CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1. CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §3 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

2. I - TÍNH DiỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

3. HOẠT ĐỘNG 1 :Hãy tính diện tích hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng : y = – 2x – 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5 y = 2x + 1 S1=SABCD= (AD+BC)xAB/2 = 28 Ở Hđ1 bài 2 ta đã tính diện tích S của hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng : y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5. S Các em hãy so sánh diện tích hai hình S và S1, cho nhận xét. S1 y = – 2x – 1

4. 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm trên đoạn [a ; b] . Được biết cách tính diện tích hình thang cong y = f(x) ; trục hoành và x = a , x = b B’ y A’ Trường hợp f (x) âm trên đoạn [a ; b] Thì - f(x) > 0 và diện tích hình thang cong aABb bằng diện tích hình thang cong aA’B’b là hình đối xứng của hình thang đã cho qua trục hoành . Do đó : a b x O S Trường hợp tổng quát : A Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( hình vẽ bên) B y y = f(x) Được tính theo công thức : a b x O

5. Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = 2 Giải : Ta có x 3 < 0 trên đoạn [- 1 ; 0] x 3≥ 0 trên đoạn [ 0 ; 2 ] Áp dụng công thức có :

6. 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong : Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường x = a ; x = b . Xét trường hợp f1(x) ≥ f2(x) với mọi x  [a ; b] y y = f1(x) Gọi S1 , S2 là diện tích hai hình thang cong giới hạn bởi trục hoành , x = a , x = b và các đường cong y = f1(x) , y = f2(x) tương ứng . D Khi đó diện tích D sẽ là : y = f2(x) trường hợp tổng quát và có O x a b Chú ý : Khi áp dụng công thức (4) , cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân . Ta phải giải phương trình : f1(x) – f2(x) trên đoạn [a ; b] . Giả sử có 2 nghiệm c < d . Khi đó f1(x) – f2(x) không đổi dấu trên các đoạn [a ; c] ; [c ; d] ; [d ; b]. Ví dụ trên [a ; c] thì :

7. Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x ; y = sin x , và hai đường thẳng x = 0 , x =  . Giải : Đặt f1 (x) = cos x ; f2 (x) = sin x Ta có : f1 (x) - f2 (x) = cosx - sin x = 0 Vậy diện tích hình phẳng đã cho là :

8. Ví dụ 3 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong y = x3 – x và y = x – x2 Giải : Ta có : f1 (x) - f2 (x) = (x3 – x) – (x – x2 ) = 0 Vậy diện tích hình phẳng đã cho là :

9. II - TÍNH THỂ TÍCH

10. Hoạt động 2 Nhắc lại công thức tính thể tích hình lăng trụ có diện tích đáy bằng B , đường cao h ? S(x) V = B h 1. Thể tích của vật thể : Q P Cho một vật thể (Hình vẽ) Cắt vật thể bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a và x = b ( a < b) Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x ( a  x  b) , cắt hình đã cho theo thiết diện có diện tích S(x) . Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a ; b] x b x O a Người ta đã chứng minh được : Thể tích V của phần vật thể trên giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức :

11. Ví dụ 4 : Tính thể tích khối lăng trụ , biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h . Giải : Chọn trục Ox song song đường cao của khối lăng trụ , còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h . x Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox .cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi bằng B ( S(x) = B với 0  x  h ) h Áp dụng công thức (5) có : S(x) = B x O

12. 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt : a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B . Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I sao cho điểm O trùng với đỉnh của khối chóp và hướng xác định bởi véc tơ O Lúc đó OI = h Một mặt phẳng () vuông góc với Ox tại x ( 0  x  h) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là S(x) .  Ta có : S(x) x Và thể tích V của khối chóp là : h B I x

13. 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt : b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S , có diện tích đáy là B , B’ và đường cao h Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy lớn (P) tại điểm I . Mp đáy nhỏ (Q) tại I’ . S  O Đặt đỉnh S trùng với O . OI = b ; OI’ = a ( a < b) Gọi V là thể tích khối chóp cụt , ta có : Q B’ I’ h P Vì : và h = b – a B nên I x

14. y y = f(x) O a x b III - THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Bài toán : Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b) , quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay . Hãy tính thể tích V của nó . Giải : x Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x (a  x  b) là hình tròn có bán kình : |f(x)| Nên diện tích thiết diện là : S(x) =  .f 2(x) Vậy theo công thức (5) có :

15. Ví dụ 5 : Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x =  . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox . Giải : y y = sinx Áp dụng công thức (6) có : x O x 

16. Ví dụ 6 : Tính thể tích hình cầu bán kính R . y Giải : Hình cầu bán kính R là khối tròn thu được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đường ( - R  x  R ) , và đường thẳng y = 0 xung quanh trục Ox . - R R O x Vậy

17. Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối) S2 S1

18. Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x); các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối) y = f(x) y = f(x) y = g(x) y = g(x)

19. y y = f(x) O a x b THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY