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Estado del cálculo. Asimilación y síntesis de la tradición clásica griega y del legado arábigo- indú . Se sigue admirando el rigor demostrativo euclidiano pero se buscan procedimientos heurísticos . Se impone la idea de primero descubrir y luego demostrar.
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Estado del cálculo • Asimilación y síntesis de la tradición clásica griega y del legado arábigo-indú. • Se sigue admirando el rigor demostrativo euclidiano pero se buscan procedimientos heurísticos. Se impone la idea de primero descubrir y luego demostrar. • Progresos decisivos en el simbolismo algebraico (Viéte, Stevin). Concepto de cantidad abstracta. • Invención de los logaritmos por Nepery uso de éstos, entre otros por B. Cavalieri • Invención de la geometría analítica por Fermat y Descartes. • Invención de métodos infinitesimales para tratar problemas de cuadraturas, tangentes, máximos y mínimos. • La Revolución Científica protagonizada por Stevin, Galileo y Kepler reclama procedimientos más expeditivos. • Progresos de la astronomía y de la trigonometría.
Inventores del cálculo • Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) .
I. Newton • Físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemáticoinglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia , donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. • Su padre murió tres meses antes de que naciera y su madre se volvió a casar cuando Isaac apenas tenía tres años, por lo que fue criado por su abuela. Esta separación le traumatizó. • Tuvo problemas de salud y dificultades en los estudios (era el penúltimo de la clase). Con 17 años le sacaron del colegio para ayudar a la granja familiar, pero se pasaba la mayor parte del tiempo resolviendo problemas, experimentando e ideando modelos mecánicos.
I. Newton • Como era un pésimo granjero, su madre y su tío decidieron que fuera al College Trinity de Cambridge donde ingresó en 1661 y se licenció en Artes en 1665. • A partir de 1663 Newton conoció a Barrow, quien le dio clase como primer profesor lucasiano de matemáticas. • En la misma época, Newton entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros. • Desde finales de 1664, aborda entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos de Wallis, y el cálculo de fluxiones.
I. Newton • En 1665, numerosas enfermedades asolaron Europa siendo la más importante la peste. Por esta causa se cerró la Universidad y tuvo que volver a la granja. • Retirado con su familia, vive un período muy intenso de descubrimientos.: descubre la ley la gravitación, desarrolla su cálculo de fluxiones, generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la naturaleza física de los colores. Finalmente descubre el método inverso de fluxiones y la relación entre la cuadratura y las fluxiones. • Sin embargo, Newton guarda silencio sobre sus descubrimientos y reanuda sus estudios en Cambridge en 1667, donde llega a ser catedrático.
I. Newton • En 1689 fue elegido miembro de la Cámara de los Lores, aunque no tenía nada que ver con la política. Al año siguiente se disuelve la cámara y Newton vuelve a su cátedra.En 1693, debido al exceso de trabajo (o a un autoenvenenamiento con uno de sus experimentos) se desplomó mentalmente. Derrumbe del que tardo meses en salir y desde ese momento no fue el mismo genio que había sido hasta entonces.En 1696 fue nombrado inspector de la Casa de la Moneda y se encargó de la reforma del sistema de acuñaciones. En 1699 fue nombrado director de la misma. En 1703 fue elegido presidente de la Sociedad Real siendo reelegido cada año hasta su muerte. En 1705 es nombrado Caballero del Imperio británico (Sir) • Después de una larga y atroz enfermedad, Newton murió el 20 de marzo de 1727, en Kensington, siendo enterrado en la famosa abadía de Westminster junto a los grandes de Inglaterra.
En la diapositiva anterior faltan los denominadores en la expresión de la raíz. • (1+x)^(1/2)=1+ ½ x-1/8 x^3+1/16 x^4-…
Teorema del binomio • Leibniz responde, dos meses después que está en posesión de un método general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. • Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto la serie binómica. • A partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas, ya que resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones que representaban. • Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.
