Bernard ROY&Jean-Marc MARTEL Meltem Öztürk

1. Analyse de la signifiance de diverses procédures d’agrégation multicritère (PAM) à partir de la théorie du mesurage Bernard ROY&Jean-Marc MARTEL Meltem Öztürk

2. Plan de la présentation • Théorie du mesurage • Typologie des échelles de mesure • Notion de signifiance • Illustration à partir de la somme pondérée • TOPSIS (PAMC de type critère unique de synthèse) • Présentation de la méthode ‘TOPSIS’ • Illustration du concept de signifiance • Application : ‘Problématique du choix du lieu de location d’une office bancaire’

3. Théorie du mesurage • Campbell (1938): ‘The assignement of numerals to represent proporties of material systems other than number, in virtue of the laws governing these proporties.’ • Russel (1938): ‘Measurement of magnitude is, in its most general sense, any method by which a unique and reciprocal correspondance is established between all or some of the magnetudes of a kind and all or some the numbers, integral, rational, or real as the case may be.’ • Stevens(1951): ‘Measurement is the assignement of the numerals to objects of events according to rules.’

4. Exemple: Masse ‘a plus lourd que b’ f(a) > f(b) ‘concaténation’: f(ab)=f(a)+f(b) M1 (A, ,  ) M2 (R, +, >)

5. Questions????? • Système relationnel numérique représente-t-il bien le système relationnel empirique? • Cette représentation est-elle unique? • Traitements numériques autorisés? Les énoncés issus de ces traitements restent-ils les mêmes s’ils sont effectués avec une autre représentation numérique admissible?

6. Krantz, Luce, Suppes, TverskyFoundations of measurement (1958)volume 1 Additive and polynomial represantions

7. Représentation:Axiomes et Théorèmes (Roberts 1979) ex:Aide à la décision -Transitivité -Asymétrie -Transitivité négative (aPb) et non (bPc)  non (aPc) ou Théorème de Cantor

8. Unicité: (Barzilai 1998) Si f:homomorphisme de M1 vers M2 alors tout homomorphisme h de M1 à M2 peut s’écrire sous forme: h= (f) Échelle régulière: (Roberts 1979,1994) S’il existe 2 homomorphismes f et h alors il existe une transformation admissible  tel que h= (f) f(a)=f(b)  h(a)=h(b)

9. Echelles: • Ensemble de nombres susceptibles pour coder une information relative aux objets de A • Un mesurage appliquant A dans cet ensemble de nombres Caractéristiques: • Caractéristique d’ordre • Caractéristique de distance • Caractéristique d’origine

11. Signifiance Exemple :  A={ a, b,c ,d } f(a)= card({y  A / a P y}) a b f( a )=3 f( b )=1 f( c )=0 f( d )=1 c d f( a )-f( b ) = 2( f( d )-f( c )) “le degré de préférence de a par rapport à b est deux fois plus grand que le degré de préférence de d par rapport à c” h( a )=10 h( b )=8 h( c )=0 h( d )=8 Proposition pas signifiante

12. Définitions • « une proposition fondée sur un calcule utilisant les échelons d’une échelle est signifiante si sa véracité ou sa fausseté demeure inchangée lorsqu’on remplace une échelle par une autre représentant toutes les deux la même information » Roberts (1979) • « A numerical statement is meaningful if and only if its truth or falsity is constant under admissible scale transformation of any of its numerical assignment, that is, any of its numerical function expressing the results of measurement » Suppes & Zinnes (1963)

13. Signifiance & Somme Pondérée a P b   pi gi(a) >  pi gi(b) (*) a: action potentielle gi: échelle de mesure pi: poids de point de vue i But: Etudier les conditions dans les quelles la proposition (*) est vraie lorsqu’on substitue aux échelles gi des échelles équivalentes Remarque: si une procédure n’est pas signifiante pour un niveau de mesure donné, elle ne le sera pas pour un niveau de mesure plus bas.

