Potencias y Raíces de números naturales

1. Potencias y Raíces de números naturales EGC

2. Potencia Producto de factores iguales EGC

3. Antes de empezar, recuerda: ------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------ Multiplicación por 10, 100, 1000, …: EGC

4. Una POTENCIA es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales Se lee “tres al cuadrado” o “tres elevado a dos” Se lee “tres al cubo” o “tres elevado a tres” Se lee “tres a la cuarta” o “tres elevado a cuatro” Las demás se leen “a la quinta”, “a la sexta”, … Fíjate por qué la potencia de exponente dos (cuadrado) y la exponente tres (cubo) se llaman así: EGC

5. Significado de la potencia cuadrada 3 Cuadrado Cuadrado de 3 Base 3 3 Cuadrado de tres unidades de base, tiene nueve unidades de superficie. Es conveniente que memorices los cuadrados de los 16 primeros números naturales. EGC

6. Significado de la potencia cúbica 3 3 3 1 cubito base 27 cubitos Si tomamos tres cubitos base y lo multiplicamos por sí mismo, obtenemos un cuadrado de 9, y al multiplicar otra vez, obtenemos un cubo de 27 cubitos unidad. EGC

7. ¡Cuidado! No confundas 10 veces 10 con 2 veces 10 EGC

8. Operaciones con potencias • Potencia de un producto: Ya podemos quitar los paréntesis porque son todas multiplicaciones, que tienen la misma prioridad. Así que: Cada factor se eleva al exponente EGC

9. La prioridad de las operaciones ahora es: 1º Paréntesis y corchetes. 2º Potencias y raíces. 3º Multiplicaciones y divisiones. 4º Sumas y restas. Entonces si en la operación anterior en lugar de usar primero la definición de potencia aplicamos el paréntesis, vemos que se cumple. Calcula mentalmente en 4 segundos: EGC

10. Calcula mentalmente en 4 segundos: Pista: Calcula mentalmente en 4 segundos: EGC

11. Operaciones con potencias • Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es el cociente de las potencias del numerador y el denominador. Calcula mentalmente en 4 segundos: EGC

12. Operaciones con potencias • Si multiplicamos (o dividimos) potencias de la misma base, se suman (o restan) exponentes: Entonces: Entonces: EGC

13. Consecuencias • ¿Qué pasaría si dividiéramos dos potencias iguales?: • Por ejemplo Pero si usamos las propiedades: Entonces: Cualquier base (que no sea 0) elevada a 0 vale 1. EGC

14. Consecuencias • Si elevamos una base a 1, el resultado es la misma base: • Por ejemplo: Pero si usamos las propiedades: Entonces: Cualquier base elevada a 1 es ella misma. EGC

15. Operaciones combinadas Se sigue la prioridad: 1º Paréntesis y corchetes. 2º Potencias y raíces. 3º Multiplicaciones y divisiones. 4º Sumas y restas. primero tercero segundo EGC

16. Evaluación Completa y calcula: Soluciones: 1, 1, 5. EGC

17. Evaluación Completa y calcula: ………………. de potencias del mismo/a …………...., entonces, ………………… ............................................................. ………………. de potencias del mismo/a …………...., entonces, ………………… ............................................................. ………………. de potencias del mismo/a …………...., entonces, ………………… ......................................... Potencia de ………………., entonces, ............................................................. EGC

18. Evaluación Completa y calcula: Distinta ……………y distinto …………………: ¿Se aplica propiedad? Igual ………….. distinto ………………….: ¿Se aplica propiedad? Igual ………….. distinta ………………….: ¿Se aplica propiedad? EGC

19. Evaluación - Escribe de forma abreviada: (usando la definición de potencia), - Si ¿cómo se calculará?: - Calcula: - ¿Es correcto este razonamiento?: 3 veces tres al cuadrado EGC

20. Evaluación - ¿Cuántos remeros participan en la regata? Exprésalo en forma de potencia. - Este jardín tiene 6 macizos, cada uno de los cuales tiene 6 filas de 6 plantas cada una. Halla el número total de plantas expresándolo previamente en forma de potencia. - Un átomo de uranio al desintegrarse emite 3 neutrones, los cuales, chocando con otros tantos átomos de uranio, los desintegran, a su vez, y así sucesivamente. ¿Cuántos átomos de uranio se habrán desintegrado después de 7 choques? EGC

