1 / 38

Numere naturale Scaderea (curs 3)

www.salvatieducatia.ro. Numere naturale Scaderea (curs 3). www.salvatieducatia.ro. Obiectivele acestui curs sunt : Sa ne familiarizam cu scaderea numerelor naturale . Sa intelegem si sa ne insusim proprietatile numerelor naturale. Numere naturale ( scaderea ). www.salvatieducatia.ro.

sorley
Download Presentation

Numere naturale Scaderea (curs 3)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. www.salvatieducatia.ro Numere naturaleScaderea(curs 3)

  2. www.salvatieducatia.ro • Obiectiveleacestui curs sunt: • Sa ne familiarizam cu scadereanumerelornaturale. • Sa intelegemsisa ne insusimproprietatilenumerelornaturale. Numerenaturale(scaderea)

  3. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Daca ar fi sa cautam o definitie pentru scadere ar fi ceva de genul: oricare ar fi a si b numere naturale, , exista un numar natural c astel incat c=a-b, unde: - c este diferenta numerelor naturale a si b - a si b sunt termenii diferentei - a este descazut - b este scazator DE RETINUT: pentru ca doua numere naturale sa se poata scadea trebuie ca

  4. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Acumsaincercamsa ne familiarizam cu catevaexercitii simple: • Sa verificamdacaavemabilitatilenecesarepentru a scadea 2 numerenaturaleformate din 1 cifra START TEST Trebuiesarealizamfaptul ca daca nu trecem cu usurintaacest test nu o saputemsa ne insusimcunostintele care urmeaza

  5. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) E bine ca v-atidescurcat cu scadereacifrelordeoarecesta la bazascaderiituturornumerelornaturale in sensul ca scadereanumerelorpresupunesascademcifreleechivalente ale celor 2 numerenaturale, adica o sascademcifraunitatilor cu cifraunitatilor, cifrazecilor cu cifrazecilor etc, obligatoriuscaderea se face de la dreapta la stanga (unitatile, zecile etc). Sa facem un exercitiupentru a intelegemaibinecevreausa spun: Sa calculam 64-42=? Pentru ca diferentasa se poata face trebuie ca Numarul 64 are cifraunitatilor 4 sinumarul 42 are cifraunitatilor 2; 4-2=2 care estecifraunitatilor a diferenteinumerelor. Numarul 64 are cifrazecilor 6 sinumarul 42 are cifrazecilor 4; 6-4=2 care estecifrazecilor a diferenteinumerelor. Deci64-42=22

  6. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Mai usorestesaasezamnumereleunul sub altulsisa le scadem. Repetpentru a fisigur ca s-a retinut: scadereanumerelornaturale se face scazandnumerelecifra cu cifraincepand din dreapta la stanga (unitatile, zecile etc). Sa calculam 64-42=? Pentru ca diferentasa se poata face trebuie ca Asezamnumereleunul sub altul 64- 42 22 Si scademcifraunitatilor cu cifraunitatilorsiobtinem 2, scademcifrazecilor cu cifrazecilorsiobtinem 2. Aceastareprezentareestemaiusor de intelessiestebinesa o folosim in practicapentruscaderilemai complicate sauchiar simple (de obiceigreselile le facemcandsuntemsiguripenoi)

  7. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Sa incercamacumsacomplicamputinexercitiul. Ce se intampladacaatuncicandfacemdiferentacifrelor (unitatilor, zecilor, etc) scazatorulestemai mare decatdescazutul? Sa calculam 68-29=? Pentru ca diferentasa se poata face trebuie ca Asezamnumereleunul sub altul 68- 29 39 Scademcifraunitatilor cu cifraunitatilor, 8-9, deoarecescaderea nu se poate face o saluam o unitate de la zecisi in momentul in care o sascademcifreleunitatilor o satinemminte ca trebuiesamaiscadem o unitate, o saavem 18-9=9 care estecifraunitatilor. Scademcifrazecilor cu cifrazecilorsimaiscadem o unitaterezultata din scadereacifrelorunitatilor: 6-2-1=3. Cifrazecilor a diferentei o sa fie 3.

