TEORIJA IZRAČUNLJIVOSTI -SEMINARSKI RAD-

1. TEORIJA IZRAČUNLJIVOSTI-SEMINARSKI RAD- -Protokoli- Milos Mijatovic 218/07

2. E(e,x) D(d,E(e,x)) X B X A Protokoli • A i B –osobe koje vrse razmenu poruka • E i D – algoritmi za kriptovanje, odnosno dekriptovanje, pri cemu vazi x=D(d, E(e,x)) • E i D su inverzne • e i d kljucevi za kriptovanje odnosno dekriptovanje • PROTOKOLI skupovi izracunavanja dvaju osoba koje saradjuju u dijalogu vrseci razmenu ulaznih i izlaznih podataka

3. Sistemi interaktivnih dokaza • Interaktini dokaz (A,B) je protokol u kom ucestvuju A i B tako da: • A moze da vrsi eksponencijalna izracunavanja kada dokazuje nesto osobi B • B raspolaze samo sredstvima iz klase BPP • i A i B imaju ulazni podatak x • A i B salju poruke m1,m2,…m2|x|k cije su duzine polinomijalne u odnosu na |x|, i A salje poruke neparne a B parne duzine • poruke koje salje A su funkcije ulaznog podatka x i svih prethodnih poruka, m2l−1 = f(x,m1, . . . ,m2l−2)

4. svaka poruka koju salje B je funkcija ulaznog podatka x, svih prethodnih poruka i jednog slucajnog broja izabranog za tu poruku koji A ne poznaje i predstavljenog dugim nizom bitova m2l = f(x,m1, . . . ,m2l−1, rl) • • nakon 2|x|k koraka poslednja poruka koju ˇsalje B je ’da’ ili ’ne’ sto redom znaci da je B ubedjen, odnosno da nije, u vezi sa tvrdjenjem ulaznog podatka • Sistemi interaktivnih dokaza su verovatnosni pandan klase slozenosti NP, kao sto su verovatnosne klase RP i BPP analogani klase slozenosti P.

5. Primer za interaktivni dokaz • Pokusaj osobe A da ubedi osobu B da je neka klasicna iskazna formula zadovoljiva. • Koristeci svoje resurse A moze da pronadje interpetaciju koja zadovoljava formulu, dok B to moze lako da proveri. • Ako formula nije zadovoljiva, B moze zahtevati da se posalje dovoljan broj interpretacija da bi utvrdio zadovoljivost, odnosno nezadovoljivost.

6. Klasa slozenosti izracunavanja IP(interaktivnih dokaza) sadrzi sve probleme L za koje: • za svaki x koji pripada L, verovatnoca da interaktivni dokaz (A,B) prihvata x je barem 1 −1/2|x| • • za svaki x koji ne pripada L, verovatnoca da interaktivni dokaz (A’,B), u kome je algoritam A zamenjen proizvoljnim algoritmom A eksponencijalne slozenosti, prihvati x je najvise 1 /2|x|

7. Problem neizomorfnosti grafova GNI je ilustracija interaktivnog dokaza: • dva grafa G = (V,E) i G0 = (V,E0) sa jednakim skupom cvorova • Grafovi G i G0 su izomorfni ako postoji permutacija P skupa cvorova V tako da je E0 = {(P(u), P(v)) : (u, v) pripada E} • Za GNI problem jos uvek je nepoznato da li se nalaze u P ili NP klasi problema, ali mi ovde ispitujemo da li je on IP • Pretpodstavimo da grafovi G I G’ nisu izomorfni, Protokol (A,B) se definise na sl nacin:

8. Neka je ulaz x = (G,G0) • Osoba B salje poruke tako sto u i-tom koraku: • Definise graf Gi tako sto bira slucajan bit bi i ako je bi = 1, Gi = G, inace Gi = G0 • generise slucajnu permutaciju Pi i salje poruku m2i−1 = (G, P(Gi)) • Osoba A proverava da li su grafovi izomorfni, pa ako jesu, salje odgovor m2i = 1, inace m2i = 0 • Nakon |x| poslatih poruka B prihvata da grafovi nisu izomorfni ako su jednaki vektori (b1, . . . , b|x|) slucajnih bitova koje je B generisao i (m2, . . . ,m2|x|) poruka koje je slao A

9. Ako grafovi G i G0 nisu izomorfni, osoba B nekada salje izomorfne, a nekada neizomorfne grafove, zavisno od vrednosti slucajnog bita. • Osoba A zna da grafovi nisu izomorfni, jer poseduje dovoljno racunarske snage da to utvrdi, pa ce uvek odgovarati korektno, jer u ovom slucaju joj nije u interesu da predje osobu B. • Time dolazimo u situaciju da ako je bit bi = 1, B salje izomorfne grafove i A to potvrdjuje odgovarajuci sa 1 i slicno, ako je bit bi = 0, B salje neizomorfne grafove, a A to potvrdjuje odgovarajuci sa 0. Prema tome, B prihvata ulaz ako se spomenuti vektori poklapaju. • Ako G i G0 jesu izomorfni, bez obzira na izbor bita bi, B uvek salje poruku oblika (G, (G)). Osoba A tako uvek dobija izomorfne grafove, a kako A zeli da osobu B ubedi da grafovi nisu izomorfni. • To znaci da A mora odgovarati tako da se ni jednom bit odgovora ne razlikuje od odgovarajuceg bita koji je izabrao B. • Verovatnoca da A, bez obzira na izbor algoritma kojim se sluzi, |x| puta pogodi vrednost slucajnih bitova je najvise 1/2|x| , kao sto se i zahteva.

10. IP = PSPACE. • Na osnovu ove teoreme, za svaki problem L pripada PSPACE i primerak x osoba A moze ubediti verovatnosni proveravac polinomijalne slozenosti olicen u osobi B da je zaista x pripada L iako je konvencionalni dokaz eksponencijalno dugacak

11. Sistemi sa nultim znanjem • Sistemi sa nultim znanjem se primenjuju u situacijama kada osoba A zeli da osobu B ubedi u nesto, recimo da poseduje resenje nekog teskog problema, a pri tom ne zeli da oda samo resenje, jer predstavlja tajnu.

12. Primer:Bojenje grafa 3 sa boje • Pretpostavimo da A zna kako da sa 3 boje oboji cvorove velikog grafa G = (V,E) pri cemu susedni cvorovi nisu iste boje • Problem 3 boje je NPkompletan problem tako da A zeli da B sazna za postojanje resenja • Istovremeno, A ne zeli da saopsti samo resenje kako ne bi bilo zloupotrebljeno i korisceno bez adekvatne naknade

13. Ako A ima resenje problema, boje susednih cvorova koje B analizira ce uvek biti razlicite • Pri tome B ne saznaje nista o samom resenje jer jedino sto vidi jesu neke slucajne vrednosti, ako A nema resenje postojace bar dva susedna cvora obojena u istu boju, pa je verovatnoca da ce ih B izabrati bar 1/|E| • Nakon k|E| koraka komunikacije verovatnoca da ce B pronaci kontraprimer je bar 1−(1− 1|E|)k|E|. • Primetimo da, posto je problem bojenja grafa u 3 boje NP-kompletan svaki problem koji je u NP ima dokaz sa nultim znanjem.