Árbol B

1. Árbol B Estructura de Datos en memoria secundaria

2. Introducción • Para almacenar muchos datos disco, es necesario una estructura de datos eficiente. • Los accesos al disco son costosos en tiempo por lo que se debe evitar realizar muchos accesos a los datos. • AVL es la mejor estructura para memoria principal, pero es ineficiente si se utiliza para almacenamiento secundario. Esto se debe a la cantidad de accesos necesarios para efectuar las rotaciones. Otro problema es quese requieren tantos accesos como niveles se recorran en el árbol para efectuar la búsqueda.

3. 92 99 10 5 25 20 8 65 Árboles B • Bayer y McCreight propusieron en 1970 esta estructura. • Manejan árboles de búsqueda multicamino, cuyos nodos guardan más de un elemento. • Son árboles 100% balanceados en su estructura, lo cual repercute en búsquedas eficientes y en accesos mínimos a disco. 12 18

4. Características del Árbol B • Un Árbol B de orden n es aquel que: • Todas las hojas del árbol están en el nivel inferior. • Cada nodo contiene entre n y 2nelementos, excepto el nodo raíz, que puede tener entre 1y 2n elementos. • Si un nodo tiene ‘m’ elementos, el nodo siempre contendrá m + 1hijos si no es un nodo hoja.

5. Ejemplo.... • Para un Árbol B de orden 3: • Cuántos elementos máximo puede guardar cada nodo del árbol? 6 • ¿Cuántos elementos mínimo puede guardar cada nodo del árbol? 1si el la raíz, 3cualquier otro nodo. • ¿Cuántos hijos máximo puede tener un nodo? 7 • ¿Cuántos hijos mínimo puede tener un nodo? 0si es hoja, 2 si es raíz, 4cualquier otro nodo.

6. 92 99 10 5 25 20 8 65 Más características del Árbol B • Un árbol B de orden n es aquél en que: • Los elementos de un nodo están ordenados linealmente. • Los elementos están organizados de tal forma que se cumple la regla de la búsqueda: a la izquierda menores, a la derecha mayores. 12 18

7. 92 99 10 5 25 20 8 65 Ejemplo... • ¿De qué orden es este árbol B? 12 18 Este árbol es de orden 2 ya que puede almacenar hasta 4 elementos en cada nodo.

8. Proceso de Inserción • Buscar el nodo hoja en donde se debería agregar el elemento. • Si hay espacio disponible en el nodo, agregar el elemento y terminar. • Si el nodo hoja NO tiene capacidad de almacenar el elemento, se deberá crear un nuevo nodo al mismo nivel de la hoja y distribuir a los 2n+1 elementos de la siguiente forma: • El nuevo nodo recibe a los ‘n’ elementos más grandes. • El nodo existente se queda con los ‘n’ elementos más pequeños. • El elemento medio se insertará en el nodo padre siguiendo la misma lógica de inserción. En caso de no haber nodo padre, se creará un nuevo nodo que pasará a ser la nueva raíz.

9. 92 92 99 99 25 10 5 10 25 65 20 8 65 20 Ejemplo.... 12 18 Agregar el 4 Si hay espacio para el elemento, éste se agrega en el nodo. Los elementos están acomodados de menor a mayor. 8 4 5 12 18

10. 92 99 10 5 25 20 8 65 Ejemplo... 12 18 Agregar el 56 Cuando el nuevo elemento no cabe en el nodo, se agrega otro nodo y se reparten los elementos. 65 10 20 8 4 5 92 99 25 56 12 18

11. Ejemplo... 65 10 20 8 4 5 80 85 70 75 25 56 12 18 Agregar el 78 70 10 20 El árbol siempre se resiste a crecer, ya que trata de distribuir los elementos en los nodos ya existentes. 8 4 5 80 85 75 78 65 25 56 12 18

12. 65 10 20 4 8 5 12 18 57 60 25 56 Ejemplo 65 90 10 20 El árbol crece de abajo hacia arriba. Cuando el árbol aumenta de altura sólo se agrega una nueva raíz. 94 95 8 4 5 80 85 70 75 12 18 Agregar el 66 57 60 25 56 1 2 65 90 10 20 8 4 5 75 94 95 75 90 12 18 80 85 94 95 66 70 57 60 25 56 80 85 66 70

13. Proceso de Eliminación • Buscar el elemento a borrar. • Si el elemento a borrar está en una nodo hoja, se borra y termina el proceso. • Si el elemento a borrar no se encuentra en una hoja, al igual que en un ABB, se buscará al sustituto más apropiado. El sustituto será: • El último elemento de la hoja más derecha del subárbol izquierdo del nodo actual (el mayor de los menores). • El primer elemento de la hoja más izquierda del subárbol derecho del nodo actual (el menor de los mayores).

14. Ejemplo... 65 10 20 8 4 5 80 85 70 75 25 56 Eliminar el 8 12 18 Cuando el nodo tiene más elementos que el mínimo, se da de baja al elemento y termina el proceso. 65 10 20 4 5 80 85 70 75 25 56 12 18

15. 65 10 20 8 4 5 80 85 70 75 25 56 12 18 Ejemplo... Eliminar el 56 Cuando el nodo tiene el mínimo se toma un elemento de los hermanos. 70 10 20 8 4 5 85 75 80 25 65 12 18

16. 65 10 20 8 4 5 70 75 25 56 12 18 Ejemplo... Eliminar el 56 Cuando el nodo tiene el mínimo y los hermanos también, se une el nodo con uno de sus hermanos y le libera el nodo sobrante. 10 20 8 4 5 70 75 25 65 12 18

17. 10 10 20 20 4 4 4 8 8 8 5 5 5 12 12 12 18 18 18 57 57 57 60 60 60 25 25 25 56 56 56 Ejemplo... 65 75 90 Eliminar el 65 Utilizar el menor de los mayores 93 95 80 85 66 70 2 1 66 66 90 10 20 90 93 95 93 95 80 85 70 75 80 85 70 75

18. 61 4 61 4 4 61 8 8 8 5 5 62 62 62 5 93 93 95 95 12 12 12 18 18 18 57 57 57 58 58 58 25 25 25 56 56 56 65 Ejemplo... 60 10 20 75 90 93 95 Eliminar el 65 Utilizar el menor de los mayores 80 85 66 70 1 2 66 60 60 10 20 90 10 20 66 90 80 85 70 75 80 85 70 75