ESTUDIAR MATEMÁTICAS EN EL AULA

1. ESTUDIAR MATEMÁTICAS EN EL AULA Una mirada hacia algunas cuestiones matemáticas 2010 - 2011

2. EL CURSO ESTA APROBADO POR: Resolución N° 905/2009 - M.E.C.C. y T. DEL PROGRAMA DE FORMACION DOCENTE Y CONTINUA CRONOGRAMA GENERAL 2 CICLOS: >>PRIMER CICLO 2010 >> SEGUNDO CICLO 2011

3. 6 JORNADAS PRIMER CICLO 2010 4 JORNADAS DE 8 Hs RELOJ CADA UNA TRAMO I: 25 DE FEBRERO CARGA HORARIA: 105 Hs DIDACTICAS = 70 Hs RELOJ 28 DE ABRIL 32 Hs RELOJ - PRESENCIAL 29 DE JUNIO 20 Hs RELOJ - TUTORIA 30 DE AGOSTO 18 Hs RELOJ – NO PRESENCIAL TRAMO II: 2 JORNADAS DE 8 Hs RELOJ CADA UNA 29 DE SEPTIEMBRE CARGA HORARIA: 80 Hs DIDACTICAS = 53 Hs RELOJ 28 DE OCTUBRE 16 Hs RELOJ - PRESENCIAL 12 Hs RELOJ - TUTORIA 25 Hs RELOJ – NO PRESENCIAL

4. SEGUNDO CICLO 2011 CORRESPONDERÁ A LA CONTINUACIÓN PEDAGÓGICA-DIDÁCTICA DESARROLLADA EN EL CICLO 2010, OBSERVANDO SU MISMA ESTRUCTURA ORGANIZATIVA.

5. CAPACITADORES:> Gonzáles, Hugo> Peralta, Oscar> Romero, Alicia (Colaboración) METODOLOGÍA: - Por medio de exposiciones dialogadas. - Debates. - A su vez se trabajará por medio del análisis de producciones individuales y colectivas.

6. CONTENIDOS CONCEPTUALES. • TEORIA DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS. • TEORÍA ANTROPOLÓGICA DE LO DIDÁCTICO. • EVOLUCIÓN DE LA DIDÁCTICA. • ESTUDIO Y ANÁLISIS DE REGISTROS DE CLASES.

7. OBJETIVOS > Promover el trabajo matemático desde situaciones problemáticas y por medio del debate y el análisis de los procedimientos de los alumnos y docentes; >Incentivar la organización de un trabajo en conjunto acerca del estudiar matemáticas por medio de la resolución de problemas; >Comparar, interpretar y elaborar producciones realizados por medio de la resolución de problemas, el análisis de su validez y su adecuación al contexto áulico.

8. CRONOGRAMA DE LA JORNADA. • 8:00 – 8:30 PRESENTACIÓN. • 8:30 – 9:00 ANÁLISIS DE PROBLEMAS. • 9:00 – 9:00 EXPOSICIÓN DE CUESTIONES DIDÁCTICAS. • 9:30 – 10:00 RESOLUCIÓN Y ANÁLISIS DE PROBLEMAS • 10:00 – 10:15 RECREO • 10:15 – 12:00 ANÁLISIS DE LAS POSIBLES RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS A PROBLEMAS PLANTEADOS. • 12:00 – 13:00 RECREO • 13:00 – 14:00 ANALISIS DE LA TAD • 14:00 – 15:00 RESOLUCION DE PROBLEMA Y SU ANÁLISIS DESDE LA MIRADA DE LOS ALUMNOS. • 15:00 – 17:00 PUESTA EN COMÚN DE TODOS LOS APORTES. PRÓXIMAS ACTIVIDADES.

9. ALGUNAS CUESTIONES A ANALIZAR

10. ESTUDIAR LAS TARIFAS DE ESTAS DOS EMPRESAS

11. LO QUE SE TRABAJA EN ESTE CURSO SON Ideas extraídas desde: > Chevallard, Bosch y Gascón (1997): Estudiar matemática: El Eslabón Perdido entre la Enseñanza y el Aprendizaje,ICE/Horsori Barcelona. España.

12. NO SE PUEDE ABORDAR EL TEMA DE LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICASSIN PREGUNTARSE AL MISMO TIEMPO QUE SON LAS MATEMÁTICAS, EN QUÉ CONSISTEN Y PARA QUÉ SIRVE HACER MATEMÁTICAS.

