Modellazione delle Performance a Livello di Componenti

1. Modellazione delle Performance a Livello di Componenti • Cenni di reti di code- MVA per reti di code aperte, chiuse

2. Tipi di risorse in una rete di code S(n) R(n) n Load independent S(n) R(n) n Load dependent S(n) R(n) n Delay

3. uscite arrivi DISK DISK CPU TAPE TAPE M clienti CPU Reti di code aperte Reti di code chiuse

4. Nomenclatura K: numero di code X0: throughput medio della rete. Nel caso di rete aperta in regime stazionario X0 =  Vi: numero medio di visite al servente i da parte di una richiesta generica da quando viene generata all’istante in cui viene soddisfatta (esce dal sistema nel caso di rete aperta) Si: tempo medio di servizio di una richiesta del servente i Wi: tempo medio di attesa in coda di una richiesta nella coda i Ri: tempo medio di risposta di una richiesta nella coda i. Ri = Si + Wi Xi: throughput della coda i-esima Xi =X0 Vi R’i: tempo medio di residenza di una richiesta generica nella coda i dall’istante in cui viene generata all’istante in cui viene soddisfatta (esce dal sistema nel caso di rete aperta) R’i =Vi Ri Di: la domanda di servizio che una richiesta effettua ad un servente di una coda i dall’istante in cui viene generata all’istante in cui viene soddisfatta (esce dal sistema nel caso di rete aperta) Di =Vi Si

5. Qi: tempo totale speso da una richiesta in attesa nella coda i dall’istante in cui viene generata all’istante in cui viene soddisfatta (esce dal sistema nel caso di rete aperta) Qi =Vi Wi ------------------------------- R’i =Vi Ri =Vi (Wi +Si) =Wi Vi + Si Vi = Qi +Di ------------------------------- R0: tempo medio di risposta ad una richiesta dell’intero sistema R0 = ki=1 R’i ni: numero medio di richieste alla coda i in attesa o che stanno ricevendo un servizio N: numero medio di richieste nel sistema N = ki=1 ni

6. Trattazione Reti Aperte (Single Class) Equazioni: Arrival theorem (for open networks): il numero medio di richieste residenti in una coda i trovate da una richiesta entrante nella stessa coda (nai) è pari al numero medio di richieste nella coda i (ni) . . Ri(n) = Si + Wi(n) = Si + ni  Si Applicando la legge di Little (ni = Xi Ri) e Ui = XiSisi ha: . Ri = Si _ (1-Ui) Quindi: . R’i = Vi Ri = Di _ (1-Ui) Inoltre: . ni = Ui _ (1-Ui) Ri = Si (1 + ni) = Si + Si Xi Ri Ri (1- Ui) = Si Dato che Ui = Xi Si

7. Trattazione Reti Aperte (Single Class) Calcolo del massimo  : Ricordiamo che in una rete aperta la frequenza media di utenti che entrano nella rete viene fissata a priori; dato che per  troppo alto la rete diventerà instabile, siamo interessati al massimo valore di  che possiamo applicare alla rete. Dato che: . Ui = Xi Si =  Vi Si vale la .  = Ui / Di dato che Di = Vi Si Sapendo che in condizioni di massimo utilizzo della coda i Ui sarà pari a 1, possiamo calcolare il massimo  che non destabilizza il sistema: . 1 _ maxki=1 Di

8. DISK2 DISK1 CPU Esempio DB Server(Example 9.1) 10800 request per hour = X0 DCPU = 0,2 sec Service demand at CPU VDISK1 = 5 VDISK2 = 3 SDISK1 = SDISK2 = 15 msec DDISK1 = VDISK1 * SDISK1 = 5 * 15 msec = 75 msec Service demand at disk 1 DDISK2 = VDISK2 * SDISK2 = 3 * 15 msec = 45 msec Service demand at disk 2 . Service Demand Law UCPU = DCPU * X0 = 0,2 sec/req * 3 req/sec = 0,6 Utilization of the CPU UD1 = DDISK1 * X0 = = 0,225 Utilization of the disk 1 UD2 = = 0,135 Utilization of the disk 1 R’CPU = DCPU / (1- UCPU ) = 0,5 sec Residence times R’D1 = DDISK1 / (1- UDISK1 ) = 0,097 sec R’D2 = DDISK2 / (1- UDISK2 ) = 0,052 sec

