Kvantum informatika

1. Kvantum informatika

2. Kvantum és klasszikus fizika • Klasszikus fizika: • A világnak leegyszerűsített ugyanakkor elképesztően pontos leírása. • Pontszerű test leírása: r(x,y,z) + v(vx,vy,vz)r = r(x0,y,0,z0) és v = v(vx0,vy,0vz0) r(x1,y1,z1) és v(vx1,vy,1vz1), szigorúan kauzális • Kvantum fizika: • Pontszerű részecske a térben kiterjedten mozog, amit a ψ(r,t) hullámfüggvénnyel írunk le. Benne van minden az r-ről, P-ről és még sok mindenről. • Időbeli változását a Schrödinger-egyenlet adja meg:H ψ = E ψ, ahol:

3. Hilbert – tér: • f,g: CC, ekkor, a két függvény skalárszorzata: • Ez a hullámfüggvénnyel jellemezhető kvantumállapotok Hilbert-tere • Geometriai fogalmakkal lehet leírni olyan elemek halmazát, amelyek között definiálható az összeadás és a skalárszorzat. • Összeadás: Szuperpozíció • Skalárszorzat: Kvadratikus Born-szabály biztosítja: P = |ψ(r,t)|2d3r megtalálási valószínűség • L2-beli függvények alkotják

4. 1.: Hullámfüggvény Hilbert-térbeli reprezentációja: |ψ(t)>=Σn cn(t)|n>, ahol:|n> (n=1,2,…) jele egy un(r) hullám-függvényekből álló ortonormált bázisnak: <m|n>=δmn • |ψ(t)>=Σn |n><n| ψ(t)>, Σn |n><n|= 1 • 2.: X hely- , P impulzus operátor:<x|X|x’> = xδ(x-x’), <x|P|x’ > = -iħδ(x-x’) • 3.: Schrödinger-egyenlet:

5. Mérés, Unitér operátor • Bázisváltás: Áttérünk |m>  |α>| ψ >= Σ mcm|m> = Σ αdα| α >  dα= ΣU α m cm • U:=< α|m> transzformációs mátrix • Fizikai mennyiségnek megfelelő operátorok mátrixának transzformáltja: < α|A|β>=(UAU-1)αβ • U unitér mátrix: U+U=1, ui.: (U-1)αβ = (U αβ)*A bázisváltás nem változtatja meg a kvantumállapot normálását.

6. Izolált rendszer • Egy elszigetelt kvantumrendszer transzformálása: |ψ(t)>=U(t) | ψ(0)>, aholEz mindig unitáris, de nincs valóban elszigetelt rendszer (Esetleg az egész Univerzum?) • Hogyan írható fel egy valós rendszer Schrödinger egyenlete? • Rendszer: Q, Környezete: T • Felírjuk Q változásának Schrödinger – egyenletét. Ez nem unitáris (mivel a projekció nem unitáris)

7. Informatika és Kvantummechanika • 1. Tekinthetünk a Természetre úgy, mint egy információs processzorra? • 2. Tudja-e egy számítógép szimulálni az egész Természetet? • A válasz az elsőre igen:|ψ(t)> ↔ Absztrakt egység, mely pontosan tartalmaz mindent Q-ról.Ugyanakkor nem csak |ψ(t)> egy teljes leírása Q-nak.

8. Church - Turing tézis • Minden formalizálható probléma, ami megoldható algoritmussal, az megoldható Turing-géppel vagy lambda-kalkulussal is. • Church Turing princímium (1985): Minden valóságos és véges fizikai rendszer tetszőleges közelítéssel szimulálható egy univerzális számítógépen véges erőforrással.  Ez nem utal Turing gépre

9. Kvantum számítógép • Klasszikus Bitek  kvantum állapotok alakulása • Lehetséges Univerzális Turing gép • Klasszikus számítógép nem tudja szimulálni a Természet bizonyos viselkedéseit. • Lehetőség van új fajta számoló eljárást kifejleszteni, ami különbözik klasszikus számítógép tudománytól.

