Metoda elementów skończonych

1. Metoda elementów skończonych Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W6

2. Metoda elementów skończonych (MES) [Finite element method (FEM)] ma swoje źródło w analizie strukturalnej. Chociaż jej podstawy stworzył Courant już w 1943r., metoda jest stosowana w rozwiązywaniu zagadnień elektromagnetycznych od roku 1968. FEM - MES Metoda różnic skończonych (finite difference method - FDM) i metoda momentów the (method of moments - MOM) to metody koncepcyjnie prostsze i łatwiejsze w programowaniu niż metoda elementów skończonych. Jednak MES jest metodą zdecydowanie silniejszą i bardziej uniwersalną w rozwiązywaniu problemów o złożonej geometrii i niejednorodnych środowiskach. Aplikacja MES stworzona dla określonej dyscypliny łatwo może być zastosowana do innej.

3. 4 kroki Zasadnicze etapy analizy MES • dyskretyzacja regionu rozwiązania skończoną ilością subregionów lub elementów, • wyprowadzenie równań dla typowego elementu, • złożenie wszystkich elementów w regionie rozwiązania, • rozwiązanie uzyskanego układu równań.

4. Rozwiązanie problemu za pomocą metody elementów skończonych wymaga następującychczynności: Rozwiązanie problemu • Analizowany obszar dzieli się na pewną skończoną liczbę geometrycznie prostych elementów, tzw. elementów skończonych. • Zakłada się, że są one połączone ze sobą w skończonej liczbie punktów znajdujących się na obwodach. Najczęściej są to punkty narożne. Noszą one nazwę węzłów. • Obiera się pewne funkcje jednoznacznie określające rozkład analizowanej wielkości fizycznej wewnątrz elementów skończonych, zależne od wartości tych wielkości fizycznych w węzłach. Funkcje te noszą nazwę funkcji węzłowych lub funkcji kształtu. • Równania różniczkowe opisujące badane zjawisko przekształca się, przypomocy tzw. funkcji wagowych, do równań metody elementów skończonych. Są to równania algebraiczne.

5. Na podstawie równań metody elementów skończonych przeprowadza się asemblację układu równań, tzn. oblicza się wartości współczynników stojących przy niewiadomych oraz odpowiadające im wartości prawych stron. Jeżeli rozwiązywane zadanie jest niestacjonarne, to w obliczaniu wartości prawych stron wykorzystuje się dodatkowo warunki początkowe. Liczba równań w układzie jest równa liczbie węzłów przemnożonych przez liczbę stopni swobody węzłów, tzn. liczbę niewiadomych występujących w pojedynczym węźle. • Do układu równań wprowadza się warunki brzegowe przez wykonanie odpowiednich modyfikacji macierzy współczynników układu równań oraz wektora prawych stron. • Rozwiązuje się układ równań otrzymując wartości poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach.

6. W zależności od typu rozwiązywanego problemu, lub potrzeb, oblicza się dodatkowe wielkości (energię, siły, impedancje itp.). • Jeżeli zadanie jest niestacjonarne, to czynności opisane w pkt. 5, 6, 7 i 8 powtarza się aż do momentu spełnienia warunku zakończenia obliczeń. Może to być np. określona wartość wielkości fizycznej w którymś z węzłów, czas przebiegu zjawiska lub jakiś inny parametr.

7. Definicja: Element skończony jest prostą figurą geometryczną (płaską lub przestrzenną), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami, oraz pewne funkcje interpolacyjne służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jego wnętrzu i na jego bokach. Węzły znajdują się w wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą być również umieszczone na jego bokach i w jego wnętrzu. Jeżeli węzły znajdują się tylko w wierzchołkach, to element skończony jest nazywany elementem liniowym (ponieważ funkcje interpolacyjne są wtedy liniowe). W pozostałych przypadkach mamy do czynienia z elementami wyższych rzędów. Definicja

8. Funkcje interpolacyjne nazywa się funkcjami węzłowymi, bądź funkcjami kształtu. Rząd elementu jest zawsze równy rzędowi funkcji interpolacyjnych (funkcji kształtu). Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego węzłów. Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w węzłach których dotyczą ich wartości wynosiły jeden, a w pozostałych węzłach przyjmowały wartość zero. Funkcje interpolacyjne

9. Typowe elementy jedno-, dwu- i trójwymiarowe. Typowe elementy

10. Rozwiązanie równania Laplace’a Rozwiązanie równania Laplacea Dyskretyzacja Aby znaleźć rozkład potencjału V (x, y) w dwuwymiarowym regionie rozwiązania, dzielimy region na elementy skończone. Elementy 6, 8, i 9 to 4-węzłowe czworokąty, a pozostałe 3-węzłowe trójkąty. Dla ułatwienia obliczeń w praktyce stosuje się elementy tego samego typu. Dlatego elementy czworokątne należy podzielić na trójkąty.

