ÖLÇME TÜRLERİ, MERKEZİ YIĞILMA ÖLÇÜLERİ VE STANDART SAPMA

1. ÖLÇME TÜRLERİ, MERKEZİ YIĞILMA ÖLÇÜLERİ VE STANDART SAPMA Öğretimde Planlama ve Değerlendirme Dersi Ders Sorumlusu: Prof. Dr. Mustafa ERGÜN Hazırlayan M. Emre GÖRGÜLÜ Mayıs 2009 İktisat Bölümü Doktora Öğrencisi Afyon Kocatepe Üniversitesi Afyon, Türkiye

2. İçindekiler • Ölçme Türleri • Doğrudan Ölçme • Dolaylı Ölçme • Mutlak Ölçme • Bağıl Ölçme • Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri • Aritmetik Ortalama • Ağırlıklı Ortalama • Ortanca (Medyan) • Tepe Değer (Mod) • Merkezi Değişim (Yayılma) Ölçüleri • Dizi Genişliği (Ranj) • Stantart Sapma • Sorular • Referanslar

3. Ölçme Türleri • Ölçme, varlıkların ya da olayların özelliklerinin gözlenerek gözlem sonuçlarının sayı veya sembolle ifade edilmesidir. Ölçmenin öğeleri: • Varlık, • ölçme aracı, • ölçme sunucudur. • Ölçme işlemi sonucunda elde edilen sayı veya sembol ise ölçümdür. • Ölçme kuralı, ölçmeye konu olan özelliğin hangi miktarına ne değer verileceğinin belirlenmesidir. • Ölçme kullanışlı olmalıdır, uygulama süresi uygun, puanlaması kolay olmalıdır. • Eğitimde ölçme ve değerlendirme ise, eğitimin başarısı hakkında herkesi bilgilendirir. Öğrenci hakkında verilecek kararlara dayanak oluşturur. Öğrenciyi tanıma, geliştirme ve düzeyini görmemizi sağlar. Başarılı öğrenciyi motive eder. Öğretmenin kendi başarısını görmesini sağlar.

4. Ölçme Türleri • Doğrudan Ölçme: Ölçülecek özelliğin doğrudan gözlenerek ölçme aracıyla birebir eşleştirilmesi şeklinde yapılan ölçmedir. Ölçülen özellik ile ölçme aracı üzerindeki gözlenen özellik aynıdır. Ağırlık ağırlık ölçme aracı ile, uzunluk da uzunluk ölçme aracı ile ölçülür.

5. Ölçme Türleri • Dolaylı Ölçme: Ölçülecek özelliğin dolaylı olarak gözlenmesi şeklinde yapılan ölçmedir. Ölçülen özellik ile ölçme aracı üzerindeki gözlenen özellik aynı değildir. Ölçülecek özellik doğrudan değil de kendisiyle ilgili olduğu kabul edilen başka bir değişken gözlenerek ölçülür. Ağırlık hem doğrudan hem de dolaylı olarak ölçülür. Sıcaklık dolaylı bir ölçmedir (Termometrelerde ısıyı ölçmek için civanın kullanılması).

6. Ölçme Türleri • Mutlak Ölçme: Tam puana göre ölçme türüdür. • Bağıl Ölçme: Sonuçları, bir grup içinde sıraya koyularak elde edilen ölçme türüdür. Önemli olan neyi ölçmek istediğimizi bilmek ve bunun için en uygun, en sağlam, en hassas ve en doğru sonuçlar verecek olan ölçme aletlerini kullanmaktır. Eğitimde kullanılan sınavlar bir ölçme aleti örneğidir.

7. Ölçme Türleri • Ölçek ise belli bir büyüklüğü küçültme oranı, birim veya ölçme aracı olarak kullanılmaktadır. Varlıkların özelliklerini belirlerken kullanılan sayı ve sembolleri açıklamak aracıyla kullanılan açıklamalardır. • Ölçek çeşitleri ise dört ana gruba ayrılır: • Sınıflandırma ve adlandırma: Nesnelerin genel olarak birbirlerine göre benzerlik ve farklılıklarını belirlemek ve sınıflandırmak amacıyla kullanılan ölçeklerdir (Ör., dersten geçme-kalma). • Sıralama: Varlıkları belli bir özelliğe sahip oluş miktarları bakımından büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe doğru sıralamak amacıyla kullanılan ölçeklerdir (Ör., dersten dönem notu alma: A, B, C,…). • Eşit aralıklı: Varlıkları belirli bir başlangıç noktasına göre belli bir özelliğe sahip oluş dereceleri bakımından eşit aralıklarla sıralamak amacıyla kullanılan ölçeklerdir (Göreceli bir başlangıç noktasından eşit aralıklarla aşağı ve yukarı hareketlerdir, sadece toplama çıkarma yapılabilir). • Eşit oranlı: Eşit aralıklı ölçekler üzerindeki sıfır noktası gerçek sıfır olarak tanımlanan ve doğal sıfırdır (Mutlak bir başlangıç noktasından yukarıya doğru eşit oranlarla çıkan hareketlerdir, her türlü matematiksel işlem uygulanabilir).