10. EPR Paradoxon

11. EPR Paradoxon leírása • Az EPR-paradoxon Bohm által adott (EPRB-paradoxonnak is nevezett) megfogalmazásában egy forrás két elektront bocsát ki, amelyek együttes spinje nulla, és mindkettő a pozitív és a negatív spin kvantum szuperpozíciójában van, (azaz a két részecske összefonódott állapotban van). A részecskék eléggé eltávolodnak egymástól ahhoz, hogy fénysebességnél lassabb kölcsönhatás ne jöhessen közöttük számításba. Ha ezek után a két részecske spinjét megmérjük a (tetszőlegesen választott) z tengely mentén, azt kapjuk, hogy ellentétes spinűek. Ha az x tengely mentén mérjük meg, ugyanezt kapjuk. A másodjára mért részecskénél tehát a mérés eredménye determinisztikus (az első részécskénél mért érték ellentéte). • A Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint egy részecske spinje két, egymásra merőleges irányban egyszerre nem mérhető meg. Így, ha megmérjük az első részecskén a z, majd a másodikon az x tengely menti spint, a második részecske x irányú spinje nem lehet ellentéte az első részecske mérések előtti spinjének, mert akkor az első részecske mindkét iránybeli spinjét ismernénk. Így tehát az első részecske z irányú mérésének valahogy „el kell rontania” a második részecske x irányú spinjét, éppúgy, ahogy a saját x irányú spinjét elrontja. A két részecske azonban – ha a lokalitást elfogadjuk – túl messze van ahhoz, hogy bármiféle kölcsönhatás felléphessen közöttük.

12. EPR Paradoxon • Előzmények: - Honnan tudják a detektorok, hogy az egyik megszólalt? • Kétfoton állapot nem két foton állapot • Einstein – féle nonszeparabilitás • 1935: Ha szétrepülő 2 részecskék 2 független rendszert alkotnak, akkor a kvantummechanika nem teljes, ui. ellentmondásra jutunk. • 1965: Egy szinglett állapotú részecskepárt kell szétrepíteni, akkor a spinvetületét megmérve (Stern-Gerlach k.) tökéletes antikorrelációt kapunk.

13. „EPR követelmények” • Tökéletes antikorreláció • Lokalitás: A 2. rendszer állapotát nem befolyásolhatja, hogy mit mérünk az elsőn. • Valóság: 2. spinvetület értékét az első mérés után a rendszer megzavarása nélkül biztosan tudjuk, ezért „egy eleme a fizikai valóságnak”, ami kvantummechanikában nincs benne. • Teljesség • Ma: A kvantummechanika teljes, de csak a kétrészecske – állapotok a valóságosak, amelyek egy részecske spin vetületét megmérve meghatározhatók, a második mérés ezt csak ellenőrizheti.  Ez nem lokális kapcsolat • Jeladásra nem használható.

14. Bell, 1964 • Véletlen = Rejtett paraméterek, hiányos a leírás • Lokális rejtett paraméter idézi elő az (anti)korrelációt • Bell kérdése: Le lehet-e írni a tökéletes antikorrelációt egy lokális közös okkal, vagy egy véletlen paraméterrel, amelyek egyes értékeihez (↑,↓) , másokhoz (↓ ,↑) tartozik? • Ha a két spin vetülete nem párhuzamos a Stern-Gerlach analizátorral mérjük Válasz: NEM.