11. Szukamy aproksymacji dla potencjału Vewewnątrzelementu e i następnie zależności rozkładu potencjału od różnych elementów, jako że potencjał jest ciągły poprzez granice międzyelementowe. Aproksymacja rozwiązania dla całego regionu: Szukamy aproksymacji gdzie N jest liczbą elementów trójkątnych Najpopularniejszą formą aproksymacji Vewewnątrz elementujest aproksymacja wielomianowa: dla trójkąta dla czworokąta

12. Potencjał Vewewnątrz elementujest niezerowy, ale zerowy na zewnątrz. Pole elektryczne wewnątrz Zauważmy, że założenie liniowej kombinacji potencjału wewnątrz elementu trójkątnego jest równoważne przyjęciu, że pole elektryczne wewnątrz elementu jest jednorodne tzn. , ax i ay – wektory jednostkowe

13. Wyprowadzenie równań dla typowego elementu Wyprowadzenie równań Potencjały Ve1, Ve2, i Ve3 opisane są równaniem:

14. Współczynniki a, b i c są określone równaniem poprzednim, jako Ve Podstawiając to do równanie na Ve otrzymamy lub

15. Alfa i A ai– liniowe funkcje interpolacyjne (funkcje kształtu)

16. Funkcje kształtu maja następujące własności: 1 lub 0 Dla x = x1 i y = y1 Dla x = x2 i y = y2

17. Suma = 1 Bo sumowanie daje ↓ ↓ 0 2A

18. „A” jest powierzchnią elementu e (pole powierzchni trójkąta) „A” jest dodatnie jeżeli numeracja węzłów jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara

19. Ilustracja funkcji kształtu Funkcje kształtu

20. Funkcjonał korespondujący z równaniem Laplace’a, ∆V = 0, jest dany przez energię pola Funkcjonał Uwaga. Podstawowym zagadnieniem rachunku wariacyjnego jest wyznaczenie takich niewiadomych funkcji ui(x, y) (ekstremali), żeby całka I pewnej kombinacji tych funkcji i ich pochodnych przybierała wartość ekstremalną. Całka I nazywana jest funkcjonałem. Największe znaczenie ma funkcjonał typu: Typowe zagadnienie wariacyjne Poszukuje się kombinacji liniowych ciągu funkcji, które od razu ekstremalizują funkcjonał.

21. Fizycznie funkcjonał Wejest energią na jednostkę długości związaną z elementem e. Fizycznie Z równania wynika Podstawiamy to do funkcjonału

22. Jeżeli oznaczymy Macierze to funkcjonał możemy zapisać w formie macierzowej jako Gdzie t oznacza macierz transponowaną ⇗ macierz współczynników elementu

23. Cij może być uważany za sprzężenie między węzłami i, j. Cij Na przykład ⇦ A Podobnie A także

24. Asemblacja wszystkich elementów Asemblacja Energia związana z kompletem elementów Gdzie n jest liczbą węzłów, N jest liczbą elementów, a [C] to tak zwana globalna macierz współczynników która jest zestawem macierzy współczynników indywidualnych elementów.

25. Równanie energii uzyskano dla założonej jednorodności regionu (=const). Jeżeli region jest niejednorodny to dzieli się go na elementy tak (rysunek) by każdy element skończony był jednorodny. Niejednorodne

26. W takiej sytuacji, równanie epsilon jest nadal obowiązujące, ale równanie nie może być stosowane ponieważ =0r zmienia się od elementu do elementu. By pokonać tę trudność trzeba zastąpić  przez 0, i pomnożyć funkcję podcałkową przez r .

27. Proces w którym macierze współczynników poszczególnych elementów są składane w celu uzyskania globalnej macierzy współczynników ilustruje przykład. Załóżmy, że siatka elementów skończonych składa się z trzech elementów. Globalna Numeracja: zewnętrzne 1 ,2, 3, 4 i 5 – globalna wewnętrzne 1, 2 i 3 – lokalna ↺

28. Globalna macierz współczynników Globalna 1 5x5 ponieważ siatka ma 5 węzłów (n = 5). Cij jest sprzężeniem między węzłami i -j . Wyznaczamy Cijwykorzystując fakt, że rozkład potencjału musi być ciągły na granicy międzyelementowej. Wkład w i, j wyraz macierzy [C] pochodzi od wszystkich elementów zawierających węzły i oraz j. Na przykład: elementy 1 i 2 mają wspólny węzeł 1, stąd

29. Węzeł 2 należy tylko do elementu 1, stąd Globalna 2 Węzeł 4 należy do elementów 1, 2, i 3; więc Węzły 1 i 4 należą jednocześnie do elementów 1 i 2; stąd Ponieważ nie ma sprzężenia (bezpośredniego połączenia) między węzłami 2 i 3, Kontynuując postępowanie można wyznaczyć wszystkie wyrazy globalnej macierzy współczynników przez dalszą analizę siatki

