§20 Der Rang einer Matrix

1. Jede (m,n)-Matrix kann auch als ein n-Tupel von Spaltenvektoren geschrieben werden: §20 Der Rang einer Matrix wobei (20.1) Definition: Der Spaltenrang von A ist srg(A) := rg {A1, A2, ... , An} = dim Span {A1, A2, ... , An} . Bemerkung: Sei (b1, b2, ... , bn) eine geordnete Basis von V, sei (e1, e2, ... , em) die Standardeinheitsbasis von Km und sei f = f(A,b,e) die durch A definierte lineare Abbildung von V nach Km .

2. Dann gilt f(bj) = Aj . Denn wegen ist Analog: Jede (m,n)-Matrix kann auch als ein m-Tupel von Zeilenvektoren geschrieben werden: Kapitel IV, §20 Also ist der Spaltenrang von A gleich dem Rang der linearen Abbildung f : srg A = dim Span {A1, A2, ... , An} = dim Im f = rg f , da Span {A1, A2, ... , An} = Im f .

3. (20.3) Definition: Sei eine (m,n)-Matrix über dem Körper K . Die zu A transponierteMatrix AT – eine (n,m)-Matrix – ist durch Kapitel IV, §20 (20.2) Definition: Der Zeilenrang von A ist zrg(A) := rg {A1, A2, ... , Am} = dim Span {A1, A2, ... , Am} . Wir werden zeigen, dass für eine Matrix A stets srg(A) = zrg(A) gilt, dass man also von dem Rang einer Matrix sprechen kann. Als wichtiges Hilfsmittel und auch für andere Zwecke wird die Transponierte AT zu einer Matrix benötigt: definiert. Beispiel: Ein Spaltenvektor X aus Km mit den Komponenten Xj aus K ist in der Matrixnotation auch als Element von Kmx1 aufzufassen. XT = (X1, X2, ... , Xm) ist dann der entsprechende Zeilenvektor in K1xm, wie schon gelegentlich benutzt.

4. (20.5) Satz: srg(A) = zrg(A) Kapitel IV, §20 (20.4) Satz: Die Abbildung ist linear und bijektiv, also ein Isomorphismus. Es gilt (AT)T = A . Zu dem Beweis brauchen wir den Hilfssatz: (20.6) Hilfssatz: Sei A eine (m,n)-Matrix. A* gehe aus durch eine Vertauschung von zwei Spalten oder von zwei Zeilen hervor. Dann gilt: srg(A) = srg(A*) und zrg(A) = zrg(A*) . (20.7) Definition: Der Rang rg(A) einer (m,n)-Matrix A ist der Spaltenrang oder der Zeilenrang von A. Kurz: rg(A) := srg(A) = zrg(A) (20.8) Korollar: Für eine (m,n)-Matrix A gilt:

5. Kapitel IV, §20 (20.9) Definition: Elementare Umformungen. Sei A eine (m,n)-Matrix. Zu den elementaren Umformungen von A gehören: 1o Addition einer Spalte von A zu einer anderen Spalte von A. 2o Multiplikation einer Spalte von A mit einem von Null verschiedenen Skalar aus K. 3o Addition einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A. 4o Multiplikation einer Spalte von A mit einem von Null verschiedenen Skalar aus K. Eine elementare Umformung von A ist jede Hintereinanderaus-führung von endlich vielen der Umformungen 1o-4o. Zu den elementaren Umformungen von A gehören insbesondere die Vertauschungen von Spalten und damit beliebige Permutationen. Ebenso: Permutationen von Zeilen. (20.10) Satz: Bei elementaren Umformungen ändert sich der Rang einer Matrix nicht.

6. Kapitel IV, §20 Mit diesem Invarianzsatz hat man ein wichtiges und effektives Rechenverfahren zur Ermittlung des Ranges einer Matrix zur Hand. (20.11) Satz: Jede (m,n)-Matrix A kann durch elementare Umformungen auf die Form gebracht werden mit r = rg(A). Hier wird die „Kästchenschreibweise“ benutzt; und E(r) ist die (r,r)-Matrix mit lauter „Einsen“ in der Diagonalen und lauter „Nullen“ sonst. Bemerkung: Der Rang einer Matrix ist inbesondere für lineare Gleichungssysteme von Bedeutung, vgl. die Sätze 16.5 – 16.8 !