15. A Kísérlet • Két SG irány egységvektora:a = (sinθ1cosφ1, sinθ1sinφ1, cosθ2)b = (sinθ2cosφ2, sinθ2sinφ2, cosθ2) • Mindkettőhöz tartozzon egy detektorpár Egyikhez +1 a másikhoz -1 tartozik, ħ/2 egységekben mérve • Amikor a forrás kibocsájt egy részecske párt, akkor az szinglett állapotban van: • A két oldalon egy-egy detektor megszólal, a két oldali eredményeket összeszorozva +1 vagy -1-et kapunk • Átlagoljuk a méréseket: Eψ(a,b)= -ab

16. Cél az volt, hogy találjon olyan kísérletsorozatot, amelyben a kvantummechaniai eredményt nem lehet reprodukálni lokális rejtett paraméteres modellel. • CHSH: Koincidenciák: ++, +- ….  • 1. analizátor iránya: a vagy a’2. analizátor iránya b vagy b’ :|E(a,b) – E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’)| ≤ 2 • Könnyű olyan a,b,a’,b’ vessző irányokat találni, melyek sértik az egyenlőtlenséget. Ezekbe az irányokba állítva az analizátorokat, a kísérletek a CHSH (Bell) egyenlőtlenséget megsértő eredményt adnakCáfolat a lokális rejtett paraméterek feltevésének

17. Aliz és Bob • Aliz és Bob mérik a spin komponenseket különböző tengelyeken: x’,z’, amelyek az x-z síkon vannak. Mindkét mérés eredménye + vagy -. • Mindkét válasz valószínűsége egyforma:sin2((φA- φB)/2), ahol φA, φB tengelyek x’ z illetve z’ z tengelyek között. • Eredmények: φA= φB Ellentétes, 0φA= φB + 180  Egyenlő ,1φA- φB = 120  3/4

18. Kvantum Információk

19. Qbitek • Kvantumbit: bit = 0 vagy 1, addig a qbit két állapot szuperpozíciójában is képes lenni. • n db qbit a Hilbert térben 2n dimenziós teret alkot, ami 2n kölcsönösen ortogonális kvantumállapot. • Például: 3 regiszteres qbit:|ψ>=a|000>+b|001>+c|010>+d|011>+e|100>+f|101>+g|110>+h|111>, ahol a,..h єC • Egy kvantum regiszter leírásához exponenciálisan növekvő számú komplex szám szükséges (a fenti 3-qubites regiszter leírásához 23 = 8 komplex szám szükséges). A valamely kvantumállapot becslésére szükséges klasszikus bitek száma a qubitek számával exponenciálisan nő (n  2n). Egy 300 qubites kvantum regiszterhez 1090 nagyságrendű klasszikus regiszter szükséges, ami több, mint ahány atom van a megfigyelhető világegyetemben

20. Qbitek hordozói • Mezoszkópikus kvantumrendszerek, makro- és mikro rendszerek között • Repülő qbit: A foton, többféle módon kódolható bele egy qbitnyi koherens információ. Lineáris polarizáció Cirkuláris polarizáció Időben szétválasztott imp. Pár • Foton hullámcsomagok lelassítása gondot okoz • Fotonokkal gyorsan lehet számolni, de át kell írni tömeges adathordozókról qbitre • Szilárdtest rendszer; Kvantum - pötty • Keresztezett lézersugarak • Chipek, stb.

21. Kvantum kapuk 1. • Qbitek egyszerű unitáris operátorai. • Például: |0>  |0> és |1> exp(iωt)|1>, akkor t idő elteltével a műveletet elvégezzük a qbiten, azaz: • P = |0><0|+exp(iθ)|1>

22. Kvantum kapuk 2. • I ≡ |0><0| + |1><1| Identitás • X ≡ |0><1| + |1><0| Nem • Z ≡ P(π) • Y ≡ XZ • H ≡ (1/√2)[(|0>+|1>)<0| + (|0> - |1>)<1|] • Az unitáris operátorok két qbiten végeznek műveletet, de:|0><0| X I + |1><1| X U, ahol I: szinglett - qbit identitás operátor U: szinglett –qbit • Irányított-NEM (Controlled-NOT):|00>  |00> ; |01>  |01>|10>  |11> ; |11>  |10>aa, ba X b X: XOR • ÉS (AND): 3 qbit „Irányított-Irányított-NEM” kapu:aa, bb, 0ab

23. Klónozás? • Az eredeti és a klón közös Hilbert-térben rávetítene egy olyan altérre, ahol a klón és az eredeti megegyezik, azaz projektor, ami nem lehet unitér transzformáció. • Ugyanakkor dekoherencia bevezetésével a projektorok is megvalósíthatók. • DE: Ha egy kvantumállapotra elkészítjük ezt a projektort, az már egy másik állapotra nem működik.

