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Matemáticas II

Matemáticas II. Capitulo I Funciones Capitulo II Integrales Capitulo III Ecuaciones diferenciales Capitulo IV Método para resolver una ecuación diferencial. Capitulo I. Funciones 1.1 Exponenciales y Logarítmicas 1.2 Diferenciación de una Función Exponencial

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Matemáticas II

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Presentation Transcript

  1. Matemáticas II Capitulo I Funciones Capitulo II Integrales Capitulo III Ecuaciones diferenciales Capitulo IV Método para resolver una ecuación diferencial

  2. Capitulo I Funciones 1.1Exponenciales y Logarítmicas 1.2Diferenciación de una Función Exponencial 1.3Diferenciación de una Función Logarítmica 1.3.1 Diferenciación Logarítmica

  3. Capitulo II Integrales 2.1Integral Indefinida 2.2Integración de Funciones Trigonométricas 2.3Teorema Fundamental del Cálculo 2.4Método de Sustitución 2.4.1Sustitución para integrales definidas 2.5Integración por partes

  4. Capitulo III Ecuaciones Diferenciales 3.1Introducción 3.2Solución de una Ecuación Diferencial 3.2.1Comprobación de la solución de una ED 3.3Obtención de una Ecuación Diferencial a partir de la solución general.

  5. Capitulo IV Métodos Para Resolver una ED 4.1Introducción 4.1.1Objetivo de los métodos para la obtención de la solución general. 4.2Ecuaciones de Variables Separables 4.3Ecuaciones Homogéneas 4.4Ecuaciones Exactas

  6. Bibliografía Cálculo con Geometría Analítica R. E. Larson y R. P. Hostetler Mc.Graw-Hill, 2000 Cálculo con Geometría L. Leiithold Harla, 1992 Cálculo, Concepto y Contextos J. Stewart Internacional Thompson, 1999

  7. Bibliografía Ecuaciones Diferenciales E. D. Rainville Nueva Editorial Interamericana, 1987 Cálculo FrnakesAyresJr., ElliotMendelson Mc.Graw-Hill, 2001 Matemáticas Superiores para Ingeniería C. RayWyle Mc.Graw-Hill, 1994

  8. Capítulo I Funciones

  9. Funciones Definición La función denota una regla que asigna a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento, denotados por f(x) del conjunto B. fFunción A y BConjuntos x f(x) A B a f(a)

  10. Funciones • Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales: • Dominio es el conjunto A de la función, denotado por D(f). • Rango es el conjunto de todos los valores posiblesf(x) conforme varía en todo el dominio A. • El número f(x) es el valor de f en x.

  11. Funciones y y=f(x) Rango x Dominio

  12. Funciones Ejemplo Encuentre el dominio y rango de cada función: f(x)=2x-1 g(x)=x2

  13. Funciones Solución La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la ecuación de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La expresión esta definida por todos los números reales, de manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R. 1 -1 1/2 1 -1

  14. Funciones Solución La ecuación de la gráfica g(x)=x2, la cual representa una parábola. La función g esta definida para cualquier número real, así D(g)=R y su rango es positivo. 4 3 2 1 2 -2 -1 1

  15. I.1 Exponencial y Logarítmica Funciones Potencia Funciones donde la base es una variable y la potencia es una constante, tiene la siguiente forma: Ejemplos:

  16. I.1 Exponencial y Logarítmica Función Exponencial Función donde la base es una constante y la potencia es una variable, es la función exponencial de base a, tiene la siguiente forma: Ejemplos:

  17. I.1 Exponencial y Logarítmica Propiedades de la Función Exponencial Siendo: 4. 5. 6.

  18. I.1 Exponencial y Logarítmica En cálculo se decide trabajar como base el número irracional e que tiene un valor aproximado de 2.718281828. Definición La función exponencial para cualquier x єR se define como: Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función exponencial de base a.

  19. I.1 Exponencial y Logarítmica Gráfica de la Función Exponencial “base e” 4 3 2 1 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5

  20. I.1 Exponencial y Logarítmica Función Logarítmica Para a>0 y a1 y x>0 denotamos la función logaritmo de base a por logax, y se define como: Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse la base a para dar x.

