Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

2. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: • I Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Kaliszu • ID grupy: 97_60_MF_G2 • Opiekun: Ewelina Lis-Jarnuszkiewicz • Kompetencja: Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: • Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa • Semestr/rok szkolny: • 2011/2012

3. Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa

4. Nasz projekt: • Pojęcie kombinatoryki i silni. • Zasada mnożenia, permutacje, kombinacje, wariacje. • Definicje prawdopodobieństwa. • Własności prawdopodobieństwa. • Wykorzystanie kombinatoryki w zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa.

5. Czym jest kombinatoryka? • Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. • Powstała dzięki głównie grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacji i innym działom matematyki stosowanej. • Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej. • Zajmuje się głównie konstrukcją odwzorowań idących z jednego zbioru skończonego do drugiego, ale muszą być spełnione pewne określone warunki oraz znajdowaniem wzorów na ilość tych odwzorowań.

6. silnia • Silnią liczby naturalnej n nazywamy iloczyn wszystkich dodatnich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie symboliczne n! (czytamy n silnia) wprowadził w 1808 roku francuski matematyk Christian Kramp. • n! = 1 · 2 · 3 · ... · n oraz dodatkowo 0! = 1 • Przykład:4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 246! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720

7. Silnia ma zastosowanie w kombinatoryce… …ale nie tylko. • Silnia pojawia się w bardzo wielu zadaniach maturalnych. Zetknęliśmy się z nią nawet w zadaniu z ciągów.

8. Zanim przejdziemy do definicji warto zastanowić się co różni: Ciąg od… …podzbioru. Podziór A to zbiór złożony pewnej ilości elementów innego zbioru B. • Ciąg to pewien podzbiór danego zbioru, przy czym kolejność elementów jest istotna. • Zatem 1,2,3,4,5 oraz 2,1,3,4,5 to inne ciągi.

9. 1. Reguła mnożenia • Liczba różnych ciągów ( x1, x2, …,xn ) takich, że xk można wybrać na mk sposobów, gdzie k zmienia się od 1 do n, jest równa m1·m2·…·mn • Np. • Ania ma 4 pary butów, 4 pary spodni i 6 bluzek. Na ile sposobów może się ubrać Ania? • 4·4·6=96 • Odp. Ania może się ubrać na 96 sposobów.

10. 2. permutacje • Permutacją zbioru n - elementowego nazywamy każdyn - elementowy ciąg złożony ze wszystkich wyrazów tego zbioru. • Liczba wszystkich permutacji określona jest wzorem: • Pn= n! • Np. Na ile sposobów można ustawić 6 osób w kolejce? • Odp. 6!=720 sposobów.

12. 2. Permutacje z powtórzeniami • Niech A oznacza zbiór złożony z k różnych elementów |A = {a1,a2,...,ak}. Permutacją n elementową z powtórzeniami, w której elementy a1,a2,...,ak powtarzają się odpowiednio n1,n2,...,nk razy, n1 + n2 + ... + nk = n, jest każdy n - wyrazowy ciąg, w którym elementy a1,a2,...,ak powtarzają się podaną liczbę razy. • Liczba takich permutacji z powtórzeniami wynosi:

13. Przykład zastosowania permutacji z powtórzeniami: • Ile różnych wyrazów mających sens lub nie można utworzyć ze wszystkich liter wyrazu MATEMATYKA? • Odp. Różnych wyrazów jest 151200.

14. Symbol Newtona • W kolejnych definicjach używany będzie tzw.symbol Newtona, który rozumie się w następujący sposób: • lub rekurencyjnie:

15. 3. Kombinacje bez powtórzeń • Kombinacja bez powtórzeń to każdy podzbiór zbioru skończonego. Kombinacją k - elementową zbioru n - elementowego A nazywa się każdy k - elementowy podzbiór zbioru A (0 ≤ k ≤ n). • Używa się też terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub wręcz "kombinacja z n po k".