24. Nincs klónozás • Egy kvantum állapot nem klónozható / másolható • Készítsünk|α> -ról másolatot:U: unitér operátor  U(|α>|0>)=|α>|α> U nem függ α-tól, így U(|β>|0>)= |β>|β>Összefonódott állapotuk |γ>=(|α>+ |β>)/√2, ekkor: U(| γ >|0>)= (|α>|α>+ |β>|β>)/√2≠|γ>|γ>  Hiba történt a másoláskor • Kontraszt a klasszikus másolással • C-NOT vagy XOR |0>-t vagy |1>-et „másolhat”, de már gond lehet a |+>=(|0>+|1>) √2 és a |->=(|0>-|1>)/ √2 állapotoknál is.

25. Következmény • Nincs klónozás és az EPR paradoxonnal azt mutatja, hogy kvantum mechanika konzisztens. • Ha van klónozás EPR korrelációval lehet a fénysebességnél gyorsabban üzenni.

26. Sűrű kódolás 1. • Qbitek alkalmasak információ tárolásra és küldésre. • Például: Klasszikus 00101 stringAliz: |00101>Bob: Tudja tömöríteni az információt mindegyese qbit mérésével a {|0>,|1>} alapján. • Aliz és Bob: |00> + |11> állapotban vannak • Soha nem beszéltek még • Aliz küld 2 klasszikus bitet, Bob 1 qbitet (Bennet és Weisner, 1992) • Bell bázis: Kölcsönösen ortogonális állapotok: |00>+|11>, |00>-|11>,|01>+|10>,|01>-|10>

27. Sűrű kódolás 2 • Aliz legenerálja valamelyik Bell bázis állapotot a qbit-jén az {I,X,Y,Z} operátorokkal. 4 lehetősége van, hogy a választása 2 klasszikus bitet reprezentáljon. • Elküldi Bobnak, akinek vissza kell fejteni, melyik bázis állapotban van a qbit. XOR kapu: |00> ±|11>-től |01> ±|10>-ig • Megtalálja a jelet egy szuperponált állapotban, H operátorral megméri a maradékokat. • Nehezen megvalósítható • Nem praktikus a klasszikus kommunikációban

28. Kvantum Teleportáció 1. • Egy rendszer tetszőleges kvantum állapotát átmásolni lehet egy másik rendszerre úgy, hogy az eredeti megváltozik megvalósítható. • Alapművelet • Másolás: Foton Atomos hordozók vagy vissza megfelel egy kvantumszámítógép memória műveleteire: írás-olvasás • Egy összefonódott részecskepárt pl. polarizált szinglett fotonpárt használ átvitelre • A fotonpárt szétküldjük az információt leadó ill. felvevő rendszer felé. Ezután:

29. Határozzuk meg kvantumméréssel a teleportálandó állapotú rendszerek és a pár hozzá küldött tagjának közös kvantum állapotát • Klasszikus információs csatornán továbbítás • A megkapott eredmény és fotonpár vevőoldali tagja együttesen meghatározza, hogy milyen unitér tr. viszi át a vevő rendszert az eredetivel azonos, teleportált állapotba. • Prototípus: LOCC • Nem anyagot, hanem kvantum állapotot teleportálunk