  8. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Acumsaincercamsa ne familiarizam cu catevaexercitii simple: • Sa verificamdacaavemabilitatilenecesarepentru a scadea 2 numerenaturaleformate din 2 cifresimaimicidecat 20 START TEST • Sa verificamdacaavemabilitatilenecesarepentru a scadea 2 numerenaturaleformate din 2 cifresimaimicidecat 100 START TEST

  9. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Dupace am trecutsi de acest test, chiar cu riscul de a vaplictisi, sascadem 2 numerenaturalecompuse din 4 cifre: Sa calculam 8745-2468=? Pentru ca diferentasa se poata face trebuie ca Asezamnumereleunul sub altul 8745- 2468 6277 Pentru ca 5<8 nu putemscadea direct cifreleunitatilor. Luam o unitate de la zecisi o satinemmintesa o scadem de la cifrazecilor a diferentei. Avem 15-8=7, care estecifraunitatilor a diferentei. Pentru ca 4-1<6 nu putemscadea direct cifrelezecilor. Luam o unitate de la sutesi o datinemmintesa o scadem de la cifrasutelor a diferentei. Avem 14-1-6=7. Cifrazecilor a diferenteieste 7. Scademcifrasutelor cu cifrasutelorsiscadem o unitaterezultata din scadereacifrelorzecilor: 7-4-1=2. Cifrasutelor a sumei o sa fie 2. Scademciframiilor cu ciframiilor: 8-2=6. Ciframiilor a diferenteieste 6.

  10. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Acumsafacemcatevaexercitii cu scadereanumerelornaturalecompuse din 4 cifre START TEST Trebuiesarealizamfaptul ca daca nu trecem cu usurintaacest test nu o saputemsa ne insusimcunostintele care urmeaza

  11. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Daca totul a fost rezolvat cu usurinta pana acum (au fost exercitii de nivelul claselor I-IV), putem sa incepem sa invatam mai multe lucruri despre scaderea numerelor naturale.

  12. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Proprietatilescaderiinumerelornaturale: Scaderea nu estecomutativa, niciasociativasinici nu are element neutru.

  13. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Proprietatilescaderiinumerelornaturale: Daca a, b, c si d numerenaturale: • Daca a = b atunci a - c = b – c, , • Daca a = b si c = d atunci a - c = b – d, , • Dacaatunci , , d) Dacasiatunci e) Dacasiatunci Sa incercamsa ne explicamacesteproprietati

  14. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) a) Daca a = b atunci a - c = b – c, , In acestcaz, candspunem a=b trebuiesaprivimacestaegalitate ca pe o ecuatieiarregulaarfi ca egalitatearamaneadevaratadacascadem din termeniisaiacelasinumar. Bineintelestrebuiesaadaugamsiconditia ca scaderea se sepoata face: , Ca saintelegemmaibineacestlucruartrebuisafacem un exemplusimplu: 8=8, dacascadem 5 din fiecaretermen al egalitatii o saavem 8-5=8-5=3 Un exemplumai bun este: a+4=5, dacascadem 4 la fiecaretermen al egalitatiiobtinem: a+4-4=5-4 a=1

  15. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) • Daca a = b si c = d atunci a - c = b – d, , Este variantamaievoluata a proprietatii de la punctul a. Acestaregulaspune ca putemscadeadouaegalitati. Facem un exemplusimplu: 11-3=8 si 3-1=2 dacascademtermen cu termenobtinem 11-3-(3-1)=8-2=6 Un exemplumai bun este: a+b=5 b=4 a+b-b=5-4 a=1

  16. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) c) Dacaatunci , , Daca un numar (a) estemaimicdecat un numar (b), atuncidacascadem la fiecare din acestenumereacelasinumarinegalitatea se mentine. Bineintelestrebuiesa fie posbililsafacemscaderea: , Facem un exemplusimplu: siscadem la fiecaretermen al inecuatiei 2 si se obtine ca , inegalitateadevarata Un exemplumai bun este: Avem: sitrebuiesademonstram ca Dacascademtermeniiegalitatii la termeniiinegalitatiiobtinem:

  17. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) d) Dacasiatunci Daca un numar (a) estemaimicdecat un numar (b), iarnumarul natural b estemaimicdecatnumarul natural c atunci a < c, relatiaestefoartesimplasilogica. Totusisafacem un exemplu: siatuncieste evident ca Un exemplumai bun este: Avem: sitrebuiesademonstram ca Ca saobtinem o relatieintre a si c, decitrebuieeliminat b in inegalitate: este evident ca

  18. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) e) Dacasiatunci Si aceastarelatieesteevidenta din punctulmeu de vedere. Practicavem un numar a maimicdecat un numar b siavem un numar c maimicdecat un numar d. Este evident ca dacascadem la prima inecuatie din numarulmicnumarul mare din a douainecuatie o sa fie maimicdecatdiferentadintrenumarul mare din prima inecuatiesinumarulmic din a douainecuatie. Facem un exemplusimplu: sidacascadem din termenulmaimic al primeiinecuatiitermenulmai mare al celei de a douainecuatii (11-5) si din termenulmai mare al primeiinecuatiitermenulmaimic al celei de a douainecuatii (19-3) avem: , relatieadevarata (se vede ca diferentaintretermeniestemai mare).

  19. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Ordineaefectuariioperatiilor Dacaavem de adunatsiscazutmaimultenumerenaturalesi nu existaparanteze, numerele se pot adunasiscadea in ordinea care vrem. Uniiautori spun ca trebuiesaadunamsisascadem in ordine, de la stanga la dreapta. Sa facem un exemplu: 32+41-22=? Tinand cont ca nu avemparanteze, putemsaadunamsiscadem in ordinea in care dorim. Observam ca 32 si 22 au aceeasicifra a unitatilorsi o sagrupamnumerele in asafelincatsa ne folosim de acestlucru. (32-22)+41=10+41=51 Se puteacalculasi de la stanga la dreapta: 32+41-22=73-22=51

  20. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Ordineaefectuariioperatiilorcandavemparantezele Dacaavem de adunatsiscazutmaimultenumerenaturalesiexistanumeregrupateintreparanteze, atuncitrebuiesaefectuamoperatiile din interiorulparantezelorsausaeliminamparantezele. CUM SE ELIMINA PARANTEZELE? Avem de eliminatparantezele: a-(b+c)=? Ca saeliminamparantezatrebuiesatinem cont de semnul din fataei. Daca in fataparantezeieste minus, atuncitoatenumerele din interiorulparantezeiisivorschimbasemnulduparegula: - dacanumarul din paranteza se adunaatunciacesta se vascadeadupaeliminareaparantezei - dacanumarul din paranteza se scadeatunciacesta se vaadunadupaeliminareaparantezei DACA SEMNUL DIN FATA PARANTEZELOR ESTE MINUS, DUPA ELIMINAREA PARANTEZELOR NUMERELE DIN INTERIORUL PARANTEZEI ISI SCHIMBA SEMNUL

  21. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) In cazulnostru, a-(b+c), ca saeliminamparantezatrebuiesaschimbamsemnullui b si c. b are semnul “+” si c are semnul “+”, decivoraveasemnul “-”. Observatie: Daca un numar natural nu are trecut in fatasanici un semn, atuncisemnulacestuiaeste plus (a=+a) O saavem a-(b+c)=a-b-c Alt exemplu, saeliminamparantezele: a-(b-c)=? Semnullui b este “+” si o saaibedupaeliminareaparantezelorsemnul “-” sisemnullui c este “-” sidupaeliminareaparantezelor o saaibesemnul “+” a-(b-c)=a-b+c

  22. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Este foarte important saretinemsisaaplicam cu usurintaregula: DACA SEMNUL DIN FATA PARANTEZELOR ESTE MINUS, DUPA ELIMINAREA PARANTEZELOR NUMERELE DIN INTERIORUL PARANTEZEI ISI SCHIMBA SEMNUL a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c

  23. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Ex: 8-(7-4)=? 8-(7-4)=8-3=5 8-(7-4)=8-7+4=1+4=5 12-(9+2)=12-11=1 12-(9+2)=12-9-2=3-2=1 TEST

  24. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) In cazul in care suntmaimulteparantezeatunci se folosescparantezelerotunde (, parantezeledrepte [ siacoladele {. Aceastaestesiordinea in care se facoperatiile. Adica se rezolvaoperatiile din interiorulparantezelorrotundesau se eliminasiparantezeledreptedevinparantezerotundeiaracoladeleparantezedrepte. Sa facem un exemplu, eliminatiparantezele: a-{b+c-[d-e-(f+g)]}=?