9. Total response time R0 = R’CPU + R’D1 + R’D2 = 0,649 sec Average number of requests at each queue nCPU = UCPU / (1- UCPU ) = 0,6 / (1-0,6) = 1,5 nDISK1 = = 0,29 nDISK2 = = 0,16 Total number of requests at the server N = nCPU + nDISK2 +nDISK2 = 1,95 requests RMaximum arrival rate  = 1 _ = 1 _ = 5 rich /sec maxki=1 Di max (0,2; 0,075; 0,045)

10. Trattazione Reti Aperte (Multiple Class) r classi di utenti, k code Input parameters Di,r , r Equations . Ui,r () = r Vi,r Si,r = r Di,r . Ui () = Rr=1 Ui,r () . R’i,r () = Di,r delaying resource Di,r / (1-Ui ()) queuing resource . R0,r () = Ki=1 R’i,r () . ni,r () = Ui,r () / (1-Ui ()) . ni, () = Rr=1 ni,r () Utilization Average residence time of class r request at resource i Average class r request response time Average class r requests at resource i Average number of requests at resource i

11. Esempio DB server(example 9.2) query – 5 tx per second (tps) 2 classi di richieste update – 2 tx per second (tps)

12. Trattazione Reti Chiuse (Mean Value Analysis) • Permette di calcolare gli indici prestazionali (tempo medio di risposta, throughput, lunghezza media della coda, ecc…) di una rete chiusa • Metodo iterativo basato sulla considerazione che i risultati di una rete di code possano essere calcolati a partire dai risultati della stessa rete con una popolazione ridotta di un’unità. • Utilizzabile anche per reti di code ibride Nomenclatura .X0: throughput medio della rete di code. . Vi: numero medio di visite di una richiesta ad una coda i. . Si: tempo medio di servizio di una richiesta del servente i. . Ri: tempo medio di permanenza di una richiesta alla coda i. . R’i: tempo totale medio di permanenza di una richiesta alla coda i considerando tutte le sue visite alla coda. Pari a Vi Ri . Di: tempo totale medio di servizio di una richiesta alla coda i considerando tutte le sue visite alla coda . Pari a Vi Si . R0: tempo medio di risposta della rete di code. Pari alla somma degli R’i nia: numero medio di richieste che una richiesta trova al suo ingresso in coda. Forced Flow Law Data la nomenclatura vista sopra, abbiamo: . Xi = X0 Vi

13. Mean Value Analysis (Single class) Equazioni: Ri(n) = Si + Wi(n) = Si + nia(n) Si = Si (1+ nia(n) ) Arrival Theorem: il numero medio di richieste (nia) residenti in una coda i che vengono trovate da una richiesta entrante nella coda stessa è pari al numero medio di richieste in tutta la coda i nel caso in cui nella rete di code vi siano n-1 richieste (ni(n-1) cioè n meno quella che vuole il servizio sulla coda i-esima) In altri termini: nia(n) = ni(n-1) Quindi: Ri = Si(1+ni(n-1)) e moltiplicando entrambi i membri per Vi => R’i = Di(1+ni(n-1)) Applicando la legge di Little a tutto il sistema “rete di code” (n=X0R0), abbiamo che: => X0 = n / R0(n) = n / Kr=1 R’i(n) Applicando la legge di Little e la Forced Flaw Law: => ni(n) = Xi(n) Ri(n) = X0(n) Vi Ri(n) = X0(n) R’i(n)

14. Mean Value Analysis (Single class) Riassumendo, le tre equazioni sono: -> Residence Time equation R’i = Di[1+ni(n-1)] -> Throughput equation X0 = n / Kr=1 R’i(n) -> Queue lenght equation ni(n) = X0(n) R’i(n) Procedimento iterativo: • Sappiamo che ni(n) = 0 per n=0; infatti se non ci sono messaggi nelle rete di code certamente non ci sono in ognuna delle singole code che la costituiscono. • Sapendo ni(0) si possono calcolare i vari R’i(1) • Sapendo gli R’i(1) si possono calcolare i vari ni(1) e X0(1) • Sapendo gli ni(1) si possono calcolare gli R’i(2) • Si continua finchè non si sono trovati gli ni(n) R’i(n) e X0(n) dove n è il numero di richieste che circolano all’interno della rete in considerazione.

15. Esempio DB Server(example 9.3) • Richieste da 50 clients • Ogni richiesta necessita 5 letture di record da un disco • Average read time di un record = 9 msec • Ogni richiesta al DB necessita di 15 msec di CPU DCPU = SCPU = 15 msec Service demand at CPU DDISK = SDISK * VDISK = 9 * 5 = 45 msec Service demand at the disk UsingMVA Equations n = 0; Number of cuncurrent requests R’CPU = 0; Residence time for CPU R’DISK = 0; Residence time for disk R0 = 0; Average response time X0 = 0; Throughput nCPU = 0; Queue lenght at CPU nDISK = 0 Queue lenght at disk n = 1; R’CPU = DCPU = 15 msec; R’DISK = DDISK = 45 msec; R0 = DCPU + DDISK = 60 msec; X0 = n/ R0 = 0,0167 tx/msec nCPU = X0 * R’CPU = 0,250 nDISK = 0,750

16. Reti Chiuse (Single Class)Bounds Identificazione del collo di bottiglia (1/2) Normalmente il throughput generato da una rete di code tenderà a saturare al crescere delle richieste all’interno del sistema; siamo quindi interessati a individuare quale sia il componente all’interno del sistema (supposto che sia uno solo) che provoca la saturazione. • Ricordando che nel caso di reti aperte: 1 _ maxki=1 Di e sostituendo  con X0 (n): X0 (n) 1 _ maxki=1 Di • Ricordando la Throughput Equation di MVA e tenendo presente che R’i  Di per tutte le code i, abbiamo: X0 (n) = nn _ Kr=1R’iKr=1Di

17. X0 n Reti Chiuse (Single Class)Bounds Identificazione del collo di bottiglia (2/2) • Combinando le due equazioni ottenute abbiamo: -> X0 (n)  min n _ , 1 _ Kr=1Di maxki=1 Di Quindi per n piccoli il throughput crescerà al più linearmente con n, dopo di che si appiattisce su un valore pari a 1/maxki=1 Di .

18. Reti Chiuse (Single Class)Bounds Tempi medi di risposta (1/2) Quando il throughput raggiunge il suo massimo valore (cioè per n grande) il tempo medio di risposta corrisponde a: R0 (n)  n _ max throughput Quindi per grandi valori di n il tempo di risposta cresce linearmente con n: -> R0 (n)  n maxki=1 Di Al contrario, per piccoli valori di n (n prossimo ad 1) il tempo medio di risposta sarà pari a . -> R0 (n) = Kr=1Di dato che i tempi di attesa sono nulli.

19. Reti Chiuse (Single Class)Bounds Tempi medi di risposta (2/2) Potremo quindi stabilire un lower bound sul tempo medio di risposta pari a: -> R0(n)  max Kr=1Di , maxki=1 Di

20. Esempio DB Server(Example 9.4) Nuovi scenari rispetto es.precedente: • Aumento degli indici nel DB • Disco 60% più veloce (average service time = 5,63 msec) • CPU più veloce (service demand = 7,5 msec)

21. Mean Value Analysis (Multiple Class) Denotati con: . N: il vettore contenente il numero di richieste per ogni classe all’interno del sistema; Nr numero di richieste di classe r . lr: un vettore contenente 0 in ogni posizione diversa da r e 1 nella posizione r; Le equazioni caratterizzanti il sistema sono: -> Residence Time Equation for class r R’i,r(N)= Di,r[1+ni(N – 1r)] -> Throughput equation for class r X0,r = Nr / Kr=1 R’i,r(N) -> Queue lenght equation for class r ni,r(n) = X0,r(n) R’i,r -> Queue equation ni(N)= Rr=1 ni,r(N)

22. Mean Value Analysis (Multiple Class) Quando si usano molte classi, il calcolo della ni per un certo N richiede di calcolare tutte le ni,r; queste dipendenze rendono spesso molto oneroso il calcolo della MVA; Per questo si usa un metodo approssimato basato sull’osservazione che il numero di richieste di una classe r presenti un una coda è proporzionale al numero di richieste di classe r nella rete di code. Da questo segue che: ni,r ( N – lr) = Nr – 1 ni,r ( N ) Nr E quindi la seguente equazione: -> Approssimazione ni,r ( N – lr) = Nr – 1 ni,r ( N ) Nr Tuttavia questa approssimazione si basa sulla conoscenza di: ni,r(N). Normalmente per risolvere questo problema si usa un metodo iterativo basato sull’utilizzare un valore ni,r(N) approssimato, ricavare iterativamente ni,r(N), e ripetere il procedimento finché la differenza fra i due valori non scende al di sotto di una soglia di errore precedentemente stabilita.