  21. I.1 Exponencial y Logarítmica Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

  22. I.1 Exponencial y Logarítmica Propiedades de la Función Logarítmica Siendo: a, b  1 y x, y >0se tienen las siguientes características: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

  23. I.1 Exponencial y Logarítmica Logaritmo Natural Es la función para un x>0 se define como la función logaritmo cuya base es el número e y se denota por: Esta función goza de las mismas características que la función logarítmica de base a, dados x, y > 0.

  24. I.1 Exponencial y Logarítmica Función de Logaritmo Natural 1 0.5 1.5 2 -1 -2 -3 -4

  25. I.1 Exponencial y Logarítmica • Propiedades como Funciones Inversas • Si a > 0 y a  1 se tiene: • Si a = e se tiene:

  26. I.1 Exponencial y Logarítmica Ejemplo: Desarrolla las siguientes expresiones:

  27. I.1 Exponencial y Logarítmica Solución: 1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:

  28. I.1 Exponencial y Logarítmica Solución: 2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:

  29. I.1 Exponencial y Logarítmica Solución: 3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:

  30. I.1 Exponencial y Logarítmica Solución: 4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:

  31. I.1 Exponencial y Logarítmica Ejercicios para Resolver en Clase: 1. Escribir cada ecuación logarítmica mediante exponencial y viceversa: a) ln8.4 = 2.128 b) 491/2 = 7 2. Desarrolla cada una de las siguientes ecuaciones: a) log2x2y b)ln(z-1)2

  32. I.1 Exponencial y Logarítmica Ejercicios de Tarea: 1. Desarrolla la siguiente expresión: 2. Despejar x de las siguientes expresión: a)b) c)

  33. I.2 Diferenciación de la Función Exponencial Funciones de Base Arbitraria Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ax es: y para la derivada de au es:

  34. I.2 Diferenciación de la Función Exponencial • Ejemplo: • 1. Derivar las siguientes funciones: • y=2x (b) y=2senx • Solución: • (a) (b)

  35. I.2 Diferenciación de la Función Exponencial Funciones de Base e Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ex es: y para la derivada de eu es:

  36. I.2 Diferenciación de la Función Exponencial Ejercicios para Realizar en Clase: 1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=e3x+1 b) y=(ex+1)2 c) y=e3x d) y=etan3x

  37. I.2 Diferenciación de la Función Exponencial Ejercicios de Tarea: 1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=a5x-1 b) y=x2ex c) y=e5x

  38. I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica Derivación con Base Arbitraria: Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de logax es: y la derivada de logau es:

  39. I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica • Ejemplo: • Derivar las siguientes funciones: • y=log10cosx (b) y=log5(2+senx) • Solución: • (a) (b)

  40. I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica Derivación con Base e Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de lnx es: y la derivada de lnu es:

  41. I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica • Ejemplo: • Derivar las siguientes funciones: • (a) (b) • Solución: • (a) (b)

  42. I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica Ejercicios para Resolver en Clase: 1.Derivar las siguientes funciones: a) b) c)

  43. I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica Ejercicios de Tarea: 1.Derivar las siguientes funciones: a) b)

  44. I.3.1 Diferenciación Logarítmica El cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos. Método de la Derivación Logarítmica: 1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos para simplificar. 2. Derive con respecto a x. 3. Resuelva la ecuación resultante para y’.

  45. I.3.1 Diferenciación Logarítmica Ejemplo: 1. Derivar las siguiente ecuación: Solución:

  46. I.3.1 Diferenciación Logarítmica Ejercicios para Resolver en Clases: 1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones: a)b)

  47. I.3.1 Diferenciación Logarítmica Ejercicios de Tarea: 1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones: a)b)

  48. Capítulo II Integrales

  49. ii.1 Integral Indefinida Definición Una función F se dice que es una primitiva o antiderivada de fen un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I. Ejemplo Se necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que: Por lo tanto F es una primitiva de f.

  50. ii.1 Integral Indefinida Familia de Primitivas: Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma: Ejemplo Sabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3así que las siguientes funciones: G1(x)=x4+5G2(x)=x4-123 también son primitivas de f(x). Es la familia de primitivas de f(x)

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