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Lección 17 : Indice

Lección 17 : Indice. 17.1 .- Introducción al Potencial Interno. 17.3 .- Teorema de Clapeyron. Expresiones del potencial interno. 17.4 .- Teorema de reciprocidad de Maxwell - Betti. Lección 18 : Indice. 18.1 .- Teorema de Castigliano. Integrales de Mohr.

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  1. Lección 17 : Indice • 17.1 .- Introducción al Potencial Interno. • 17.3 .- Teorema de Clapeyron. Expresiones del potencial interno. • 17.4 .- Teorema de reciprocidad de Maxwell - Betti.

  2. Lección 18 : Indice • 18.1 .- Teorema de Castigliano. Integrales de Mohr. • 18.2 .- Teorema inverso de Castigliano. • 18.3 .- Sistemas hiperestáticos exteriormente. Teorema de Menabrea o de la energía mínima. • 18.4 .- Sistemas hiperestáticos interiormente. • 18.5 .- Entramados de barras articuladas.

  3. F 1 d L W = F · d 2 F dF L F 2· L DW = F· dF = F S· E 2 · S ·E 0 dd d d Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión. F Teorema de Clapeyron dW = (F + dF)·dd = F·(dF·L/SE) + dF2·L/SE

  4. F 2· dx W = F 1 d 2 · S ·E L W = F . d 2 Teorema de Clapeyron F 2 d 2.E s 2 e 2.E W = = = = u = 2SES 2 L2 2 E 2 V Energía de deformación por unidad de Volumen L Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión.

  5. t g = G E G= 2 (1 + m) Deformaciones en cortadura g = t / G g Módulo de elasticidad transversal, Módulo de esfuerzo cortante, Módulo de rigidez a cortadura

  6. 1 t2 s2 g2 ·G d2 ·E W = F · d u = u = 2 2G 2E 2 2 = = Energía de deformación en cortadura por unidad de Volumen Energía de deformación en tracción por unidad de Volumen Energía de deformación en cortadura por unidad de Volumen

  7. t = V· Me B·Iz S . Sr V2 ·dx 2G·Sr V2 ·dx 2G·S f c = L L f c W = = Energía de deformación provocada por las “t” en Flexión dy = g · dx g = t / G B dV = (t·B·dy) dW’ = ½ ·(t·B·dy)·( g·dx) = (t2·B·dy·dx)/2G g dx dW = sdW’·dS = dx/2Gs(t2·B·dy) = dx/2GsB·dy·(V· Me/B·Iz)2 dW = V2 ·dx/(2G·Iz2) s(Me2/B) ·dy = V2 ·dx/(2G·Sr) Iz2 . s(Me2/B) ·dy Sr =

  8. 1 s2 M·y d2 ·E W = F · d u = s = 2 Iz 2E 2 = M2·dx 2EIz W= L Energía de deformación en Flexión Energía de deformación en Flexión dW= u·V = M2·dx/2EIz V= dS·dx

  9. T [Q]= T · r p·R4 GIp tr= I p= Ip 2 FORMULACIÓN : Cálculo de tensiones y deformaciones 225000·W T = n·p

  10. 1 t2 T·r g2 ·G W = F · d u = t = 2 Ip 2G 2 = dW = ½ · T2·dx/G·Ip V = (2·p·r·dr)· dx dW = ½ · T·df T2 ·dx 2G·Ip L f T df = [q]·dx = T·dx/G·Ip W = Energía de deformación en Torsión Energía de deformación en Torsión

  11. F 2· dx L W = 2 · S ·E L M2·dx 2EIz W= L Lfc · LfT · V2 ·dx 2G·Sr V2 ·dx 2G·S T2 ·dx 2·G·Ip W = W = = Energía de deformación

  12. L Lfc · L LfT · F2· dx V2 ·dx 2·G·S T2 ·dx 2·G·Ip M2·dx 2·E·Iz U = + + + 2 · S ·E Expresiones de potencial interno • Módulo de Resiliencia: • Máxima energía de deformación, por unidad de volumen que se puede almacenar en un cuerpo sin que se produzcan deformaciones permanentes. dW = ½ · [sT]·[e] UTotal = UN + UV + UMF + UMT

  13. Teorema de Maxwell - Betti W1+2 = ½·F1·d1+ F1·d2 + ½·F2·d2 Si: W1+2 = W2+1=> F1·d2 = F2·d1 W2+1 = ½·F2·d2+ F2·d1 + ½·F1·d1 Los coeficientes de influencia recíprocos son iguales

