativ! 03_matritzen 11

  12. Neutrales Element der Matrizen-Multiplikation Die Einheitsmatrix (E) ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation: Xm×n· Enxn = Xm×n 03_matritzen 12

  13. Matrizenrechnung Zusammenfassung • Matrizen sind Tabellen mit m x n Zahlen, wobei m die Anzahl der Zeilen und n die Anzahl der Spalten beschreibt. • Für die Matrizenrechnung sind die symmetrische Matrix, die Einheitsmatrix und die Nullmatrix von besonderer Bedeutung. • Matrizenrechnung: Matrizen-Addition: Am×n + Bm×n = Cm×n Skalar-Multiplikation: a · Am×n = Bm×n Matrizen-Multiplikation: Am×n + Bn×k = Cm×k 03_matritzen 13

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