30. Kvantum teleportáció 2. • Aliz szeretne Bobbal kommunikálni egy szinglettqbit állapotban |φ>. Ha Aliz ismeri – mondjuk |φ>=0 – akkor tud üzenetet küldeni.Ha nem ismeri nem tud küldeni, és bizonyossággal nem is ismerheti meg  Vagy egy fizikai qbitet küld (elektron, atom) vagy állapotot változtat. • Aliz és Bob pozíciója:|00>+|11> • Aliz üzenni szeretne Bobnak az ismeretlen |φ> állapotba. • Felírhatjuk, hogy |φ> = a|0> + b|1>, ahol a,b ismeretlen együttható • 3 qbit inicializált állapota:a|000>+b|100>+a|011>+b|111> • Aliz kiszámolja a Bell bázist az első 2 qbiten • Aliz alkalamzza XOR és a H kapukat, mielőtt megmérné a qbitjét, majd az állapot bekerül a 4 különböző lehetséges állapot egyikébe (összeomlik) és 2 bitet küld el.

31. Bob: {I,X,Y,Z} operátorokat alkalmazza az ő qbitjére a|0> + b|1> = |φ> • Megkapta azt az üzenetet, amit Aliz akart • Amint megérkezik az üzenet Bobnak Aliznál eltünik  Ez nem klónozás.

32. Kvantum titkosírás • Charles Bennett és GillesBrassand 1984 BB’84 • Polarizált fotonok sorozatában kódolva, kétféle polarizációs rendszer véletlen váltogatásával kell elküldeni, pl.: 0 = ↕ vagy↗ 1 = ↔ vagy ↖ • Példa: 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 …Alíz: ↕ ↗ ↖ ↗ ↔ ↗ ↔ ↖ ↕ … • Bob: Nem tudja, hogy a 2 közül melyik kódolást használta Aliz. Utólag nyilvános telefonon megbeszélik, hogy polarizátor-analizátor beállításait és amelyik bitnél azonos volt a beállítások, azt elfogadják a kód részének. • Aliz és Bob feláldozzák a kód egy részét, hogy megállapítsák történt –e lehallgatás. • Megmondják egymásnak, hogy a küldött és fogadott bit értékét és ha a kettő különbözik, akkor zaj vagy lehallgatás történt. Ha a zaj szinthez képest túl sok az eltérés, akkor lehallgatás történt, és a kódot elvetik.

33. Lehallgatás legegyszerűbb módja • Éva feltartóztatja a qbiteket és megnézi őket, majd tovább küldi Bobnak • Átlagosan fele annyi idő alatt Éva kitalálja Aliz bázisát helyesen és nem zavarja biteket. • Habár kitalálja nem esik egybe Bobéval ui. Éva a bitek felét találta el. Aliz és Bob később megzavarják a másik felét. • Bob |+> Aliz |0>-t küld  Éva már csak n/4-t ismer • Aliz és Bob most már tudják érzékelni a lehallgatást. • Ha megegyezik minden bit, meggyőződhetnek arról, hogy nincs lehallgató, akkor annak a valószínűsége, hogy mégis jelen van:n = 1000 (3/4)n/2 ≈ 10-125 • Sok rendszert dolgoztak már ki.:E91, EPR párok, stb.

34. Adattömörítés • Mennyi információ nyerhető ki egy qbitből?:S(ρ) = -Trρ log ρ, ahol Tr.: nyom operátor (trace) , ρ: sűrűség operátor • Tfh.: X valószínűsége: p(X)Ha kvantum rendszer a |x> állapotban van, akkor: ρ = Σx p(x)|x><x|  S(ρ) • Kapcsolat: Ha n>>1, akkor bontsuk fel kisebb részekre és azokat küldjük el. Encode – Decode • q, n  átküldés  q’, n, ρ’ akkor sikeres, ha: ρ’ közel van ρ-hoz (q: kvantum rendszer állapota) • Hűség: • Ha ρ, ρ’ ua. az állapota |φ>< φ| és |φ’>< φ’|  f = |< φ| φ>|2