I. Newton • En dicha monografía Newton empieza dando unas reglas para calcular cuadraturas. Más tarde en el mismo tratado da un procedimiento para hallar la ordenada de una curva cuya cuadratura está dada. • De alguna manera es el comienzo de que el cálculo diferencial e integral juegan un papel inverso.
De Analysi • Compuesto en 1669 a partir de conceptos elaborados en 1665-1666, no fue publicado hasta 1711, aunque era conocido entre los próximos a Newton porque circulaba en forma manuscrita desde 1669. Al comienzo de sus investigaciones sobre las propiedades de las líneas curvas, Newton se apoya principalmente en el método de las tangentes de Descartes, Newton se dispone desde el principio a elaborar algoritmos que le permitan simplificar la resolución de los problemas de tangentes, cuadratura y rectificación de curvas. De analysi contiene los fundamentos de su método de las series infinitas que se manipulan mediante operaciones de división y extracción de raíces.
De Analysi • Utiliza la relación de reciprocidad entre la diferenciación y la integración y aplica su método para obtener el área comprendida bajo diversas curvas y para resolver numerosos problemas que requieren sumaciones. • Enuncia y utiliza también la regla moderna: la integral indefinida de una suma de funciones es la suma de las integrales de cada una de las funciones. • Se sirve también de las series infinitas para integrar curvas utilizando la regla de integración término a término. • Añadamos que, con motivo de ciertas observaciones a propósito de la utilización de las series infinitas, Newton parece estar preocupado por el concepto de convergencia, pero no aporta ninguna solución a este problema. • Toma también de la física ciertos conceptos que se revelan útiles para sus métodos infinitesimales y para traducir su concepción cinemática de las curvas.
Problema 2: T. Fundamental Supone una curva y llama z al área bajo la curva hasta el punto de abscisa x (ver figura 3). Se supone conocida la relación entre x y z. El ejemplo que Newton considera es z(x)=(a/r)x^r.
Teorema fundamental • Newton se imagina que el punto P = (x, y) se mueve a lo largo de la curva y razona como sigue. • Incrementemos la abscisa x a x + o, donde o es una cantidad infinitesimal. • Tomemos BK = v de forma que 0.v= área BbHK = área BbPd. • El incremento del área viene dado por: • 0.v = z(x + o) - z(x) = (a/r)(x+ o)^r-(a/r)x^r= • =(a/r)x^r[1 + r (o/x)+r(r -1)/2 (o^2/x^2) +...]- (a/r)x^r
I. Newton • Newton expone en el artículo XX de su Método un procedimiento para la determinación aproximada de las raíces de una ecuación. Lo presenta como un método para efectuar «la reducción de las ecuaciones afectadas», para reducirlas a sucesión infinita.Este método fue modificado ligeramente por Joseph Raphson en 1690, y después por Thomas Simpson en 1740, para dar la forma actual. • Ejemplo: Sea la ecuación y^3-2y-5=0 • Observa que y=2 es una aproximación de la solución. • Escribe luego y=2+p y lo sustituye en la ecuación para encontrar p^3+6p^2+10p-1=0 • Como p es pequeño, elimina los términos p^3,6p^2, para obtener 10p-1=0, de donde p=0.1. De este modo y=2.1 es la segunda aproximación de la raíz buscada. • Toma ahora p=0.1+q, que sustituyendo en la ecuación para p nos da q^3+6.3 q^2+11.23 q +0.061=0 • Tomando otra vez su parte lineal, obtenemos que 11.23 q+0.061=0, esto es, q=-0.0054, lo que nos da como nuevo valor aproximado y=2.0946, • Toma ahora q=-0.0054+r, sustituyendo en la ecuación para q, tomando su parte lineal y resolviendo, nos da como nuevo valor aproximado y=2.09455147.
El método de las fluxiones Newton incluye también una fórmula de aproximación para la solución de las ecuaciones que llevan su nombre, y el paralelogramo de Newton, útil para el desarrollo de series infinitas y para el trazado de curvas.Cuando Newton aborda el problema de «trazar las tangentes de las curvas», expone nueve maneras diferentes de hacerlo, teniendo en cuenta las «diferentes relaciones de las curvas con las líneas rectas». En la exposición de la séptima manera encontramos por primera vez la utilización de las coordenadas polares.
