Vježba Relacije linearnih kombinacija i drugih varijabli

2. Sveučilište u Zagrebu Filozofski fakultet Odsjek za psihologiju Vježbe iz psihometrije Vježba Relacije linearnih kombinacija i drugih varijabli

3. Uvod U psihološkim istraživanjima i praksi vrlo često se ukazuje potreba za izračunavanjem korelacija između jednostavnih linearnih kombinacija i jednostavnih vanjskih varijabli. Vjerojatno najčešće takav slučaj nalazimo prilikom kriterijske validacije psiholoških testova.

4. Zbog višestruke determiniranosti kriterijskih varijabli (kompleksnosti kriterija) u svrhu njihove predikcije koristi se manje-više redovito baterija testova, a ne samo jedan mjerni instrument. Slična je situacija i prilikom tzv. simptomatske validacije, prilikom konstrukcije testova i sl. Varijable u linearnoj kombinaciji gotovo uvijek nazivamo prediktorskim (nezavisnim), a jednostavne varijable kriterijima ili kriterijskim varijablama (zavisnim).

5. 1. Korelacija između linearne kombinacije i jednostavne vanjske varijable Pokušat ćemo provjeriti o kojim faktorima ovisi korelacija između jednostavne linearne kombinacije sačinjene od k članica i neke jednostavne vanjske varijable Y. Da bismo izjednačili udio svake varijable, transformirat ćemo sve varijable u z-vrijednosti.

6. Neka je zadan neki skup prediktorskih varijabli koje su standardizirane (transformirane u tzv. z-metriku, ili z-vrijednosti). Skup članica J.L.K.: Neka je zadana neka kriterijska varijabla Y, koja ne pripada prethodnom skupu, a za koju vrijedi:

7. Linearna kombinacija definirana je pod sljedećim modelom: Definirajmo korelaciju između linearne kombinacije koja se sastoji od 3 članice izražene u z-vrijednostima i kriterijske varijable Y kao produkt-moment koeficijent korelacije:

8. Budući da kod standardiziranih varijabli vrijedi: Možemo pisati:

9. Za standardne devijacije vrijedi: ukoliko pomnožimo izraz u brojniku, te uvrstimo izraze za standardne devijacijemožemo pisati:

10. Provedemo li sumaciju polinoma u zagradi (brojnik), a zatim dobivene članove podijelimo sa N, dobivamo pojedine korelacije između članica linearne kombinacije i vanjske varijable y (kriterija):

11. U općem obliku, za bilo koji broj varijabli u linearnoj kombinaciji, korelacija između jednostavne linearne kombinacije z-vrijednosti i neke kriterijske varijable koja nije njezina članicajednaka je:

12. Prema tome, korelacija jednostavne linearne kombinacije i neke vanjske varijable jednaka je kvocijentu zbroja korelacija članica linearne kombinacije s vanjskom varijablom i drugog korijena iz sume kompletne intrakorelacione matrice definirane članicama linearne kombinacije. Ukoliko je zadana kompletna korelacijska matrica definirana sa k prediktorskih varijabli i kriterijskom varijablom Y

13. Matrica R se može logično particionirati (podijeliti) u dva dijela: matricu (vektor) korelacija komponenata linearne kombinacije i vanjske varijable i matricu intrakorelacija komponenata linearne kombinacije, koja je očito kompletna korelacijska matrica.

14. Iz posljednje formule slijedi da će ova korelacija biti to veća što su veće korelacije pojedinih komponenata i kriterijske varijable, uz što manje međusobne korelacije komponenata linearne kombinacije. Neka je zadana neka kriterijska varijabla Y, koja ne pripada prethodnom skupu, a za koju vrijedi:

15. Valja napomenuti da korelacija jednostavne linearne kombinacije i neke kriterijske varijable nije i nužno veća od svake pojedinačne korelacije komponenata sa vanjskom varijablom. Npr. neka za 3 članice JLK vrijedi: neka su sve interkorelacije članica linearne kombinacije rij veće od nule

16. Tada je korelacija između te J.L.K. i kriterijske varijable Y: iz čega je očigledno da je

18. Zadatak 1: Izračunajte korelaciju između jednostavne linearne kombinacije tri gornje prediktorske varijable definirane modelom: Ui = z1 + z2 + z3 i kriterijske varijable Y ruy = ?

19. Zadatak 2: Zadan je neki test znanja sastavljen od 5 zadataka, te varijabla K koja predstavlja uspjeh u nekom poslu. U ovom slučaju test možemo smatrati prediktorom, a uspjeh u poslu kriterijem. Sve varijable su standardizirane.

20. 1. Koliko iznosi aritmetička sredina jednostavne linearne kombinacije ovih 5 zadataka? 2. Koliko iznosi standardna devijacija jednostavne linearne kombinacije ovih 5 zadataka? 3. Koji od zadataka je najbolji pojedinačni prediktor uspjeha u poslu? 4. Koliko iznosi korelacija između uratka u cijelom testu i kriterija K ? 5. Usporedite prethodnu korelaciju (pod 4.) s pojedinačnim korelacijama zadataka s kriterijem.

21. 6. Koja dva zadatka bismo mogli izbaciti iz testa, a da se nakon toga kriterijska valjanost testa (vjerojatno) nesmanji ? 7. Kakve bi posljedice imalo obrnuto bodovanje 4. zadatka ? 8. Koliko bi iznosila korelacija između testa sačinjenog od prva tri zadatka i kriterija K ? 9. Koliko bi (hipotetski) iznosila korelacija između testa sačinjenog od prva tri zadataka i kriterija K, kada bi zadaci bili u nultim korelacijama ?

22. 2. Korelacija između linearne kombinacije i neke njezine članice (spuriozna ili patvorena korelacija) Prilikom nekih praktičnih operacija pri konstrukciji i validaciji testova (procjena diskriminativne valjanosti čestica kompozitnih testova, faktorska validacija i sl.) susrećemo se s problemom izračunavanja korelacije između linearne kombinacije i neke varijable koja je uključena u tu linearnu kombinaciju.

23. Neka je zadan neki skup prediktorskih varijabli koje su standardizirane (transformirane u tzv. z-metriku, ili z-vrijednosti). Skup članica J.L.K.:

24. Linearna kombinacija definirana je pod sljedećim modelom: Definirajmo korelaciju između linearne kombinacije koja se sastoji od 3 članice izražene u z-vrijednostima i njezine članice z1 produkt-moment koeficijent korelacije:

25. Budući da kod standardiziranih varijabli vrijedi: Možemo pisati:

26. Za standardne devijacije vrijedi: ukoliko pomnožimo izraz u brojniku, te uvrstimo izraze za standardne devijacijemožemo pisati:

27. Provedemo li sumaciju polinoma u zagradi brojnika, a zatim dobivene članove podijelimo sa N, dobivamo pojedine korelacije između članica linearne kombinacije i njezine prve članice:

28. U općem obliku, za bilo koji broj varijabli u linearnoj kombinaciji, korelacija između jednostavne linearne kombinacije z-vrijednosti i neke njezine članice (ovdje je označena kao prva članica):

29. Prema tome, korelacija između linearne kombinacije i neke njezine članice jednaka je omjeru zbroja korelacija te komponenete i svih (uključujući i nju) članica linearne kombinacije i zbroja elemenata kompletne intrakorelacione matrice članice linearne kombinacije. Ova formula samo je poseban oblik ranije izvedenog algoritma za korelaciju između jednostavne linearne kombinacije i druge varijable.

30. Općenito, ova je korelacija to veća što su veće korelacije jedne komponente sa ostalima i što su manje međusobne korelacije preostalih preostalih komponenata. Korelacije ovog tipa nazivaju se i spuriozne ili patvorene korelacije, i to zbog toga što su umjetno povećane zbog činjenice da je kriterijska varijabla član linearne kombinacije sa kojom je uspoređujemo. Distorzija ovih korelacija je obrnuto proporcionalna broju varijabliu linearnoj kombinaciji, a veličina te distorzije može biti procijenjena razmatranjem ove korelacije za slučaj da među komponentama linearne kombinacije ne postoji nikakva korelacija. Razumljivo u tom bismo slučaju očekivali i nultu korelaciju između linearne kombinacije i njezinih članica.

31. Neka za neki skup standardiziranih članica linearne kombinacije vrijedi: rij = 0, za i,j = 1,...,k , i  j U tom slučaju će korelacija između linearne kombinacije i neke njezine članice biti jednaka: iz čega je očigledno da je ru1 > 0 i po veličini obrnuto proporcionalan broju članica linearne kombinacije. Zbog toga nije moguće uobičajenim postupcima testirati hipoteze o veličini koeficijenta korelacije , njihovoj razlici i sl.

32. Za različiti broj članica koje su u međusobno nultim korelacijama, spuriozna korelacija iznosi:

33. Zadaci (vezani uz test sačinjen od 5 zadataka iz ranijeg primjera): 10. Koliko iznosi korelacija između uspjeha u cijelom testu i uratka u prvom zadatku? Kako se zove takva korelacija ? 11. Koliko iznosi korelacija između uspjeha u cijelom testu i uratka u petom zadatku 12. Usporedite ove dvije prethodne korelacije. Koji od zadataka bolje reprezentira predmet mjerenja ovim testom. 13. Koliko bi iznosila korelacija između uspjeha u cijelom testu i uratka u prvom zadatku kada bismo iz ukupnog uratka izbacili udio prvog zadatka ?

34. Kraj vježbe