16. zastosowanie kombinacji • Ile jest możliwych „szóstek” w Dużym Lotku? • Ile musielibyśmy zainwestować, czy obstawić wszystkie możliwości? • Cóż mogłoby zabraknąć kumulacji…

17. 4. Kombinacje z powtórzeniami • Kombinacja z powtórzeniami, to każdy multizbiór (to zbiór, w którym jeden element może występować kilka razy) którego elementami są elementy pewnego zbioru skończonego.k - elementową kombinacją z powtórzeniami zbioru n - elementowego A nazywa się każdy k - elementowy multizbiór składający się z elementów zbioru A.W odróżnieniu do kombinacji bez powtórzeń tu elementy mogą się powtarzać.

18. Przykład kombinacji z powtórzeniami • Ile jest kombinacji 2-elementowych z powtórzeniami zbioru 4-elementowego A = {a, b, c, d}? • Odp. • Można je wymienić: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, a}, {b, b}, {c, c}, {d, d}. Kolejność nie ma tutaj znaczenia, równie dobrze można napisać {c, d}, jak {d, c}.

19. 5. Wariacje bez powtórzeń • Wariacją bez powtórzeńk - wyrazową zbiorun - elementowego A (1 ≤ k ≤ n) nazywa się każdyk - wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie). Gdy k = n, wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją. • Liczba wszystkich k - wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n - elementowego wyraża się wzorem:

21. Przykład zastosowania wariacji bez powtórzeń • Na ile sposobów można rozmieścić na 7 półkach 5 książek tak, aby każda książka stała na innej półce? • Odp. Książki można rozmieścić na 2520 sposobów. • Na ile sposobów 9 pasażerów może wysiąść z pociągu, jeśli pociąg zatrzymuje się na 14 stacjach i każdy wysiada na innej stacji? • Odp. Pasażerowie mogą wysiąść na 726485760 sposobów.

22. 6. Wariacje z powtórzeniami • Wariacją z powtórzeniami k - wyrazową zbiorun - elementowego A nazywa się k - wyrazowy ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu). Należy zauważyć, iż kolejność elementów ma znaczenie. • Liczba wszystkich k - wyrazowych wariacji z możliwymi powtórzeniami zbioru n - elementowego jest równa

23. Przykład zastosowania wariacji z powtórzeniami • Na ile sposobów możemy rozmieścić w 4 szufladach 5 par butów? • Odp. Buty można rozmieścić na 1024 sposoby. • Ile jest możliwych wyników rzutu 3 monetami? • Odp. W rzucie trzema monetami możemy uzyskać 8 różnych wyników.

24. Podsumowując…

25. Czym jest prawdopodobieństwo? • Prawdopodobieństwo – ogólne określenie wielu pojęć matematycznych, służących do mierzenia szansy zajścia zdarzenia. • Mówimy często: jakie są szanse, że trafimy w lotto, jakie jest prawdopodobieństwa, że nie będę pytany na biologii, jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie dziś ładna pogoda…

26. Definicja klasyczna prawdopodobieństwa • Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe. • Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A możemy zapisać w postaci. • gdzie |D| oznacza ilość elementów zbioru.

27. Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa • Prawdopodobieństwo określone w przestrzeni zdarzeń elementarnych to funkcja P, która każdemu zdarzeniu A zawartemu w przestrzeni Ω przyporządkowuje liczbę rzeczywistą P(A) taką, że: • P(A)≥0 • P(Ω)=1 • P(AυB)=P(A)+P(B) dla każdej pary rozłącznych zdarzeń A i B.

28. Na zajęciACH … Zadanie: Na naszej tablicy: • Rozpatrujemy zbiór 5-wyrazowych ciągów o wyrazach -1, 0 lub 1. oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany ciąg ma dokładnie jeden wyraz równy 0 i suma wszystkich wyrazów równa się 0.

29. Własności prawdopodobieństwa • P(Ø)=0 • Jeżeli A zawiera się w B, to P(A)≤P(B) • P(A)≤1 • P(A’)=1-P(A) • P(AυB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) • P(AυB)=P(A)+P(B), jeśli A i B wykluczają się, czyli zdarzenia A i B są niezależne.

30. Nie zawsze było łatwo Kombinatoryka w zadaniach maturalnych, silnia niejedno ma imię… Kuba udowadnia nierówność, w której wykorzystany był symbol Newtona..

31. Paradoks MontyHalla czyli ciekawa matematyka • Nazwa paradoksu pochodzi od Monty'egoHalla, autora teleturnieju „Idź na całość” • Zawodnik stoi przed trzema zasłoniętymi bramkami. Za jedną z nich (za którą – wie to tylko prowadzący program) jest nagroda (umieszczana całkowicie losowo). Gracz wybiera jedną z bramek. Prowadzący program odsłania inną bramkę (co istotne – anonsując, że jest to bramka pusta), po czym proponuje graczowi zmianę wyboru.

32. Zatem… • Intuicyjnie nie ma znaczenia, czy zawodnik pozostanie przy swoim wyborze, czy nie. Okazuje się jednak, że jest inaczej. Przy wyborze strategii pozostawania przy swoim pierwszym wyborze prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Natomiast przy wyborze "strategii zmiany" wynosi 2/3. • Innymi słowy poprzez otwarcie jednej z pustych bramek, prowadzący zmniejsza liczność zbioru "pustych bramek", a w rezultacie prawdopodobieństwo przegranej z 2/3 do 1/3. "Pozostałe" prawdopodobieństwo wygranej musi wynosić więc obecnie 2/3.

33. … Bo warto czasem zająć się inną stroną matematyki…

34. Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa… • Zadanie 1. • Oblicz prawdopodobieństwo, że przy losowym rozmieszczeniu 10 osób wokół okrągłego stołu osoby A i B usiądą obok siebie. • UWAGA! Jeśli ustawiamy n osób wokół stołu, to ustawień jest: n!/n=(n-1)! • |A|=2·8! |Ω|=9! • Zatem P(A)=2/9.

35. Zadania niestandardowe • Zadanie 2. • Każdy z n patyków przełamano na dwie części długą i krótką. Otrzymano w ten sposób 2n kawałków. Połączono je w pary, z których każda tworzy nowy patyk. Oblicz prawdopodobieństwo, że: • Wszystkie kawałki zostały połączone w pierwotnym układzie, • Wszystkie długie kawałki zostały połączone z długimi.

36. Rozwiązanie… • |A|= n! ( podział jest jeden, ale można ułożyć w różnej kolejności ) • |B|=(n!)² ( mamy n! ustawień dłuższej części i n! krótszej części )

37. Zadania niestandardowe • Zadanie 3. • Oblicz prawdopodobieństwo, że wybierając z powtórzeniami losowo i w kolejności trzy liczby x, y, z spośród 0, 1, 2, …, 10 otrzymamy rozwiązanie równania x+y+z=1. • Zatem • |Ω|=11³=1331

38. Rozwiązanie… • Sposób pierwszy: • x=0, y+z=10 mamy 11 rozwiązań • x=1, y+z=9 mamy 10 rozwiązań • …. • x=10, y+z=0 mamy jedno rozwiązanie • zatem 1+2+…+11=66

39. Inaczej… • Sposób drugi • Możemy skorzystać z gotowego wzoru na ilość rozwiązań równania x1 +x2 +…+xn =k • zatem • więc

40. Zadania niestandardowe • Zadanie 4. • Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia k orłów w n rzutach monetą. • Mamy: • zatem

41. Zadania niestandardowe • Zadanie 5. • Rzucamy 5 razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że uzyskamy tylko dwie różne wartości np. tylko 1 i 3. • W nawiasie odejmujemy 2, by nie uzyskać ciągu np. samych trójek, czy jedynek. Zatem

42. Wytrwale pracujemy i rozgryzamy zadania kombinatoryczne • maturalne… • ciekawe…

43. … na koniec… 

44. Dziękujemy za uwagę…

45. Nasza grupa: • Jakub Horny • Michał Szafrański • Agnieszka Balcerzak • Sylwia Witczak • Aleksandra Porada • Dominika Tyc • Mateusz Bilich • Karolina Kruk • Aleksandra Oleszczuk • Aleksandra Pietrzak