8. Ölçme Türleri • Ölçme Hatası: Ölçülen özelliğin gerçek değeriyle ölçme aracından elde edilen değer arasındaki farka denir. Hata artı veya eksi yönde olabilir. Ölçmede üç tür hata vardır: • Sabit hata: Bütün ölçümlerde miktar olarak aynı olan hatalardır. Örneğin terazinin tarttığı her nesneyi 50 gr. eksik tartması, öğretmenin bütün sınıfa 10 puan fazla vermesi gibi. • Sistematik (yanlı) hata: Ölçmeden ölçmeye belli oranda artan ya da azalan hatalardır. Eğitimde öğretmenin yanlı davranması da sistematik hata kapsamında ele alınır. Bir cinse diğerinden fazla puan verilmesi gibi. • Tesadüfi hata: Ölçme sonuçlarına belirsiz şekilde karışan hatalardır. Hatanın kaynağı belli olmadığı için bazen eksik bazen fazla ölçüm söz konusu olabilir. Öğretmenin sınavları puanlarken toplama hatası yapması, ölçmedeki dikkatsizlikler, şans başarısı, öğrencinin sınav günü hasta olması gibi. • Not: Sabit ve sistematik hatalar ölçme araçlarının güvenirliği üzerinde bir etkiye sahip değildir. Güvenirlik yalnızca tesadüfi hatalardan etkilenir.

9. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri • İstatistik bilim dalında ve veri analizinde kullanılan yığılma ölçülerinin tümünü ifade eden kavrama merkezi eğilim ölçüleri denir. Başlıcaları: • Aritmetik ortalama (Arithmetic mean / mean) • Ağırlıklı ortalama (Weighted mean) • Ortanca (Medyan / Median) • Tepe Değer (Mod / Mode)

10. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri • Aritmetik ortalama tüm veri dizisinin toplanması ve bu toplamın, toplam veri sayısına bölünmesi ile elde edilen bir sayıdır. Eğitimde bir grubun başarı düzeyinin en önemli göstergesidir. Aynı zamanda uygulanan testin ortalama zorluğunu belirtir. • Toplam veri sayısının N, her bir X’in de ayrı birer veri olduğu kabul edilirse; aritmetik ortalama formülü şöyle oluşur:

11. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri • Örnek olarak, bir sınava giren toplam öğrenci sayısı 7 olsun. Bu 7 öğrencinin sınavdan aldıkları notlar ise 100 üzerinden 60, 35, 28, 77, 81, 72 ve 74 olsun. O halde yukarıdaki formülü kullanarak bu sınav sonucundaki aritmetik ortalamayı hesaplayabiliriz: • Aritmetik ortalama = (60+35+28+77+81+72+74) / 7 = 61’dir. • Aritmetik ortalama bütün değerlerin ağırlığını eşit kabul ettiğinden dağılımı her zaman en iyi şekilde temsil etmeyebilir. Ayrıca aritmetik ortalama, veri kümesindeki aşırı değerlerden çok kolay etkilenir. • Genel olarak çan eğrisi şekliyle temsil edile gelmiştir.

12. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri • Ağırlıklı ortalama; veri kümesindeki bütün değerlerin aynı ağırlığa (öneme) sahip olmadıkları durumlarda kullanılır. • 1’den n’e kadar olan bir veri kümesinde X’ler veri değerleri ve W’lar her bir X için bir ağırlık fonksiyonu olarak kabul edilirse; ağırlıklı ortalama formülü şöyle oluşur:

13. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri • Ağırlıklı ortalama eğitimde yaygın olarak kredili ders sistemindeki ortalamaların hesaplanmasında kullanılmaktadır. Örnek: İktisat, İşletme, Hukuk ve İngilizce derslerini alan bir öğrencinin ders kredisi / ders notu çizelgesi şöyledir: • O halde ağırlıklı ortalaması; (4x75)+(3x70)+(2x60)+(2x90) = 73.63’tür. 11

14. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri • Medyan (ortanca), veri dizisini 2 eşit frekansa ayıran değerdir, sonsuz sayıda olmayan verilerin küçükten büyüğe doğru sıralanmasından sonra ortadaki değer yani ortanca değeri elde edilir. • Eğer verilerin dağılımı simetrik değilse, medyan değeri tercih edilen merkezi eğilim ölçüsü olarak kullanılır ve medyanın aritmetik ortalama değerinden daha uygun bir ölçü olduğu kabul edilir. Simetrik olmama, sıralanmış veri değerleri için ya en küçük değerlerin ya da en büyük değerlerin diğerlerinden çok daha fazla uzaklaşması ile ortaya çıkar. • Veri sayısı n ve veri sırası 1’den n’e kadar Xi olarak kabul edilirse, Medyan değeri şöyle hesaplanır; • n tek ise (Ör., 1,3,4,5,7,8,13 dizisinin medyanı 5'tir) • n çift ise (Ör., 2,4,6,8 dizisinin medyanı ise (4+6)/2=5'tir.)

15. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri • Bir seride en çok tekrarlanan değere tepe değer (mod) denir. Tepe değer de bir gruptaki öğrencilerin en çok hangi notta yığıldığını gösterir. Birden fazla mod olabilir. Mod bir veri serisi içinde en çok tekrar edilen sayıdır. • Örneğin verileri 1,2,3,1,2,3,2,2,2,2 seklinde olan 10 gözlemi kapsayan bir örneklemi ele alacak olursak; bu veri serisinde tekrarların bulunmakta olduğunu ve 1’in 2, 3’ün 2 ve 2’nin de 6 kez tekrar edildiğini gözlemleyebiliriz. Bu durumda 2 bu örneklemdeki tepe değerimizdir (modumuzdur). • Mod mutlaka eşsiz tek olmak zorunda değildir. İki veya daha fazla veri aynı tekrarlamayı gösterebilirler; bu halde çoklu mod ortaya çıkar (önceki örneğe 4 adet daha 3 değerindeki gözlem katmış olsak o örneklemdeki modlarımız 2 ve 3 olurdu). Diğer taraftan, bir veri dizisinde hiç tekrar yoksa mod da bulunmayabilir.

16. Merkezi Değişim (Yayılma) Ölçüleri • İstatistik bilim dalında ve veri analizinde kullanılan yayılma ölçülerinin tümünü ifade eden kavrama merkezi değişim ölçüleri denir. Başlıcaları: • Dizi genişliği (Ranj / Range) • Standart sapma (Standard deviation)

17. Merkezi Değişim (Yayılma) Ölçüleri • Dizi genişliği, bir veri dizisindeki en yüksek değer ile en düşük değer arasındaki uzaklıktır. Örneklemin en yüksek değerinden en küçük değerin çıkarılması ile elde edilir. • Örneğin 10 gözleme sahip olduğumuz bir örneklemde en yüksek veri değeri 8, en düşük veri değeri de 2 ise, o örneklemin dizi genişliği 8-2 = 6’dır.

18. Merkezi Değişim (Yayılma) Ölçüleri • Standart sapma veri değerlerinin yayılımının özetlenmesi için kullanılan bir ölçüdür. • Standart sapma varyansın kare köküdür. Daha matematiksel bir ifade ile standart sapma veri değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının karelerinin toplamının ortalamasının kare köküdür, yani verilerin ortalamadan sapmalarının kareler ortalamasının karekökü olarak tanımlanır. • Standart sapma genel olarak niceliksel ölçekli sayılar için en çok kullanılan verilerin ortalamaya göre yayılmasını gösteren bir istatistiksel ölçüdür. Eğer bir çok veri ortalamaya yakın ise, standart sapma değeri küçüktür; eğer birçok veri ortalamadan uzakta yayılmışlarsa standart sapma değeri büyük olur. Eğer bütün veri değerleri tıpatıp ayni ise standart sapma değeri sıfırdır.

19. Merkezi Değişim (Yayılma) Ölçüleri • N örneklem büyüklüğü ve X’ler de 1’den N’e kadar veriler olarak kabul edilerek ve daha önceki aritmetik ortalama formülü kullanılarak, standart sapma şöyle elde edilir; • Yanda ise, simetrik bir dağılımda, standart sapmaların ortalamadan olan uzaklıklarının toplam alanın yüzde kaçını kapsadıkları belirtilmiştir.

20. Merkezi Değişim (Yayılma) Ölçüleri Örneğin: Bir basit yığın için kilogram birimi ile veri (4, 8, 12) olsun. Aritmetik ortalama 8 olur ve verilerin ortalamadan sapmaları (−4, 0 , 4) olur. Kare toplamlarının ortalaması olan varyans [(4-8)2+(8-8)2+(12-8)2]/3 = 32/3 = 10,666 olur ve kilogram kare birimi ile verilir. Standart sapma 10,66’nın karekökü olup 3,26 değerindedir ve kilogram birimi ile ölçülür.

21. Merkezi Değişim (Yayılma) Ölçüleri • Bir başka örnek vermek gerekirse; 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 değerlerine sahip bir örneklemi ele alalım. • Ortalamamız {(2+4+4+4+5+5+7+9)/8} = 5 olacaktır. • Her bir değerin ortalamadan farkını bulup karesini alırız, ve bu kareleri toplayıp toplam gözlem sayısına böler, sonucun kare kökünü alarak standart sapmaya ulaşırız. • (9+1+1+1+0+0+4+16)/8 = 4 ve 4’ün de kare kökü 2’dir.

22. Merkezi Değişim (Yayılma) Ölçüleri • Standart sapma, eğitimde başarıyı belirlemede ortalamalar ile birlikte yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Eğer bir sınavda grup ortalamaları eşit ise standart sapması daha küçük olan grup daha başarılıdır. Standart sapması küçük olan gruplarda öğrencilerin öğrenme düzeyleri daha birbirine yakın iken, standart sapması büyük olan gruplarda öğrenme düzeyleri arasında daha belirgin farklar mevcuttur. • Bir dağılımda değerler aritmetik ortalamadan uzaklaştıkça dağılımın yaygınlığı artar. • Standart sapmanın küçüklüğü; ortalamaya yakınlığı, büyüklüğü ise; ortalamaya uzaklığı ifade eder.

23. Merkezi Değişim (Yayılma) Ölçüleri • Korelasyon ise, iki bağımsız değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü belirtir. Genel istatistiksel kullanımda korelasyon, bağımsızlık durumundan ne kadar uzaklaşıldığını gösterir. -1 ve +1 aralığında değerler alır. +1’ yaklaştıkça korelasyonun var olduğu ve iki değişkenin aynı doğrultuda hareket ettikleri, -1’e yaklaştıkça korelasyonun ters yönde olacağı ve sıfıra yaklaştıkça ise korelasyonun azaldığı ve iki değişkenin bağımsızlıklarının arttıkları belirtilir. • Eğitimde ise grupların farklı derslerden aldıkları notlar arası ilişkileri yorumlamada kullanılabilir. +1’e yakın bir korelasyon ile bir dersten iyi (kötü) not alan öğrencinin diğerinden de iyi (kötü) not alacağı belirtilirken, -1’e yakın bir korelasyonda iyi nota karşın kötü, kötü nota karşın iyi notun alınması ve 0’yakın korelasyonda bu iki ders arasında herhangi bir ilişkinin var olmadığı ortaya konmuştur.

24. Sorular • ÖSS sınavına girecek bir öğrencinin sınav günü kaza geçirmesi, fakat buna rağmen sınava geç girmesi ve bunun sonucunda normalde alabileceğinden daha düşük bir puan alması, hangi tür ölçme hatasına girer? • Cevap: Tesadüfi hata • Kredili sistemde yılsonu ortalama not hesaplamaları için neden aritmetik ortalama değil de, ağırlıklı ortalama kullanıldığını, açıklayarak anlatınız. • Kısa cevap: Alana (Branşa) yönelik bir eğitim sistemi benimsenmesinin sonucu olarak, öğrenci yoğunlaşacağı alandaki dersler ağırlıklı olarak değerlendirilmelidir.

25. Sorular • 1, 5, 5, 4, 6, 2, 2, 1, 2, 5, 5, 5, 5, 6, 5 veri değerlerine sahip 15 gözlemli bir örneklemin modu nedir? • Cevap: 5 • 2, 6, 8, 10 dizisinin medyanı nedir? • Cevap: (6+8)/2 = 7 • 10, 10, 25, 30, 15, 5, 7 örnekleminin aritmetik ortalaması nedir? • Cevap: (10+10+25+30+15+5+7)/6 = 17

26. Sorular • Değerleri 2, 4, 6 olan bir örneklemin standart sapması nedir?Cevap: • önce ortalamayı buluruz:(2+4+6)/3 = 4 • her değerin farklar karesini buluruz:(2-4)2 = 4(4-4)2 = 0(6-4)2 = 4 • bunları toplar ve toplam gözlem sayısına bölüp karekökünü alırız, bu da bize standart sapmayı verir:(4+0+4)/3 = 2,66 ve 2,66’nın karekökü ise 1,63’tür. • standart sapma 1,63’tür.

27. Referanslar • Dodge, Yadolah (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms. Oxford University Press. ISBN 0-19-920613-9. • Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G. (1988), Inequalities (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0521358804 • Prof.Dr. Mustafa Ergün, (2009), Öğretimde Planlama ve Değerlendirme, Afyon[İnternet] Erişim adresi: < http://www.egitim.aku.edu.tr/opddoktora.htm >[Erişim, 14 Mayıs 2009]. • Wikipedia.org, (2009),[Internet] Erişim adresi:<http://tr.wikipedia.org/wiki/Ölçme_ve_Değerlendirme#.C3.96L.C3.87ME[Erişim, 13 Mayıs 2009].