14. Echelle Absolue: (*) est signifiante • Echelle Ratio: ?pi gi(a) >pi gi(b) pi i gi(a)> pi i gi(b) exemple: g1 g2 g3 a 4 2 5  pi gi(a) = 19 b 1 4 3  pi gi(b) = 17 pi 2 3 1  pi i gi(a) = 25 i 1 2 1  pi i gi(b) = 29 i -2 -1 3

15. Remarque: Coefficients de pondération dépendent des échelles de mesure associées aux critères exemple: 2 critères, coût et délai,coût en millier de francs, en millions de francs etc.. La somme pondérée est signifiante sous réserve de transformation des coefficients de pondération de manière appropriée pi pi/i

16. Echelle d’Intervalle (pi/i) (i gi(a)+i)> (pi/i) (i gi(b)+i) • [pi gi(a)+ (pi i/i )]> [pi gi(b)+ (pi i/i )] • pi gi(a)> pi gi(b) Exemple: (pi/i) (i gi(a)+i)=33 (pi/i) (i gi(b)+i)=29

17. Exemple: g1 g2 g3 a 4 2 5 b 1 4 3 pi 2 3 1 pi gi(a) = 19  pi gi(b) = 17 g1 g2 g3 a 3 1 4 b 2 5 2 pi 2 3 1 pi gi(a) = 13  pi gi(b) = 21 Echelle ordinale: La proposition (*) n’est pas signifiante

18. g1 g2 g3 a 4 2 5 b 1 4 3 Va 1 0 1 Vb 0 1 0 pi 2 3 1  pi Vi(a) =3  pi Vi(b) =3 g1 g2 g3 a 3 1 4 b 2 5 2 Va 1 0 1 Vb 0 1 0 pi 2 3 1  pi Vi(a) =3  pi Vi(b) =3 Remarque: si à la place des performances,on utilise les relations que ces performances expriment relativement à chaque critère sur l’ensemble des actions on peut avoir la signifianceVi(a,b)=1 si a Pi b et Vi(a,b)=0 si non(a Pi b) pi Vi(a) > pi Vi(b)

19. TOPSISPaul Yoon & Ching-Lai Hwang(1981) Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution (multiple attribute decision making)

20. Idée Principale de TOPSIS Choisir l’action ayant • la plus petite distance à l’action dite  « idéale » (positive-ideal solution) • la plus grande distance à l’action dite « anti-idéale » (negative-ideal solution »

21. Idéale et Anti-IdéaleSolutions • Idéale Solution: A* = { g1*, …, gj*,…, gn* } avec gj* la meilleure valeur pour le jèmecritère parmis toutes les actions • Anti-Idéale Solution A* = {g1*, …, gj*, …, gn* } avec gj* la plus mauvaise valeur pour le jèmecritère parmis toutes les actions

22. Algorithme de TOPSIS PAS 1 : Calcule des préférences normalisés (normalized ratings) i = 1,…, m j = 1,…, n

23. Algorithme de TOPSIS PAS 2 : Calcule des préférences normalisés avec des poids associés aux critères (weighted normalized ratings) Vj(xi) = wj rj(xi) i = 1,…, m j = 1,…, n

24. Algorithme de TOPSIS PAS 3 : Identification des solutions idéales et anti-idéales A* = { v1*, …, vj*,…, vn* } = {( maxi vj(xi)/ jJ1), (mini vj(xi)/ jJ2)} A* = {v1*, …, vj*, …, vn* } = {( mini vj(xi)/ jJ1), (maxi vj(xi)/ jJ2)} J1 : ensemble des critères de bénéfice J2 : ensemble des critères de coût

25. Algorithme de TOPSIS PAS 4 : Calcule des distances (Separation measures)

26. Algorithme de TOPSIS PAS 5 : Calcule de l’index de similarité à la solution idéale c(xi) = d*(xi)/ (d*(xi)+d*(xi)) PAS 6 : Ordre de preference • Choisir l’action ayant le plus grand index de similarité (problématique de choix) • Ranger les action par ordre décroissant des index de similarité (problématique de rangement)

27. Calcul des distances

28. Attention!!! d* et d* font intervenir toutes les performances des actions selon le critère Cj  une variation quelconque de la performance d’une action selon ce critère Cj modifie la valeur de d* et d* par suite la valeur finale c(xj) Solution Une variation concomitante (dans les mêmes proposition) des coefficients wj peut annuler cet impact