I. Newton • La obra magna de Newton es Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, cuya primera edición se hizo en 1687 y está considerada como la obra científica más importante de todos los tiempos y una hazaña intelectual incomparable por sus logros y sus consecuencias. • En dicha obra Newton establece los fundamentos de la mecánica y enuncia las tres célebres leyes del movimiento, así como la ley de la gravitación universal.
I. Newton • Los Principia consta de tres libros escritos en el estilo tradicional a la manera de los Elementos de Euclides, y su lenguaje es principalmente el de la geometría sintética, esto es, aquella que puedes construir axiomáticamente con un tratamiento lógico-deductivo. • En los dos primeros libros, se estudia el movimiento de los cuerpos en el vacío y en un medio resistente. • Newton deduce matemáticamente las tres leyes que Kepler había obtenido empíricamente. • En Los Principia apareció, de forma bastante circunstancial la primera noticia impresa de la teoría de fluxiones. • En un primer momento su argumentación está basada en el concepto de cantidad infinitesimal, entendida como una cantidad menor que cualquier cantidad positiva pero no nula, y evidentemente esto presentaba problemas de coherencia lógica de los que Newton era muy consciente.
I Newton Hay distintas interpretaciones de las razones que llevaron a Newton a exponer su cálculo de una u otra forma. La más extendida es que su intención era conseguir una fundamentación rigurosa del mismo. • La primera exposición, basada en el concepto de cantidad infinitesimal, entendida como una cantidad menor que cualquier cantidad positiva pero no nula, presentaba problemas de coherencia lógica de los que Newton era muy consciente. • Posteriormente, puede verse un intento de Newton por evitar los problemas matemáticos del continuo (infinitesimales, indivisibles) y trasladarlos al mundo físico, a la continuidad de los procesos naturales y al movimiento. • Así, en Methodus Fluxionum et Serierum Innitarum (1671), el concepto básico es el de cantidad en movimiento que fluye continuamente en el tiempo. Las magnitudes están generadas por el movimiento continuo y no por agregación de cantidades infinitesimales; la idea básica es la de continuidad tal como se observa en los procesos de la Naturaleza.
I. Newton • Quizás Newton pretendía de esta forma evitar el uso de infinitesimales estáticos o geométricos, pero lo que realmente hizo fue sustituirlos por los infinitesimales de tiempo usados para definir los momentos de las fluentes. • Newton aceptaba como algo dado la idea intuitiva de velocidad instantánea de las fluentes, no le pareció preciso definirla, usa dicho concepto a partir de la intuición mecánica del movimiento.
I. Newton • En De Quadratura Curvarum (1676), publicada en 1704, Newton expresa su propósito de abandonar por completo el uso de cantidades infinitesimales. Manifiesta en este sentido que “errores quam minimi in rebus mathematicis non sunt contemnendi” , esto es, que en matemáticas ni siquiera los errores más pequeños pueden ser admitidos. Y eso es justamente lo que se hacía cuando se despreciaban en los cálculos cantidades infinitesimales. • En sus propias palabras, su cálculo estaba “concisamente explicado más que exactamente demostrado”.
I. Newton En su obra Quadratura curvarum explica
I. Newton • Seguidamente, enuncia su teoría de las razones primera y última de cantidades evanescentes . Dice: “Por última razón de cantidades evanescentes debemos entender el cociente de estas cantidades, no antes de que desvanezcan, ni después, sino tal como van desvaneciendo”. • De esa forma se refiere Newton a los cocientes de los incrementos infinitesimales de las cantidades variables, y su objetivo es determinarlos en el momento en que dichas cantidades nacen desde cero (razón primera) o se anulan (razón última) • Estas ideas señalan claramente al concepto matemático de límite. • Pero estamos en el siglo XVII y se necesitarán casi 200 años para precisar matemáticamente el concepto de límite. Entrar en YouTube y buscar: "Canal educación matemática" Nos saldrán, además de esta colección de historia, otras muchas • colecciones interesantes de documentales sobre matemáticas.