21. Radical y sus raíces… EGC

22. Raíz cuadrada Se dice que la suma y la resta son operaciones inversas, porque una “deshace” lo que “hace” la otra. Por ejemplo, si a un número le sumamos 5, podemos deshacer esta operación restando 5. Igualmente son operaciones inversas la multiplicación y la división. Lo mismo pasa con la potenciación y la radicación: Por ejemplo, si sabemos que el cuadrado de un número es 9, ¿cuál es ese número? Es decir, si tenemos un cuadrado formado por 9, ¿cuál es la base (lado)? 3 Hemos calculado la raíz cuadrada de 9, que se escribe así: EGC

23. ¿Qué pasaría en esta situación?: Como has memorizado los cuadrados de los 16 primeros números naturales, completa: “La raíz de ……es ….., porque ………..” “La raíz de ……es ….., porque ………..” “La raíz de ……es ….., porque ………..” “La raíz de ……es ….., porque ………..” “La raíz de ……es ….., porque ………..” porque …………………….. porque …………………….. EGC

24. Estos números se llaman “cuadrados perfectos”, porque su raíz cuadrada es exacta: Si la raíz cuadrada es inexacta, se dice que es entera, y el número no es un cuadrado perfecto. Es lo que pasa si calculamos Acudamos a nuestras ayudantes: La raíz entera de es entonces: Calcula tú la raíz cuadrada de 60, 52, 145, 101 y 216. EGC

25. Observa cuál es la diferencia entre un cuadrado y el siguiente: Diferencia entre el cuadrado de 2 y el de 3: Diferencia entre el cuadrado de 4 y el de 5: Entonces, la diferencia entre un cuadrado y el siguiente es del doble del lado pequeño más 1. EGC

26. Operaciones combinadas 1º Paréntesis y corchetes. 2º Potencias y raíces. 3º Multiplicaciones y divisiones. 4º Sumas y restas. EGC

27. Evaluación Resuelve: Calcula el lado de un cuadrado que tiene 121 metros cuadrados de superficie. Se quiere bordear una alfombra cuadrada de 9 metros cuadrados con un cordón que cuesta 2 euros el metro. ¿Cuál será el gasto? EGC

28. Evaluación Resuelve: La gran pirámide de Egipto, de base cuadrada, ocupa una extensión aproximada de 56000 metros cuadrados. ¿Cuál es el lado aproximado de la base? Un casillero cuadrado de cartas tiene 12 casillas de lado. Como resulta pequeño se le quiere añadir una casilla más por cada lado. ¿Cuántas casillas habrá que añadir? Un jardinero colocó sus macetas igualmente espaciadas formando un cuadrado de 14 macetas de lado y le sobraron 12. ¿Cuánto necesitará para formar un cuadrado de 15 macetas de lado? EGC

29. Vocabulario • Potencia: (Completa tú) • Base: • Exponente: • Factor: • Raíz: • Radicando: • Radical: • Índice: • Potenciación: • Radicación: EGC

30. Criterios de evaluación (y CCBB) • Calcular el valor de potencias naturales.Páginas 10, 17-19 (Mat., Aprender a aprender) • Simplificar cálculos a partir de las operaciones con potencias.Páginas 10, 17-19 (Mat.) • Calcular la raíz cuadrada, exacta o entera, de un número natural. Pág. 23,29 (Mat.Ling.) • Realizar operaciones combinadas con potencias y raíces, aplicando el orden correcto. • Pág. 15, 16, 26, 27. • Resolver situaciones con raíces y potencias.Pág. 20, 27, 28. (Mat., Autonom., Social y ciud.) Bibliografía • Cálculo. Ed. SM. 1977. • Números. Ed. Octaedro. 1994. • Matemáticas 1º ESO. Ed. Oxford. Serie Trama. Proyecto Ánfora. 2007 • Enlaces de internet: • Y otros. http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_ra%C3%ADz_cuadrada EGC