Ecuaciones diferenciales

1. Ecuaciones diferenciales 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden Objetivo El alumno identificará las ecuaciones diferenciales como modelo matemático de fenómenos físicos y resolverá ecuaciones diferenciales de primer orden

2. Ecuaciones diferenciales de coeficientes homogéneos • Ecuación diferencial con coeficientes homogéneos • Funciones homogéneas • Método de solución para ecuaciones • diferenciales con coeficientes homogéneos • Ejercicios • Investigación

3. Ecuaciones diferenciales con coeficientes homogéneos En su forma diferencial, Una ED con coeficientes homogéneos es aquélla cuyos coeficientes son funciones homogéneas del mismo grado: Forma diferencial de una ED M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado

4. En su forma normal, Una ED con coeficientes homogéneos es aquélla en donde f(x, y) es una función homogénea de grado cero: Función homogénea de grado cero

5. ¿Qué es una función homogénea? Se dice que una función f(x, y) es homogénea de grado k si: k es el grado de la función homogénea

6. ¿Son funciones homogéneas? ¿De qué grado? (1) (2) (3) (4) (5) (6) El cociente de dos funciones homogéneas del mismo grado es una función homogénea de grado cero

7. ¿Cómo se resuelve una ED con coeficientes homogéneos? Se transforma la ED de coeficientes homogéneos en una ED de variables separables mediante una sustitución: Se sustituye x = vy y su diferencial, dx = vdy + ydv ó y = ux y su diferencial, dy = udx + xdu La variable a sustituir depende de la función homogénea más sencilla: Si M(x, y) es la más sencilla, se sustituye x = vy, dx = vdy + ydv Si N(x, y) es la más sencilla, se sustituye y = ux, dy = udx + xdu

8. Procedimiento de resolución • Se revisa si la ED es de coeficientes homogéneos • Se decide cuál sustitución emplear • Se efectúa la sustitución y se separan las nuevas variables • Se hacen las integrales y se regresa a las variables originales Si las integrales resultantes son muy difíciles o imposibles de realizar, probar con una sustitución distinta. Si esto no resulta, buscar posibles errores algebraicos durante la sustitución

9. Resolver: (1) (2) (3) (4)

10. Resuelva: Mediante la sustitución

11. Ejercicios de casa: 1 2

12. ¿Cómo se resuelve la ED? ¿Es de coeficientes homogéneos?