  25. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) a-{b+c+[d-e-(f+g)]}=? Ordinea de efectuare a operatiilorcandavemmaimultetipuri de parantezeeste: operatiile din interiorulparantezelorrotunde, apoioperatiile din interiorulparantezelordreptesi la sfarsitoperatiile din interiorulacoladelor. Semnul din fataparantezeirotundeeste “-” decinumerele din interiorulparantezeiisivorschimbasemnuliarparantezeledreptedevinrotundesiacoladeleparantezedrepte: a-{b+c+[d-e-(f+g)]}= a-[b+c+(d-e-f-g)]

  26. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) a-[b+c+(d-e-f-g)] =? Semnul din fataparantezeirotundeeste “+” decinumerele din interiorulparantezeiisivorpastrasemnuliarparantezeledreptedevinrotunde: a-[b+c+(d-e-f-g)]=a-(b+c+d-e-f-g) Semnul din fataparantezeirotundeeste “-” decinumerele din interiorulparantezeiisivorschimbasemnul: a-(b+c+d-e-f-g)=a-b-c-d+e+f+g

  27. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Candavem de efectuatoperatii cu numerelenaturalesi ne avantajeaza in calcul, putemsaintroducemparantezele Si in acestcaz se aplicaaceeasiregula: Dacasemnul din fataparantezeivafi “-”, numerele care intra in interiorulparantezeivoraveasemnulschimbat. Avem, a-b+c, introducetinumerele b si c intreparantezeavandsemnul minus in fata. Tinand cont ca in fataparantezelorsemnuleste minus, numerele b si c isivorschimbasemnulcandvorfiintroduse in paranteze: a-b+c=a-(b-c)

  28. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Sa vedemsiunde se aplicaintroducereanumerelorintreparanteze. Avem de comparatrezultatul a douacalcule. Care numarestemai mare: a=(450-120)+20 b=450-(110-20) O varianta de rezolvareestesaefectuamcalculelesisavedem care numarestemai mare. Dar o sapierdemmaimulttimp (acumeste un calculdestul de simpludar l-as fiputut face multmaicomplicat). O altavariantaarfisaobservam ca 450 intra in componentaambelorcalculesi o saincercamsadeterminam a si b in functie de acestnumar: a =(450-120)+20 =450-(120-20)=450-100 b=450-(110-20)=450-90

  29. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Sa facem un exercitiu: Eliminati parantezele: • a+[b-(c+d)] • a-{b-[c-(d-e)]} • a+[b-(c+d)-(e-f)] • a+{b-[c-(e+f)]-[g-(h-i)]}

  30. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Eliminati parantezele: • a+[b-(c+d)]=a+(b-c-d)=a+b-c-d • a-{b-[c-(d-e)]}=a-[b-(c-d+e)]=a-(b-c+d-e)=a-b+c-d+e • a+[b-(c+d)-(e-f)]=a+(b-c-d-e+f)=a+b-c-d-e+f • a+{b-[c-(e+f)]-[g-(h-i)]}=a+[b-(c-e-f)-(g-h+i)]= a+(b-c+e+f-g+h-i)= a+b-c+e+f-g+h-I Pentru mine este cel mai greu sa schimb parantezele si imi aduc aminte ca nu le schimbam cand eram de varsta voastra. Pastram parantezele drepte si acoladele chiar daca eliminam parantezele rotunde. Imi era mai usor sa urmaresc calculul.

  31. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Sa ne pregatim de ecuatii. O sa intalniti unele probleme care dupa opinia mea sunt destinate pregatirii lucrului cu ecuatiile.