30. Globalna 3 ∥ Odnotujmy, że mamy 27 wyrazów (9 dla każdego z 3 elementów) w globalnej macierzy współczynników [C].

31. Własności macierzy [C]: Własności macierzy [C] • Jest symetryczna (Cij = Cji) tak jak macierz współczynników elementu. • Ponieważ Cij = 0 jeśli nie ma sprzężenia między węzłami i i j , oczekuje się, że dla dużej liczby elementów [C] stanie się rzadka. Macierz [C] jest także pasmowa jeśli węzły numerowane są właściwie. Można dowieść, że • Jest osobliwa. Chociaż nie jest to oczywiste można to udowodnić przy użyciu macierzy współczynników elementu.

32. Rozwiązanie równań Rozwiązanie równań Z metod wariacyjnych wynika, że równanie Laplace’a jest spełnione kiedy całkowita energia w regionie rozwiązania jest minimalna. Tak więc żądamy by pochodne cząstkowe W po każdej węzłowej wartości potencjału były zero tzn. W rozpatrywanym przykładzie do równania W podstawiamy [C] i różniczkujemy W po V1.

33. Otrzymujemy czyli prowadzi do Ogólnie gdzie: n - liczba węzłów w siatce.

34. Metody Z ostatniego równania dla wszystkich węzłów k = 1, 2, ...n otrzymujemy układ równań z którego znajdujemy rozwiązanie Rozwiązanie może być uzyskane metodą iteracyjną lub metodą pasmową.

35. Metoda iteracyjna Jeżeli V1 jest węzłem swobodnym (o szukanym potencjale) Ogólniej w węźle k siatki o n węzłach gdzie k jest węzłem swobodnym Ponieważ Cki= 0 jeśli węzeł k nie jest bezpośrednio połączony z węzłem i, tylko węzły połączone bezpośrednio z k mają wkład w Vk . Równanie może być użyte iteratywnie do wszystkich węzłów swobodnych.

36. Proces iteracji zaczyna się przypisaniem znanych wartości potencjałów do węzłów ustalonych i wartości zerowych lub średnich potencjałów węzłom swobodnym ( o nieznanej wartości). gdzie Vmin i Vmax są minimalną i maksymalną wartością V węzłów ustalonych. Z takimi początkowymi potencjałami liczone są potencjały węzłów swobodnych. W końcu pierwszej iteracji znane są nowe wartości, które w następnej iteracji zastąpią stare. Procedura jest powtarzana dopóki różnica między iteracjami nie osiągnie żądanego poziomu.

37. Metoda pasmowa Gdzie indeksy f and p, odpowiednio odnoszą się do węzłów o szukanym (free) i zadanym (fixed) potencjale. Ponieważ Vp jest stały, różniczkujemy po Vf i otrzymujemy lub

38. Warunek brzegowy Neuman’a Warunek brzegowy Neumann’a Warunek Neumann’a (∂V/∂n = 0)może być warunkiem brzegowym lub określać symetrię problemu. Załóżmy, że region jest symetryczny wzdłuż osi y. Wprowadzamy warunek ∂V/∂x = 0wzdłuż osi y przyjmując:

39. Bezpośrednie i iteracyjne metody rozwiązywania układów równań liniowych a macierze rzadkie • Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodami MRS i MES wymaga rozwiązywania układów równań liniowych z macierzami rzadkimi. Metody rozwiązywania tych układów dzielą się na: • metody bezpośrednie - dają rozwiązanie po skończonej liczbie kroków; wykorzystują dekompozycję Gaussa, Choleskiego itd. Podstawowa niedogodność stosowania metod bezpośrednich dla macierzy rzadkich to pojawianie się nowych niezerowych elementów w macierzy w trakcie obliczeń (ang. fill-in); • metody iteracyjne - polegają na iteracyjnym ulepszaniu przybliżonego rozwiązania do momentu osiągnięcia zadawalającej dokładności. • W każdym kroku wykorzystywana jest stosunkowo prosta procedura bazującej na iloczynie macierzy przez wektor; procedura ta nie zmienia macierzy A układu. Pozwala to zmniejszyć wymagania w stosunku do pamięci operacyjnej w porównaniu z metodami bezpośrednimi oraz lepiej wykorzystać specyficzną strukturę macierzy A. Dzięki zastosowaniu uwarunkowania wstępnego (ang. preconditioning) udaje się też zmniejszyć wymaganą liczbę iteracji. Duże układy równań, które zwykle charakteryzują się rzadkimi macierzami współczynników, rozwiązuje się przeważnie przy użyciu metod iteracyjnych . Bezpośrednie i iteracyjne metody