CAPITULO 8 Flexão

1. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais CAPITULO 8 Flexão

2. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Sumário: Flexão • Esforços internos de flexão e cortantes • Flexão pura • Equação matemática para cálculo das tensões normais • Distribuição das tensões normais nos corpos solicitados • Superfície neutra e linha neutra • Carregamento axial excêntrico • Flexão simétrica e não simétrica • Momentos de Inércia e eixos principais de Inércia Competências:Determinar o diagrama de esforços internos de flexão e cortantes. Relacionar as tensões com as deformações. Relacionar as tensões normais com os esforços de flexão e propriedades geométricas dos corpos deformáveis. Calcular as tensões relacionadas com a flexão pura, carregamento axial excêntrico, flexão simétrica e assimétrica para diferentes geometrias. Perceber o significado físico de linha neutra e superfície neutra. Determinar a localização da linha neutra. Desenhar a distribuição dos vectores tensão na secção transversal do corpo solicitado.

3. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Diagramas de Esforços Internos Cortantes e de Flexão • A determinação das tensões normais e tangenciais máximas requer a identificação dos esforços internos cortantes e de flexão máximos. • Os esforços internos cortantes e de flexão num ponto podem ser determinados seccionando a viga pela secção transversal correspondente e realizando uma análise de equilíbrio estático na porção da viga à esquerda ou à direita desse ponto, tal como ilustrado nas figuras (a) e (b) (Método das Secções). • Convenção de sinais positivos para os esforços cortantes V e V’ e esforços de flexão M e M’:

4. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Exercício Resolvido 1 • Método das Secções: • Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios. Para a viga de madeira e para o carregamento indicado, desenhe os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão. • Seccione a viga junto aos apoios e pontos de aplicação de cargas. Aplique as equações de equilíbrio estático nos diagramas de corpo livre assim obtidos, de modo a determinar os esforços internos cortantes e de flexão. • Represente graficamente a distribuição dos esforços internos cortantes e de flexão em função do comprimento da viga.

5. Resistência dos Materiais • Análise de equilíbrio estático: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial • Cálculo das reacções nos apoios:

6. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial • Representação gráfica dos esforços internos cortantes e de flexão:

7. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Relação entre Carregamento, Esforço Cortante e Esforço de Flexão • Relação entre carregamento e esforço cortante: • Relação entre esforço cortante e esforço de flexão:

8. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Exercício Resolvido 2 • Método Gráfico: • Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios. Para a viga e para o carregamento indicado, represente os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão. • Aplique a relação entre carregamento e esforço cortante para representar o diagrama de esforços internos cortantes. • Aplique a relação entre esforço cortante e esforço de flexão para representar o diagrama de esforços internos de flexão.

9. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial • Cálculo das reacções nos apoios: • Representação gráfica do diagrama de esforços internos cortantes:

10. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial • Representação gráfica do diagrama de esforços internos de flexão:

11. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Exercício de Esforços Internos 1 Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos: a) método das secções; b) método gráfico.

12. Resistência dos Materiais 2 kN/m 8 kN 12 kN.m 1 m 1 m 1 m 2 m 2 m DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Exercício de Esforços Internos 2 Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos: a) método das secções; b) método gráfico.

13. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Flexão Pura Flexão Pura: Membros prismáticos sujeitos a dois momentos, iguais e de sentidos opostos, actuando no mesmo plano longitudinal.

14. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Outros Tipos de Carregamento • Carregamento excêntrico: Um carregamento axial excêntrico à secção considerada, origina esforços internos equivalentes a uma força normal e a um momento flector. • Carregamento transversal: Uma carga concentrada na extremidade livre A origina esforços internos equivalentes a uma força igual, e de sentido oposto, e a um momento flector. • Princípio da Sobreposição: Combinar as tensões originadas pela carga com as tensões provocadas pela flexão pura.

15. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Análise das Tensões na Flexão Pura • O momento flector M consiste em duas forças iguais e de sentidos opostos. • A soma das componentes dessas forças em qualquer direcção é igual a zero. • O momento flector, em relação a qualquer eixo perpendicular ao seu plano, é sempre o mesmo. • O momento flector, em relação a qualquer eixo contido no seu plano, é igual a zero.

16. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Deformações na Flexão Pura • Barra prismática que contém um plano de simetria, em flexão pura: • a barra permanece simétrica em relação ao plano; • flecte uniformemente formando um arco de circunferência; • qualquer secção plana perpendicular ao eixo da barra permanece plana; • a linha AB diminui de comprimento e a linha A’B’ aumenta; • deve existir uma superfície neutra, paralela às faces superior e inferior, para a qual o comprimento não varie; • tensões e deformações são negativas (compressão) acima da superfície neutra, e positivas (tracção) abaixo dela.

17. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Deformações na Flexão Pura Considere uma barra prismática de comprimento L. Depois da deformação, o comprimento da superfície neutra permanece igual a L. Nas outras secções,

18. Resistência dos Materiais • A partir da estática, A linha neutra passa pelo centro geométrico da secção. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Tensões e Deformações no Regime Elástico • Para um material homogéneo, • Do equilíbrio estático,

19. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Tensões e Deformações no Regime Elástico

20. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Propriedades dos Perfis

21. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Deformações numa Secção Transversal • A deformação da barra submetida à flexão é medida pela curvatura da superfície neutra.

22. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Exercício Resolvido 3 Uma peça de máquina de ferro fundido fica submetida à acção do momento flector M = 3 kN.m. Sabendo-se que E = 165 GPa e desprezando o efeito da curvatura das arestas do perfil, determinar: (a) as máximas tensões de tracção e compressão; (b) o raio da curvatura.

23. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Calcular a localização do centro geométrico da secção e o momento de inércia.

24. Resistência dos Materiais • Calcular as máximas tensões de tracção e compressão. • Calcular a curvatura. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

25. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Carregamento Axial Excêntrico num Plano de Simetria N • Os resultados só são válidos quando as condições de aplicação do princípio da sobreposição e de Saint-Venant forem satisfeitas. • Carregamento excêntrico,

26. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Exercício Resolvido 4 A peça mostrada é feita de ferro fundido e tem tensões admissíveis de 30 MPa à tracção e de 120 MPa à compressão. Determinar a maior força P que pode ser aplicada à peça. Do exercício resolvido 3,

27. Resistência dos Materiais • Sobreposição. • Máxima força que pode ser aplicada. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial • Força e momento flector aplicados em C.

28. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Flexão Fora do Plano de Simetria • Permanecem simétricas e flectem no plano de simetria. • A linha neutra da secção transversal coincide com o eixo do momento flector. • Não podemos supor que a barra vá flectir no plano de simetria. • Em geral, a linha neutra da secção não coincide com eixo do momento flector.

29. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Flexão Fora do Plano de Simetria • linha neutra passa pelo centro geométrico. • define a distribuição de tensões.

30. Resistência dos Materiais • Decompor o vector M em dois vectores, segundo z e y, • Sobrepor, • Obtém-se, DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Flexão Fora do Plano de Simetria • Aplicação do princípio da sobreposição.

31. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Exercício Resolvido 5 • Um momento flector de 1600 lb.in é aplicado a uma viga de madeira de secção rectangular, num plano que forma um ângulo de 30º com a vertical. Determinar: • A tensão máxima na viga; • O ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.

32. Resistência dos Materiais • Determinar a tensão máxima na viga. • A maior tensão de tracção devida ao carregamento combinado ocorre em A. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

33. Resistência dos Materiais • Determinar o ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

34. Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Caso Geral de Carga Excêntrica • A força excêntrica é equivalente a um sistema constituído por uma força centrada e dois momentos flectores. • Aplicando o princípio da sobreposição, • Se x = 0, obtém-se a equação de uma recta, que representa a linha neutra da secção.