  32. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) 1. Fie a, b si c numere naturale, c=a+b. Calculati c daca a=47 si b=89. Ceea ce trebuie sa facem este sa inlocuim valorile lui a si b in ecuatie. Avem c=a+b a=47 c=47+89 c=136 b=89

  33. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) 2. Fie a, b si c numere naturale. Stim ca: a+b=575, b-c=347, a-c=114. Calculati a,b si c. Stim ca putem sa adunam si sa scadem termenii unor egalitati si egalitatea sa se pastreze. Dupa cum am mai spus, daca dorim sa determinam o necunoscuta din mai multe ecuatii, trebuie sa incercam sa eliminam celelalte necunoscute. Ca sa eliminam pe b scadem a doua ecuatie din prima: a+b-(b-c)=575-347 a+b-b+c=228 a+c=228 Ca sa eliminam pe c adunam ecuatia obtinuta cu ecuatia a treia: a+c+(a-c)=228+114 a+c+a-c=342 2a=342 a=171

  34. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Stim ca: a+b=575, b-c=347, a-c=114 si am determinat a=171 Inlocuim valoarea lui a in prima ecuatie: 171+b=575 Presupunem ca nu stiti sa rezolvati inca ecuatii asa ca o sa scadem 171 din ambii termeni ai ecuatiei: 171+b-171=575-171 b=404 Inlocuim valoarea lui a in a treia ecuatie si obtinem: 171-c=114 c=57 VERIFICAM REZULTATELE a+b=171+404=575 este bine b-c=404-57=347 este bine a-c=171-57=114 este bine

  35. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) 3. Aflati numerele naturale de doua cifre ab si bc daca ab-ba=72. Numerele scrise sub forma ab se pot descompune astfel: ab=10a+b (deoarece prin inmultirea cu 10 se transforma a unitati in zeci; ex:52=5x10+2) Daca era un numar natural de trei cifre se scria sub forma: abc=100a+10b+c (ex: 342=3x100+4x10+2) ab-ba=72 10a+b-(10b+a)=72 10a+b-10b-a=72 9a-9b=72 Pentru ca numere ab si bc sa aibe doua cifre trebuia ca si . Observam ca daca 9a-9b=72 atunci 9a trebuie sa fie mai mare decat 72 (nu putem sa scadem 9b dintr-un numar mai mic decat 72 si sa obtinem 72), deci a>8 (9x8=72). Daca a=9 atunci 9x9-9b=72 81-9b=72 9b=81-72 9b=9 b=1 Numerele cautate sunt 91 si 19 VERIFICAM REZULTATUL 91-19=72, ESTE BINE

  36. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Elemente de logica matematica Daca stim despre un numar a ca este cu 5 mai mare decat un numar b atunci il putem determina pe a adunand numarul de referinta (b) cu 5: a=b+5 Daca stim despre un numar a ca este cu 5 mai mic decat un numar b atunci il putem determina pe a scazand din numarul de referinta (b), numarul 5: a=b-5 Daca stim despre un numar ca este CU cateva unitati mai mare sau mai mic decat alt numar atunci relatia dintre cele doua numere se poate scrie cu semnele “+” si “-”.

  37. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(scaderea) Elemente de logica matematica Exemple: a) a este cu 9 mai mare decat 12 Daca relatia este CU 9 mai mare atunci se aduna numarul de referinta (12) cu numar 9 si il obtinem pe a=12+9=21 b) a este cu 4 mai mic decat 19 Daca relatia este CU 4 mai mic atunci se scade din numarul de referinta (19) numarul 4 si il obtinem pe a=19-4=15 PROBLEMA 1 PROBLEMA 2

  38. www.salvatieducatia.ro NumereleNaturale(adunarea) Incercatisarezolvati cat maimulteprobleme din culegerisiurmatipasiisilogicaprezentate in acest curs. Dacaavetiprobleme in rezolvareaproblemelor nu este o rusinesavauitati la rezolvarile/rezultatele de la sfarsitulculegerii. Dacavedetirezultatulsaurecomandarilepentrurezolvari o sava fie maiusorsarezolvatiproblema. Daca tot nu putetirezolvaproblemaintrebatiprofesorul cum se rezolva. El TREBUIE savaraspunda. Incercatisainvatatizilnic la matematica. Decatsainvatatiintr-o zi 7 ore si in restulsapatamaniisa nu facetinimic la matematicamaibineinvataticate o orapezi.

More Related