Ausgleichung ohne Linearisierung

1. Ausgleichung ohne Linearisierung • Problematik • Lösen linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme • Lösen nicht linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme • Lösen nicht linearer, überbestimmter Gleichungssysteme Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

2. Beispiel: Tachymeter Zeiss Elta 2 Modell für Fehler-korrektur:Sinusschwingung Vergleich mitLaser-Interferometer Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

3. Beispiel: Fortsetzung Näherungswerte: Gesucht: Wahrscheinlichste Werte der Parameter a0bis a3und ausgeglichene Beobachtungen dibzw. ci Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

4. Beispiel: Lösung (1) Fehlender Näherungswert: Erstes Wertepaar: Fehlermeldung, da Ausdruck bei arcsin >1  2. Wertpaar verwendet: a3=3,6 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

5. Beispiel: Lösung (2) Ableitungen der Bedingungsgleichungen: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

6. Beispiel: Lösung (3) B-Matrix: Ableitungen nach c und d A-Matrix: Ableitungen nach a0 bis a3 Widerspruchsvektor w Gewichtsmatrix Einheitsmatrix Gleichungssystem Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

7. Beispiel: Lösung (4) Auflösung liefert Unbekanntenzuschläge x und Verbesserungen v Hauptprobe: Geht nicht auf! Iteration notwendig Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

8. Einfach lösbar weil … Einfache, geschlossen Berechnung der NäherungswerteWie geht man vor, wenn keiner der vier Näherungswerte gegeben ist? Konvergierende Iteration Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

9. Lösen nicht überbestimmter Gleichungssysteme Gegeben: Gesucht: Lösung des Systems (gemein-same Nullstellen der Polynome) Lösung: Diagonalfom: Lösung direkt ablesbar! Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

10. Lösen nicht überbestimmter, nicht linearer Gleichungssysteme Gegeben: 2 Festpunkte,2 Strecken zu Neupunkt Gesucht: Koordinatendes Neupunktes Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

11. Lösung (1) Funktionaler Zusammenhang: Ausmultipliziert:mit den Unbekannten xNund yN Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

12. Lösung (2) Einsetzen der bekannten WerteKeine ‚nette‘ Form der Darstellung (Lösung nicht direkt ablesbar) Lösung direkt ablesbar aus (ohne Beweis): Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

13. Lösung (3) Gesuchte Lösung des Systems ist: Lösung der Aufgabe: Frage: Wie sind wir auf das ‚nette‘ Gleichungssystem gekommen? Gröbner-Basis Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

14. Gröbner-Basis Entwickelt von Buchberger in den 60er-Jahren des 20. Jahrhunderts Gegeben: System F von Polynomen Gesucht: Nullstellen von F Fin System Gtransformiert, das ‚nettere‘ Eigenschaften hat Fund Gsind äquivalent  Lösung von Gist auch Lösung on F Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

15. Begriffe • Multivariate Polynome: Polynom in mehreren Variablen – Kombinationen von Variablen sind erlaubt (z.B. xy) • Bivariate Polynome: 2 Variable Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

16. Beispiel Gegeben sind:bivariate PolynomeSystem von Polynomen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

17. Monomen Summanden: Monome Wichtigste Arten der Sortierung: • Nach dem Lexikon (lexikographisch) • Erst nach der Potenz, dann lexikographisch Im Beispiel: lexikographisch (erst nach y, dann nach x, dann absteigende Potenz) Erstes Monom: Führendes Monom Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

18. Division/Reduktion (1) Einzelne Monome von g werden mit Hilfe von f1und f2eliminiert Mögliche Division:Reduziert g modulo f1 Das führende Monom von (3y)f1muss eines der Monome von g eliminieren Mathematisch:(„g reduziert sich zu h modulo f1“) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

19. Division/Reduktion (2) Im Allgemeinen viele verschiedene Reduktionen möglich In unserem Beispiel: Somit: und . Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