13. LA PRESENCIA DE LAS MATEMATICAS EN LA ESCUELA ES UNA CONSECUENCIA DE SU PRESENCIA EN LA SOCIEDAD Y POR LO TANTO, LAS NECESIDADES MATEMÁTICAS QUE SURGEN EN LA ESCUELA DEBERÍAN ESTAR SUBORDINADAS A LAS NECESIDADES MATEMÁTICAS DE LA VIDA EN SOCIEDAD.

14. LA “ENFERMEDAD DIDÁCTICA” CONSITE EN CONSIDERAR QUE LAS MATEMÁTICAS ESTÁN HECHAS PARA SER ENSEÑADAS Y APRENDIDAS, QUE LA “ENSEÑANZA FORMAL” ES IMPRESCINDIBLE EN TODO APRENDIZAJE MATEMÁTICO Y QUE LA ÚNICA RAZÓN POR LA QUE SE APRENDEN MATEMÁTICAS ES PORQUE SE ENSEÑAN EN LA ESCUELA. SE REDUCE ASÍ EL “VALOR SOCIAL” DE LAS MATEMÁTICAS A UN SIMPLE “VALOR ESCOLAR”, CONVIERTIENDO LA ENSEÑANZA ESCOLAR DE LAS MATEMÁTICAS EN UN FIN EN SÍ MISMO.

15. ¿QUÉ HACER PARA QUE LOS ALUMNOS SE SITÚEN COMO MATEMÁTICOS ANTE LAS CUESTIONES MATEMÁTICAS QUE SE LES PLANTEAN EN LA ESCUELA, Y PARA QUE ASUMAN ELLOS MISMOS LA RESPONSABILIDAD DE SUS RESPUESTAS?

16. UNO DE LOS ASPECTOS A CONSIDERAR ES TENER EN CUENTA QUE LOS PROCESOS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS SON ASPECTOS PARTICULARES DEL PROCESO DE ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS. LA PALABRA “ESTUDIO” TIENE UN SENTIDO AMPLIO QUE ENGLOBA TANTO EL TRABAJO MATEMÁTICO DEL ALUMNO, COMO EL DEL MATEMÁTICO PROFESIONAL QUE TAMBIÉN “ESTUDIA” PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS.

17. ¿QUÉ SIGNIFICA “HACER MATEMÁTICAS”?

18. UN ASPECTO ESENCIAL DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA CONSISTE EN CONSTRUIR UN MODELO (MATEMÁTICO) DE LA REALIDAD QUE QUEREMOS ESTUDIAR, TRABAJAR CON DICHO MODELO E INTERPRETAR LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN ESTE TRABAJO PARA CONTESTAR A LAS CUESTIONES PLANTEADAS INICIALMENTE. GRAN PARTE DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA PUEDE IDENTIFICARSE, POR LO TANTO, CON UNA ACTIVIDAD DE MODELIZACIÓN MATEMÁTICA.

19. POR EJEMPLO: CUESTION INICIAL: ¿CÓMO REPARTIR CARAMELOS A UNOS AMIGOS EN PARTES IGUALES? PROBLEMA MATEMÁTICO: ¿CUÁNTO ES 325 (CARAMELOS) DIVIDIDO ENTRE 23 (AMIGOS)? MODELO ESCRITO: LOS NÚMEROS Y LA OPERACIÓN DE DIVIDIR UNA VEZ RESULETO EL PROBLEMA PLANTEADO HABRÁ QUE VOLVER A LA SITUACIÓN INICIAL PARA REALIZAR EL REPARTO: DAR 14 CARAMELOS A CADA UNO SABIENDO QUE SOBRARÁN 3.

20. POR EJEMPLO: UNA CUESTIÓN INTRAMATEMÁTICA EXISTEN MULTITUD DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS NACIDOS DE CUESTIONES PURAMENTE MATEMÁTICAS, LAS QUE SE PUEDEN LLAMAR PROBLEMAS INTRAMATEMÁTICOS. QUEREMOS DIVIDIR 527 ENTRE 42. COMO 42 = 7 x 6 = 6 x 7 = 7 x 3 x 2. DIVIDIMOS 527 ENTRE 2, OBTENEMOS 263 QUE DIVIDIMOS ENTRE 3, LO QUE DA 87; FINALMENTE DIVIDIMOS 87 ENTRE 7 Y OBTENEMOS 12. POR LO TANTO, 527 DIVIDIDO ENTRE 42 ES 12. ¿FUNCIONARÁ SIEMPRE ESTA TÉCNICA? ¿POR QUÉ? ¿ES POSIBLE JUSTIFICARLA? SI SE CONSIDERA 42 = 2 x 21 ¿TAMBIÉN FUNCIONARÁ LA TÉCNICA?

21. SE PUEDE CARACTERIZAR EL HACER MATEMÁTICASCOMO UN TRABAJO DE MODELIZACIÓN. ESTE TRABAJO CONVIERTE EL ESTUDIO DE UN SISTEMA NO MATEMÁTICO O UN SISTEMA PREVIAMENTE MATEMATIZADO EN EL ESTUDIO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS QUE SE RESULEVEN UTILIZANDO ADECUADAMENTE CIERTOS MODELOS. SE PUEDEN DESTACAR TRES ASPECTOS EN ESTE TRABAJO: LA UTILIZACIÓNRUTINARIA DE MODELOS MATEMÁTICOS YA CONOCIDOS; EL APRENDIZAJE (Y LA EVENTUAL ENSEÑANZA) DE MODELOS Y DE LA MANERA DE UTILIZARLOS; Y LA CREACIÓN DE CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS, ES DECIR DE NUEVAS MANERAS DE MODELIZAR LOS SISTEMAS ESTUDIADOS.

22. LA “ENFERMEDAD DIDÁCTICA” CONSISTE EN REDUCIR LA ACTIVIDAD MATEMÁTICAA UNA PARTE DEL SEGUNDO ASPECTO CONSIDERADO: EL ENSEÑAR Y APRENDER MATEMÁTICAS PREVIAMENTE CONSTRUIDAS. ESTA REDUCCIÓN COMPORTA ADEMÁS QUE EL APRENDIZAJE Y LA ENSEÑANZA PASEN A SER UN FIN EN SÍ MISMOS, EN LUGAR DE SER CONSIDERADAS COMO UN MEDIO PARA RESPONDER A CIERTAS CUESTIONES.

23. Lo didácticoes todo lo referente al estudio. Se habla de procesos didácticos cada vez que alguien se vea llevado a estudiar algo – en nuestro caso serán las matemáticas – solo o con la ayuda de otras personas. El aprendizaje es el efecto perseguido por el estudio. La enseñanza es un medio para el estudio, pero no el único.

24. LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS ES LA CIENCIA DEL ESTUDIO Y DE LA AYUDA AL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS. SU OBJETIVO ES LLEGAR A DESCRIBIR Y CARACTERIZAR LOS PROCESOS DE ESTUDIO – O PROCESOS DIDÁCTICOS – DE CARA A PROPONER EXPLICACIONES Y RESPUESTAS SÓLIDAS A LAS DIFICULTADES CON QUE SE ENCUENTRAN TODOS AQUELLOS (ALUMNOS, PROFESORES, PADRES, PROFESIONALES, ETC) QUE SE VEN LLEVADOS A ESTUDIAR MATEMÁTICAS O A AYUDAR A OTROS A ESTUDIAR MATEMÁTICAS.

25. UNO DE LOS PRINCIPIOS DE LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS CONSISTE EN POSTULAR QUE LA EXPLICACIÓN DE UN FENÓMENO DIDÁCTICO – COMO, POR EJEMPLO, LA “IRRESPONSABILIDAD MATEMÁTICA DE LOS ALUMNOS” – NO PUEDE REDUCIRSE A FACTORES PSICOLÓGICOS, ACTITUDINALES O MOTIVACIONALES DE ALUMNOS Y PROFESORES, NI A LAS PECULIARIDADES ESPECÍFICAS DE LOS MÉTODOS PEDAGÓGICOS UTILIZADOS. LAS EXPLICACIONES DIDÁCTICAS DEBEN, POR EL CONTRARIO, PARTIR DE LA DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA QUE REALIZAN CONJUNTAMENTE PROFESOR Y ALUMNOS EN EL AULA Y FUERA DE ELLA, ASÍ COMO DE LAS CLÁUSULAS DEL CONTRATO DIDÁCTICO QUE RIGEN ESTA ACTIVIDAD.

26. ¿CÓMO RESPONDERÍAN LOS ALUMNOS A ESTAS PREGUNTAS? PARTE I

27. ¿EXISTE ALGUN NÚMERO QUE SUMADO A 5 DÉ POR RESULTADO 3? ¿ES POSIBLE QUE 3/2 SEA LA MITAD DE 6/4? ¿CUÁL ES LA MITAD DE 1/4?

28. Y… AHORA… A ESTUDIAR!!!!!!

29. EL NÚMERO 17.28.15 + 12 ¿ES MÚLTIPLO DE 4 Y DE 6?

30. SEAN pY k NÚMEROS ENTEROS TALES QUE p = 25.k + 7, HALLAR EL RESTO DE DIVIDIR k POR 5.

31. SI A UN RECTÁNGULO SE LE DUPLICAN SU BASE Y SU ALTURA, • ¿ES CIERTO QUE EL ÁREA TAMBIÉN SE DUPLICA? ¿POR QUÉ? • ¿ES CIERTO QUE SU PERÍMETRO TAMBIÉN SE DUPLICA? ¿POR QUÉ?

32. DADAS DOS FRACCIONES CUALESQUIERA, ¿ES POSIBLE QUE EXISTA SIEMPRE UNA FRACCIÓN QUE ENTRE UNA CANTIDAD ENTERA DE VECES EN CADA UNA DE ELLAS?

33. DIBUJEN CUADRILÁTEROS QUE TENGAN IGUAL PERÍMETRO QUE UN RECTÁNGULO DE 3 cm DE BASE Y 2 cm DE ALTURA. EL ÁREA DE LOS CUADRILÁTEROS QUE DIBUJARON, ¿SIGUE SIENDO LA MISMA ÁREA QUE LA DEL RECTÁNGULO?.

34. ¿CÓMO RESPONDERÍAN LOS ALUMNOS A ESTAS PREGUNTAS? PARTE II

35. ¿ES POSIBLE ENCONTRAR EL SIGUIENTE DE 0,1? ¿ALGUNO DE ESTOS DOS NÚMEROS ES MAYOR? ¿(0,5)2 O (0,5)3? SI SE MEZCLAN 3 lts DE AGUA CON 2 lts DE JUGO, ¿ES POSIBLE QUE SE OBTENGA EL MISMO GUSTO SI SE MEZCLARA 2 lts DE AGUA CON 1 lts de JUGO?

36. … SEGUIMOS ESTUDIANDO…

37. CON UNA HOJA SE ARMAN DOS CILINDROS, TENIENDO COMO EJE DE GIRO EL ANCHO DE LA HOJA EN UN CASO Y EL LARGO EN OTRA. ESTUDIAREL VOLUMEN DE AMBOS CILINDROS.

38. ANALIZAR LOS COMPORTAMIENTOS DE F(x) = X3 Y DE G(x) =X5PARA TODO NÚMERO REAL.

39. TRANSFORMA LA FÓRMULA DE F(x) = X3 DE MANERA TAL QUE SE OBTENGA UNA FUNCIÓN CUYA ÚNICA RAÍZ SEA -1?

40. SUPONIENDO QUE SE CONOCEN LOS GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES X3 y X, ESTUDIAR EL GRÁFICO DE LA FUNCIÓN X3 – X + 1.

41. SE OBTUVO CON LA CALCULADORA CIENTIFICA QUE EL SEN 30º = SI NO SE TUVIERA UNA CALCULADORA, ¿CÓMO SE PODRÍA CALCULAR EL SEN 30º?

42. … UN POCO DE TEORÍA…

43. ALGUNOS ASPECTOS BÁSICOS SOBRE LA TEORÍA ANTROPOLÓGICA DE LO DIDÁCTICO (TAD) En la Teoría Antropológica de lo didáctico (TAD) se parte del principio que el saber matemático se construye como respuesta al estudio de cuestiones problemáticas, apareciendo así como el resultado (o producto) de un proceso de estudio. Dicho proceso, en cuanto actividad que conduce a la construcción (o reconstrucción) de conocimiento matemático, forma parte de la actividad matemática. La TAD identifica lo didáctico con todo lo relativo al estudio, tomando la palabra “estudio” en un sentido muy amplio que engloba las nociones de enseñanza y aprendizaje comúnmente utilizadas en la cultura pedagógica y que se refiere a todo aquello que se hace en una determinada institución para aportar respuestas a las cuestiones o para llevar a cabo las tareas problemáticas que se plantean.

44. Dentro del punto de vista general del conocimiento matemático, se propone la noción de organización praxeológica matemática o praxeología matemática (o simplemente organización matemática) como modelo básico para describir el conocimiento matemático. La noción de praxeología matemática corresponde a la concepción del trabajo matemático como estudio de tipos de problemas o tareas problemáticas. Pero éste no es el único aspecto del trabajo matemático. En efecto, el matemático no aspira únicamente a plantearse buenos problemas y resolverlos, sino que pretende, además, caracterizar, delimitar e incluso clasificar los problemas en “tipos de problemas”, entender, describir y caracterizar las técnicas que utiliza para resolverlos hasta el punto de controlarlas y normalizar su uso, se propone establecer las condiciones bajo las cuales éstas funcionan o dejas de ser aplicables y, en última instancia aspira a construir argumentos sólidos y eficaces que sostengan la validez de sus maneras de proceder.

45. El saber matemático aparece así organizado en dos niveles: El primer nivel es el que remite a la práctica que se realiza, la praxis o saber-hacer, es decir, los tipos de problemas o tareas que se estudian y las técnicas que se construyen y utilizan para abordarlos. El segundo nivel recoge la parte descriptiva, organizadora y justificadora de la actividad, que llamaremos logos o, simplemente saber. Incluye las descripciones y explicaciones que se elaboran para hacer inteligibles las técnicas, esto es, el discurso tecnológico (la razón, logos, de la técnica y, en última instancia, el fundamento de la producción de nuevas técnicas) y la teoría que da sentido a los problemas planteados, permite interpretar las técnicas y fundamentar las descripciones u demostraciones tecnológicas.

46. De ahí proviene la noción de praxeología, que resulta de la unión de los dos términos praxis y logos. Tipos de tareas, técnicas, tecnología y teoría son pues las cuatro categorías de elementos que componen una organización o praxeología matemática. Diremos ahora que: > HACER MATEMÁTICA consiste en poner en práctica una praxeología matemática para realizar un determinado tipo de tareas y que: > ESTUDIAR MATEMÁTICAS consiste en construir o reconstruir determinados elementos de una praxeología matemática para dar respuesta a un determinado tipo de tarea problemática (es decir un tipo de tarea para el cual no existe una praxeología adecuada (en el caso de los investigadores de matemática) o no se conoce una praxeología adecuada para resolverla en el caso de los alumnos).

47. Las praxeologías matemáticas no surgen de forma instantánea, ni aparecen acabadas de una vez por todas. Son, al contrario, el resultado de un trabajo complejo y continuado que se realiza durante largo tiempo – incluso siglos – en el caso de las matemáticas nuevas, pero también en el caso de los alumnos aprendiendo matemática. Podemos mencionar a los números negativos, cuyo desarrollo ocupó varios siglos, desde su utilización como recursos para resolver problemas, en la Edad Media, hasta el total reconocimiento de su estatus como números alrededor del Siglo XIX. Y el tiempo que necesitan los alumnos para construir un conocimiento tan complejo como el de volumen.

48. TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 PARA ENTREGAR EN EL 3er ENCUENTRO (29 DE JUNIO) RECUPERATORIO DEL PRIMER ENCUENTRO ACTIVIDAD Nº 1 • Realizar un diagnóstico - en parejas - al menos a 4 alumnos: dos de 3º ciclo y dos de Polimodal sobre división. Uno interactúa con el alumno, y el otro registra los gestos, las expresiones y todo lo que realiza el alumno en la hoja. • Si las repuestas de los alumnos se refieren a los números naturales, preguntar: ¿y si fueran fracciones? • a) ¿Se puede dividir un número más chico, por otro más grande? • b) El resultado de una división, ¿puede ser más grande que el dividendo? (recordar los nombres: divisor, dividendo, si no se acuerdan) • c) Inventar un problema que se resuelva con la cuenta siguiente: 24 : 6 - 3 = • Analizar y comentar las respuestas de los alumnos.

49. ACTIVIDAD Nº 2 Tomar a dos alumnos de E.G.B. 3 o de POLIMODAL y registrar los análisis que los mismos hacen acerca del problema de la EMPRESAS A y B. REGISTRAR Y COMENTAR ACERCA DE SUS ELABORACIONES.

50. TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 PARA ENTREGAR EN EL 3er ENCUENTRO (29 DE JUNIO) ACTIVIDAD Nº 1 Realizar un dialogo - en parejas - al menos a 4 alumnos: dos de 3º ciclo EGB 3 y dos de Polimodal sobre las preguntas analizadas. Uno interactúa con el alumno, y el otro registra los gestos, las expresiones y todo lo que realiza el alumno en la hoja. 1) ¿ES POSIBLE QUE 3/2 SEA LA MITAD DE 6/4? 2) ¿ES POSIBLE ENCONTRAR EL SIGUIENTE DE 0,1? 3) SI SE MEZCLAN 3 lts DE AGUA CON 2 lts DE JUGO, ¿ES POSIBLE QUE SE OBTENGA EL MISMO GUSTO SI SE MEZCLARA 2 lts DE AGUA CON 1 lts de JUGO? Analizar tratando de comprender lo que sucede en los diálogos qué esta tratando el alumno, los acuerdos los que arriba, etc. No es necesario analizar todos los diálogos, sino seleccionar algún momento particular.