  14. L Lfc· L LfT· F2· dx V2 ·dx 2·G·S T2 ·dx 2·G·Ip M2·dx 2·E·Iz U = + + + 2 · S ·E Teorema de Castigliano La derivada parcial del potencial interno de un sistema elástico, sometido a un conjunto de acciones, respecto a una de ellas es igual a la proyección, sobre la dirección y sentido de la acción, del correspondiente desplazamiento de su punto de aplicación originado por el conjunto de todas ellas. dF = ∂U/∂F = ∫(∂MF2/∂F) ·dx/(2·E·Iz) = ∫ MF ·(∂MF/∂F) ·dx/(E·Iz) FM =∂U/∂M = ∫(∂MF2/∂M) ·dx/(2·E·Iz) = ∫MF ·(∂MF/∂M) ·dx/(E·Iz)

  15. P D C I I I L A B L Resolución de Pórtico

  16. P - + D C I - - - - I I L A B L SFH = 0 dVB=0 SFV = 0 dHB=0 SMF = 0 FB=0 Resolución de Pórtico FB=0 0 =(3·L·MB -HB·(L2/2+ L2+L2/2)-P·(L2/8+ L2/2)+RB·(L2/2+L2)/E·Iz 0 = (3·L·MB -HB·2·L2-P·5·L2/8+RB·3·L2/2)/E·Iz dVB=0 0 =(MB·(3L2/2) -HB·L3 -P·(29·L3/48) + RB·(4·L3/3))/E·Iz dHB=0 0 =(MB·(2·L2) -HB·(5/3·L3 )-P·(3·L3/8) + RB·L3)/E·Iz P·5·L/8 = 3·MB - HB·2·L + RB·3·L/2 P·29·L/48 = 3·MB/2 - HB·L+ RB·4·L/3 P·3·L/8 = 2· MB – 5·HB·L /3 + RB·L RB = P /2 HB = P /8 MB = P·L /24

  17. + - + P D C - L - - + + dVB=0 L dHB=0 A FB=0 Resolución de Pórtico SdVB=0 dVB1 = (MB·(L2/2+ L2))/E·Iz dVB2 = (-HB·(L2·L/2+L2/2 ·L))/E·Iz dVB3 = (-P·(L2/8·(L/2+2/3·L/2)+ L2/2·L))/E·Iz dVB4 = (RB·(L2/2·2/3·L+L2 ·L))/E·Iz B FB= 0 =(3·L·MB -HB·2·L2-P·5·L2/8+RB·3·L2/2)/E·Iz dVB= 0 =(MB·(3L2/2) -HB·L3 -P·(29·L3/48) + RB·(4·L3/3))/E·Iz

  18. + - + P D C - - L - - + + + dVB=0 L dHB=0 A FB=0 B Resolución de Pórtico SdHB=0 dVH1 =(MB·(2·L2/2+ L2))/E·Iz dVH2 =(-HB ·(2·L2/2 ·2/3·L+ L3))/E·Iz dVH3 =(-P·(L2/8·L+L2/2·L/2))/E·Iz dVH4 = (RB·(L2/2·L+L2 ·L/2)/E·Iz FB= 0 = (3·L·MB -HB·2·L2-P·5·L2/8+RB·3·L2/2)/E·Iz dVB= 0 =(MB·(3L2/2) -HB·L3 -P·(29·L3/48) + RB·(4·L3/3))/E·Iz dHB= 0 =(MB·(2·L2) -HB·(5/3·L3 )-P·(3·L3/8) + RB·L3)/E·Iz

  19. P D C x I x I I L A B L x x SFH = 0 dVB=0 SFV = 0 dHB=0 SMF = 0 FB=0 Resolución de Pórtico M1= MB - HB·x 0 < x < L M2= MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L M3= MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L M4= MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L FB= 0 =∂U/∂MB = LM1·(∂M1/∂M)·dx/(E·Iz) + + L/2M2·(∂M2/∂M)·dx/(E·Iz) + + L/2M3·(∂M3/∂M)·dx/(E·Iz) + LM4·(∂M4/∂M)·dx/(E·Iz)

  20. Resolución de Pórtico M2= MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L 0 < x < L M1= MB - HB·x M3= MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L M4= MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L (∂M1/∂MB)= (∂M2/∂MB)= (∂M3/∂MB)= (∂M4/∂MB)= 1 FB=0 =∂U/∂MB = LM1·(∂M1/∂M)/(E·Iz) + L/2M2·(∂M2/∂M)/(E·Iz) + L/2M3·(∂M3/∂M)/(E·Iz) + LM4·(∂M4/∂M)/(E·Iz) = = L(MB - HB·x)·(∂M1/∂M)/(E·Iz) + L/2(MB - HB·L + RB·x)·(∂M2/∂M)/(E·Iz) + +L/2(MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x)·(∂M3/∂M)/(E·Iz) + L(MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L)·(∂M4/∂M)/(E·Iz) = = [(MB x- ½·HB·x2)/(E·Iz)]L+ [(MB x- HB·L x + ½·RB· x2)/(E·Iz) ]L/2+ [(MB x- HB·L·x + RB·(1/2·L·x + ½·x2) - P· ½·x2)/(E·Iz) )]L/2+ [(MB ·x- HB· ½·x2 + RB·L·x - P·1/2·L·x)/(E·Iz)]L= = (3M-2H·L+3/2·R·L-5/8·P·L)·L/(E·Iz)

  21. Resolución de Pórtico M2= MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L 0 < x < L M1= MB - HB·x M3= MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L M4= MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L (∂M1/∂HB)= -x ; (∂M2/∂HB)= -L ; (∂M3/∂HB)= -L ;(∂M4/∂MB)= -x dBH=0 =∂U/∂HB = = LM1·(∂M1/∂ HB)/(E·Iz) + L/2M2·(∂M2/∂ HB)/(E·Iz) + L/2M3·(∂M3/∂ HB)/(E·Iz) + LM4·(∂M4/∂ HB)/(E·Iz) = = L(MB - HB·x)·(-x)/(E·Iz) + L/2(MB - HB·L + RB·x)·(-L)/(E·Iz) + L/2(MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x)·(-L) + +L(MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L)·(-x)/(E·Iz) = = [(-MB ·½·x2 + 1/3·HB·x3)/(E·Iz)]L+ [(- MB ·L·x+ HB· L2 ·x· - ½·RB·L· x2)/(E·Iz) ]L/2+ [(- MB ·L·x+ HB· L2 ·x - RB·(1/2· L2 ·x + ½·L·x2) + P· L·½·x2)/(E·Iz) )]L/2+ [(- MB ·½·x2 + HB· 1/3·x3 - RB·L ·½·x2 + P·1/2·L ·½·x2)/(E·Iz)]L=(-2M+5/3·H·L-R·L -3/8·P·L)·L2/(E·Iz)

  22. Resolución de Pórtico M2= MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L 0 < x < L M1= MB - HB·x M3= MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L M4= MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L (∂M1/∂RB)= 0 ; (∂M2/∂HB)= x ; (∂M3/∂HB)= ½·L+x ;(∂M4/∂MB)= L dBR=0 =∂U/∂RB = = LM1·(∂M1/∂ RB)/(E·Iz) + L/2M2·(∂M2/∂ RB)/(E·Iz) + L/2M3·(∂M3/∂ RB)/(E·Iz) + LM4·(∂M4/∂ RB)/(E·Iz) = = L(MB - HB·x)·(0)/(E·Iz) + L/2(MB - HB·L + RB·x)·(x)/(E·Iz) + L/2(MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x)·(1/2·L+x) +L(MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L)·(L)/(E·Iz) = = [(MB ·½·x2 - ½·HB·L·x2 + RB· 1/3·x3) /(E·Iz)]L/2+ [( MB ·1/2·L·x- ½·HB·L2 ·x· + ¼·RB·L2·x + ¼·RB·L·x2 – ¼·P· L·x2)/(E·Iz) ]L/2+ [(MB ·½·x2 - ½·HB·L·x2 + RB·¼·L·x2 + RB 1/3·x3) - P· L·1/3·x3)/(E·Iz) )]L/2+ [( MB ·L·x – ½·HB· L·x2 + RB· L2 ·x - P·1/2· L2 ·x )/(E·Iz)]L=(3/2·M-H·L+4/3·R·L-29/48·P·L)L2/(E·Iz)

  23. 3·M – 2·H·L + 3/2·R·L - 5/8·P·L = 0 -2·M + 5/3·H·L - R·L - 3/8·P·L = 0 3/2·M - H·L + 4/3·R·L - 29/48·P·L = 0 Resolución de Pórtico P·5·L/8 = 3·MB - HB·2·L + RB·3·L/2 P·29·L/48 = 3·MB/2 - HB·L+ RB·4·L/3 RB = P /2 P·3·L/8 = 2· MB – 5·HB·L /3 + RB·L HB = P /8 MB = P·L /24

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