29. Exemple 1: variation de performance • C1 avec w1= 3 xi a b c d g1(xi) 1 3 5 7 g1(xi)2 = 84 W12/ g1(xi)2 = 32/84 • C1’ avec w1’= ? xi a b c d g1’(xi) 1 3 8 7 g1(xi)2 = 123 W1’2/ g1’(xi)2 = W1’2/123 = 32/84  W1’2 = (9*123)/84 = 3,63

30. Attention !!! Si la modification de performance entraîne une modification de A* et/ou A* modification de d* et/ou d* pour toutes les actions  Problème grave de robustesse Solution  Solutions idéales et anti-idéales: solutions fictives

31. Signifiance / Echelles de ratiogi(x) gi(x)

32. Exemple 2: signifiance échelle de ratio • C1 avec w1= 3 xi a b c d g1(xi) 1 3 5 7 g1(xi)2 = 84 d*(b) = [(32/84) (7-3)2]1/2 = 1, 310 d*(b) = [(32/84) (3-1)2]1/2= 0,655 c(b) = d*(b)/ (d*(b)+d*(b)) = 0,333 • C1 avec w1= 3  = 2 xi a b c d g1(xi) 2 6 10 14  g1(xi)2 = 336 d*(b) = [(32/336) (14-6)2]1/2 = 1, 310 d*(b) = [(32/336) (6-2)2]1/2= 0,655 c(b) = d*(b)/ (d*(b)+d*(b)) = 0,333

33. Signifiance / Echelles d’intervallegi(x)+ gi(x)

34. Exemple 3: signifiance échelle d’intervalle • C1 avec w1= 3 xi a b c d g1(xi) 1 3 5 7 g1(xi)2 = 84 d*(b) = [(32/84) (7-3)2]1/2 = 1, 310 d*(b) = [(32/84) (3-1)2]1/2= 0,655 c(b) = d*(b)/ (d*(b)+d*(b)) = 0,333 • C1 avec w1= 3 xi a b c d g1(xi) 5 11 17 23 g1(xi)2 = 964 d*(b) = [(32/964) (11-23)2]1/2 =1,159 d*(b) = [(32/964) (11-5)2]1/2= 0,580 c(b) = d*(b)/ (d*(b)+d*(b)) = 0,333

35. Exemple 3: signifiance échelle d’intervalle • C1 avec w1= 3 C1’ avec w1= ? 32/84 w’2.32/964 w1’2 = 3,388

36. Critiques • Simple compréhension de l’idée et l’algorithme de la méthode • Application assez facile • Semi-compensatoire • Pas de veto • Problèmes dus à la normalisation: • Differents mesure d’unité, et des fonctions de performance (distance entre 2 performances sur une échelle n’est pas la même sur une autre) • une variation quelconque de la performance d’une action selon un critère Cj modifie la valeur de d* et d* par suite la valeur finale c(xj) • Si la modification de performance entraîne une modification de A* et/ou A* modification de d*et/ou d* pour toutes les actions  Problème grave de robustesse

37. Application : location d’un établissement bancaire • Actions : 10 villes de la Turquie • Critères: • 4 Critères 1.      Les critères démographiques 2.      Les critères macroéconomiques 3.      Le potentiel de commerce et de l’industrie 4.      Les dépenses de localisation • des sous-critères associés (tableaux de capacités et tableaux de capacités normalisées)

38. Application : location d’un établissement bancaire • Poids flous des critères et des sous-critères associés • Matrice floue de performance • Maximum flou et minimum flou • Matrice de performance floue singleton

39. fij a1j b1j a2j c1j b2j c2j aij bij cij anj bnj cnj Figure 5-1minimum et maximum flou Application : location d’un établissement bancaire Ul(i) Uh(i)

40. Application : location d’un établissement bancaire • Solutions idéales et anti-idéales A* = (0.8585, 0.5640, 0.6655, 0.7810) A* = (0.7360, 0.4710, 0.5205, 0.6925) • Distances de Hamming • Index de similarité