20. Division/Reduktion (3) bedeutet, dass sich g über die Funktionen aus F zu h reduzieren lässt Reduktion über eine endliche Anzahl von Schritten: Wenn nicht mehr weiter reduzierbar: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

21. Eigenschaften der Reduktion Terminierung – es gibt keine unendliche Kette von Reduktionsschritten Reduktion ist algorithmisch – für alle g und F gibt es einen Algorithmus, der eine reduzierte Form erzeugt Nicht-Eindeutigkeit – aus g und F können unterschiedliche Ergebnisse h und k erzeugt werden: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

22. Gröbner-Basis Set von Polynomen mit eindeutiger Reduktion Definition: F ist eine Göbner-Basis F ist eindeutig, also Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

23. S-Polynom Gegeben 2 Polynome Mit einem solchen Monom multipliziert, sodass die führenden Monome gleich sind S-Polynom ist die Differenz der beiden Polynome Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

24. Beispiel: S-Polynom Gegeben: Gesucht: S-Polynom Ergebnis: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

25. Bestimmung Gröbner-Basis Gegeben: Beliebige Menge F von Polynomen Gesucht: Menge G von Polynomen, die eine Gröbner-Basis bilden Berechnung: Buchberger-Algorithmus Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

26. Buchberger-Algorithmus (1) Setze G=F Für jedes Paar von Polynomen f1und f2 G: • S[f1,f2] berechnen und zur reduzierten Form h vereinfachen • Wenn h = 0 dann nächstes Paar • Wenn h ≠ 0 dann zu G hinzufügen und iterieren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

27. Buchberger-Algorithmus (2) Lineare Polynome: Ergebnis entspricht der Gauß‘schen Elminiation Verallgemeinerung der Gauß‘schen Elimination Nähere Beschreibung: Dissertation Bruno Buchberger:http://www.risc.uni-linz.ac.at/people/buchberg/ Berechnung: Software-Pakete Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

28. Was können wir jetzt? • Lösen von linearen Gleichungssystemen: z.B. Gauß‘sche Elimination • Lösen von nicht linearen Gleichungs-systemen: Gröbner-Basis • Lösen von überbestimmten, linearen Gleichungssystemen: Methode der kleinsten Quadrate Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

29. Lösen überbestimmter, nicht linearer Gleichungssysteme Direkte Anwendung der Gröbner-Basis nicht möglich Lösung von Awange und Grafarend: • Bestimmung der eindeutigen Lösungen über Gröbner-Basis • Lösungen als Beobachtungen betrachten und Genauigkeit über Fehlerfortpflanzung • Lösung nach Ausgleichung direkter Beobachtungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

30. Vorteile dieser Lösung • Keine LinearisierungSomit keine Näherungswerte notwendig • Keine Iteration nötig • Für Detektion grober Fehler verwendbar (A 2) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

31. Beispiel: Überbestimmter Bogenschnitt Bogenschnitt von 3 Punkten  3 eindeutige Lösungen N12, N13, N23 Zufällige Fehler bewirken Abweichungen Vorschlag von Gauß: Eindeutige Lösung über gewichtetes arithmetisches Mittel, Gewichte aus Distanzen Jacobi: Gewichte aus Determinanten der Lösungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

32. Kombinationsansatz (1) Lineares Problem: Aus je 2 Gleichungen eine Lösung: Lösungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

33. Kombinationsansatz (2) Gewichtetes arithmetisches Mittel Gewichte p aus Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

34. Kombinationsansatz (3) Nicht lineares Problem: Gewichte über Fehlerfortpflanzung abzuleiten Liefert Varianz-Kovarianzmatrix Ausgleichung direkter Beobachtungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

35. Zusammenfassung • Notwendige Linearisierung bei Ausgleichs-problemen kann zu Schwierigkeiten führen • Gröbner-Basis ermöglicht Lösung ohne Linearisierung (also auch ohne Näherungswerte) • Vorteile: Rechenaufwand abschätzbar, Wiederholung einfach • Nachteil: Mathematisch aufwändiger Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil