Metody analizy decyzji Wykład 6 – wybór w warunkach ryzyka

1. Metody analizy decyzjiWykład 6 – wybór w warunkach ryzyka

2. Cele dzisiejszego wykładu • Metody wyboru w warunkach ryzyka: • dominacja stochastyczna • maksymalizacja wartości oczekiwanej i maksymalizacja oczekiwanej użyteczności • awersja do ryzyka

3. Ryzyko a niepewność • Ryzyko a niepewność • Czym jest prawdopodobieństwo: • sprzyjające zdarzenia • częstościowe • aksjomatyczne • subiektywne

4. Wybór w warunkach ryzyka – słownik • Wariantom decyzyjnym odpowiada kilka możliwych konsekwencji • Dla każdego wariantu można określić rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze możliwych konsekwencji • Każdemu wariantowi można przypisać rozkład prawdopodobieństwa ocen

5. Wybór w warunkach ryzyka – model • Przyjmijmy skończoną liczbę konsekwencji dla każdego wariantu • Każdy wariant można utożsamić z loterią, tj. dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze ocen (wypłat) • Sposoby zapisu: 10 0,3 5 0,5 0,2 (5, 50%; 10, 30%; 20, 20%) 20

6. Redukcja loterii złożonych • Możemy redukować loterie złożone – tj. loterie, których wynikiem są loterie, zapisać bezpośrednio jako loterie na zbiorze wypłat 0 0,6 0 0,48 0,8 10 0,4 10 0,32 0,2 5 0,2 5 0 0,5 0 0 0,15 0,15 0,3 0,5 10 10 0,15 0,7 10 0,85 0,7 10 10

7. Wybór wariantu – przykłady

8. Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu (FOSD) cdf cdf 1 1 1 1 t t

9. Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu • Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X dominuje rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y w sensie dominacji stochastycznej pierwszego rzędu (first order stochasticdominance – FOSD), jeśli: • dla każdej wartości t zachodzi FX(t)FY(t) • dla pewnej wartości t zachodzi FX(t)<FY(t) • Decydent preferujący większe wartości wypłat wybierze zmienną dominującą w sensie FOSD

10. Porównaj poniższe pary rozkładów ze względu na FOSD

11. Porównywanie wartości oczekiwanych? • Możesz zagrać w następującą grę: • rzucasz symetryczną monetą do pierwszego wyrzucenia orła • oznacz przez n numer rzutu, w którym po raz pierwszy wyrzucisz orła • otrzymujesz wypłatę 2n PLN • Ile jesteś skłonny maksymalnie zapłacić za możliwość jednokrotnego wzięcia udziału w takiej grze? • Policz samodzielnie wartość oczekiwaną wypłaty • Dlaczego wolisz skończoną, niewielką kwotę niż loterię?

12. Funkcja użyteczności • Funkcja użyteczności rosnąca i często wklęsła (malejąca użyteczność krańcowa) • Dla dowolnej rosnącej funkcji użyteczności rozkład dominujący w sensie FOSD zapewnia większą oczekiwaną użyteczność

13. Funkcja użyteczności a awersja do ryzyka 2 0,5 0,5 10 6 1

14. Awersja do ryzyka a wybór • Awersja do ryzyka: • decydent zawsze preferuje wartość oczekiwaną wypłat niż (niezdegenerowaną) loterię o tej wartości oczekiwanej • Awersja do ryzyka  wklęsła funkcja użyteczności • Czy istnieje sposób porównywania rozkładów uwzględniający awersję do ryzyka (może wybór oczywisty nawet bez FOSD)?

15. Dominacja stochastyczna drugiego rzędu (second-orderstochasticdominance) cdf 1 t 1 1 1 t

16. Dominacja stochastyczna drugiego rzędu • Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X dominuje rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y w sensie dominacji stochastycznej drugiego rzędu (second order stochasticdominance – SOSD), jeśli: • dla każdej wartości t zachodzi • dla pewnej wartości t zachodzi • Rozkład dominujący w sensie SOSD zapewnia większą wartość oczekiwaną każdej rosnącej, wklęsłej funkcji użyteczności

17. Porównaj pary zmiennych ze względu na FOSD i SOSD

18. Awersja do ryzyka a wariancja • Jeśli decydent cechuje się awersją wobec ryzyka, to: • jeśli E(X)=E(Y) • i 0=Var(X)<Var(Y), • to woli X • Natomiast jeśli obie loterie mają niezerową wariancję, to niekoniecznie

19. Ekwiwalent pewności i premia za ryzyko 4,5 1 2 0,5 0,5 10 6 1 

20. Ćwiczenie • WyliczmyekwiwalentpewnościdlaloteriiBernoulliego i użyteczności u(x)=ln(x)

21. Kwantyfikacja awersji do ryzyka • O sile awersji do ryzyka świadczy wielkość premii za ryzyko – wypłaty, której odjęcie jest równoważne (w sensie preferencji) dodaniu ryzyka • Wielkość tej premii zależy od kształtu funkcji użyteczności – im bardziej wklęsła funkcja, tym większa premia • Ilościowo mierzy to współczynnik awersji do ryzyka Arrowa-Pratta • ARA to miara lokalna – jej wartość zależy od x – uszeregowanie funkcji użyteczności może zależeć od punktu odniesienia

22. Interpretacja ARA • x0 – wypłata początkowa (liczba) • l – loteria o zerowej wartości oczekiwanej (zmienna losowa) • d – premia za ryzyko (liczba)

23. Przykłady funkcji użyteczności

24. Sprawdź się! https://www.bbc.co.uk/labuk/experiments/risk/

25. Podsumowanie • Prawdopodobieństwa można zdefiniować obiektywnie lub subiektywnie • Metody porównywania rozkładów: • dominacja stochastyczna pierwszego rzędu • maksymalizacja wartości oczekiwanej • maksymalizacja oczekiwanej użyteczności • dominacja stochastyczna drugiego rzędu • Decydenci często cechują się awersją do ryzyka – wklęsłą funkcją użyteczności • stopień awersji do ryzyka można mierzyć

26. Materiały • Uzupełnienia do dzisiejszego wykładu dla chętnych: • R. Keeney i H. Raiffa (1993): DecisionswithMultipleObjectives. Preferences and ValueTradeoffs, rozdz. 4 • J. Pratt (1964): RiskAversionintheSmall and intheLarge, Econometrica, 32(1/2), ss. 122-136

27. Dziękuję!