Epäsymmetriset pelit II: luokittelu ja esimerkkejä

1. Epäsymmetriset pelit II:luokittelu ja esimerkkejä Jouni Pousi jouni.pousi@tkk.fi 5.11.2008

2. Sisältö • Epäsymmetristen pelien luokittelu • Yhden epäsymmetrian pelit • Esimerkkejä yhden epäsymmetrian peleistä • Useamman epäsymmetrian pelit • Esimerkkejä useamman epäsymmetrian peleistä • Yhteenveto

3. Epäsymmetristen pelien luokittelu 1/2 • Yksi epäsymmetria, molempien pelaajien tiedossa • Epäsymmetriä ei korreloi palkkioiden tai resurssivarannon (Resource Holding Power, RHP) kanssa • Kappale 9 • Palkkio ja/tai resurssivarannot erilaiset eri rooleissa • Kappale 9 • Strategiajoukot, palkkiot ja resurssivarannot eroavat eri rooleissa • Kappale 10 • Yksi epäsymmetria, pelaaja tietää vain oman roolinsa • Palkkiot satunnaisia • Kappale 3 (viivytystaistelu), liite G

4. Epäsymmetristen pelien luokittelu 2/2 • Luokat 3 ja 4 tämän esityksen aiheena • Yksi epäsymmetria, epäsymmetriaan liittyvä informaatio epävarmaa • Esim. koko tai voimakkuus • Peliin liittyy arviontivaihe • Useampi epäsymmetria • Esim. omistajuus ja kokoero

5. Seltenin teoreema • Pelillä jossa on molempien tiedossa oleva epäsymmetria ei voi olla ESS:ää joka on sekastrategia (Selten, 1980) • Esim. eläin tietää olevansa suurempi tai vahvempi • Seltenin teoreeman avulla voidaan hakea epäsymmetristen pelien ESS • ”Neutraalisti stabiilit” sekastrategiat kuitenkin mahdollisia • Sekastrategia ”yhtä hyvä” kuin ESS • Edellisen esityksen esimerkki, Maynard Smith s.105

6. Seltenin teoreeman todistus 1/2 • Oletetaan peli, jossa: • Toiminnot A ja B • Roolit 1 ja 2 • Määritellään sekastrategia I: • A todennäköisyydellä p • B todennäköisyydellä 1-p • Määritellään strategia J: • Joko puhdas- tai sekastrategia

7. Seltenin teoreeman todistus 2/2 • Oletetaan sekastrategia-ESS • Rooli 1: pelaa I • Rooli 2: pelaa J • Bishop-Cannings: E(I, J) = E(A, J) = E(B, J) • Jos I ESS, oltava voimassa • E(I, A) > E(A, A) • E(I, B) > E(B, B) • I vastaan A tai B ei mahdollista, koska I, A, B roolissa 1! • ESS ei voi olla sekastrategia

8. Arviointi epäsymmetrisessä pelissä • Muodostetaan epäsymmetrian sisältävä pelimalli • Epäsymmetria: kokoero • Oletukset: • Molemmat osapuolet tunnistavat kokoeron • Kokoero ennustaa eskaloituneen kamppailun lopputuloksen täydellisesti • Lisätään haukka-kyyhky peliin ”arvioija” (A)-strategia • Jos suurempi, pelaa haukka • Jos pienempi, pelaa kyyhky • Seltenin teoreemasta: • Ainoa ESS A, jos V>0, C>0

9. Haukka-kyyhky-arvioija (HKA) pelin laajennus • Aikaisempi tulos ei uskottava, kamppailua tapahtuu luonnossa • Laajennetaan peliä lisäoletuksilla: • Arvionti ei ole ilmaista • Molemmille arvioijille kustannus c < C • Kokoero ei ennusta eskaloituneen kamppailun lopputulosta täydellisesti • Suurempi eläin voittaa todennäköisyydellä x • Eläimen täytyy tietää olevansa suurempi, muutoin Seltenin teoreema ei voimassa!

10. Laajennettu haukka-kyyhky-arvioija Huomaa Maynard Smithin notaatio: rivipelaajan palkkiot alempana

11. HKA-pelin ESS:t • ESS:t Seltenin teoreemaa hyödyntäen • A on ESS jos • c < V/2 • Cx > V(1-x) • H on ESS jos • c < (V-C)/2 • Cx < V(1-x) • Arviointi on järkevää, jos • Arvionti on halpaa (pieni c) • Eskalointi on kallista (suuri C) • Koko ennustaa eskaloituneen kamppailun voiton (x ≈ 1)

12. Epävarmuus epäsymmetrian arvioinnissa • Entä jos koon arviointiin liittyy epävarmuutta? • Tällöin myös arvioija-populaatiossa eskaloituneita konflikteja • Maynard Smith ja Parker (1976): ESS muotoa • H jos arvioi olevansa suurempi • D jos arvioi olevansa pienempi • Käytännön merkitys • Vaikka populaatio arvioija-ESS:ssä, voidaan havaita eskaloituneita konflikteja

13. Arviontistrategia luonnossa • Minkälaista käyttäytymistä tulisi näkyä luonnossa, jos arviointistrategia käytössä? • Eläimet havaitsevat jonkin ominaisuuden toisissaan, joka ratkaisee pelin ilman eskaloitunutta kamppailua • Pelissä on aloitusvaihe, jonka aikana ominaisuus havaitaan • Ominaisuuden valehteleminen vaikeaa • Ominaisuus korreloi taistelumenestyksen kanssa

14. Ominaisuuksien esittely • Alaskanlampaiden (ovis dalli) sarvikoko vaihetelee suuresti(Geist 1966) • Sarvet esittellään kilpailutilanteissa • Oliivipaviaanien (papio anubis) taistelukyky riippuu kulmahampaiden kunnosta(Packer 1977a) • Kilpailutilanteessa kulmahampaat esittellään haukottelemalla • Linnuilla ja nisäkkäillä matalat äänet viittaavat aggressiivisuuteen, korkeat pelkoon(Morton 1977, Collias 1960) • Matalat äänet viittaavat suureen kokoon • Todistusaineistoa oletusten voimassaolosta?

15. Saksanhirvien parittelu • Saksanhirvet (cervus elaphus) parittelevat syys-lokakuun aikana (Clutton-Brock ja Albon 1979) • Naarashirvet (hind) keskittyvät tietylle alueelle, uroshirvet (stag) seuraavat • Uroshirvet kamppailevat naarashirviryhmien eli ”haaremien” hallinasta • 7-11 vuotias uroshirvi voi pitää haaremia 2-4 viikkoa • Yhteenotto n. 5 päivän välein • Taistelu kallista • 6% uroshirvistä loukkaantuu vakavasti • 25% loukkaantuu vakavasti elinaikanaan • Yhteenoton aikana haaremista saatetaan varastaa naarashirviä • C mahdollisesti suuri

16. Saksanhirvien parittelu:ominaisuuksien esittely - mylvimiskilpailu • Uroshirvet mylvivät vuorotellen kilpailijalleen • Mylvimiskilpailun jälkeen toinen uroshirvistä saattaa vetäytyä • Onnistuminen taistelussa korreloi voimakkaasti (+0.80) mylvimistahdin kanssa • Taistelu yleisintä hirvillä joiden mylvimistahti yhtä suuri • Selitys: mylvimiskyky sekä taistelukyky heikkoja • Vanhoilla uroshirvillä (11 vuotta) • Pitkään haaremia pitäneillä uroshirvillä

17. Saksanhirvien parittelu:ominaisuuksien esittely – rinnakkain kävely • Useimpia taisteluita edeltää rinnakkain kävely • Uroshirvet kävelevät vierekkäin muutaman metrin päässä toisistaan • Yleisintä uroshirvillä joiden mylvimistahti on yhtä suuri • Rinnakkain kävelyn jälkeen toinen uroshirvistä saattaa vetäytyä • Pitkä rinnakkainkävely • Taistelu epätodennäköistä • Syntyessään taistelu pitkä • Selitys: jos taistelukyvyssä suurta eroa, se havaitaan pitkän rinnakkain kävelyn aikana

18. Saksanhirvien parittelu:50 yhteenoton tulokset Taistelu(8) Rinnakkain kävely(17) Vetäytyminen(9) Mylvimiskilpailu(33) Vetäytyminen(16) Taistelu(5) Lähestyminen(50) Rinnakkainkävely(7) Vetäytyminen(2) Ei mylvimiskilpailua(17) Taistelu(1) Ei rinnakkainkävelyä(10) Vetäytyminen(9)

19. Saksanhirvien parittelu:50 yhteenoton tulokset Taistelu(8) Rinnakkain kävely(17) Vetäytyminen(9) Mylvimiskilpailu(33) Vetäytyminen(16) Taistelu(5) Lähestyminen(50) Rinnakkainkävely(7) Vetäytyminen(2) Ei mylvimiskilpailua(17) Taistelu(1) 14 taistelua 50 kohtaamisessa Ei rinnakkainkävelyä(10) Vetäytyminen(9)

20. Saksanhirvien parittelu:50 yhteenoton tulokset Taistelu(8) Rinnakkain kävely(17) Vetäytyminen(9) Mylvimiskilpailu(33) Vetäytyminen(16) Taistelu(5) Lähestyminen(50) Rinnakkainkävely(7) Vetäytyminen(2) Ei mylvimiskilpailua(17) Taistelu(1) Vain 1 taistelu ilman arviointia! Ei rinnakkainkävelyä(10) Vetäytyminen(9)

21. Rupikonnien parittelu • Naaraat saapuvat lammikoihin kutemaan1-2 viikon aikana keväällä (Davies ja Halliday 1978) • Koiras tarttuu naaraan selkään, ja saattaa pysyä siellä useita päiviä • Ylimäärä koiraita, paljon kilpailua • Kilpailija yrittää irrottaa tarrautuneen koiraan painimalla

22. Rupikonnien parittelu:ominaisuuksien esittely - kurnutus • Painimisessa koko tärkeä, mutta pienempi tarrautuja voi pärjätä • Suurempi voitti pienemmän tarrautuneen 10 tapauksessa 23:sta • Pienempi voitti suuremman tarrautuneen 0 tapauksessa 18:sta • Tarrautunut koiras kurnuttaa ennen taistelun alkua • Kurnutuksen syvyys kertoo koosta • Davies ja Halliday tutkivat laboratorio-olosuhteissa • Sekä koko että kurnutuksen syvyys vaikuttavat • Kurnutus on arviontivaihe

23. Yhteenveto yhden epäsymmetrian peleistä • Resurssivarannon arviontia havaittu tapahtuvan eläinten välisessä kilpailussa • Sarvien koko, kulmahampaat, mylvimiskilpailut, rinnakkain kävely, kurnuttaminen resurssivarannon mittareita • Valehteleminen vaikeaaa • Esimerkeissä välitetty signaali • Liitty taistelukykyyn • Vaikuttaa eläinten käyttäytymiseen • Saksanhirvillä ja rupisammakoilla lisäksi omistajuuteeen liittyvä epäsymmetria • Miksei omistajuus ratkaise suoraan? • Haukka-kyyhky-porvari pelin ominaisuudet • B on ESS vain jos V<C • H on ESS vain jos V>C • Saksanhirvillä ja rupisammakoilla luultavasti V>C

24. Useamman epäsymmetrian pelit • Epäsymmetrioita voi olla useampia • Esim. kokoero ja omistajuus • Tällöin sekä porvari- että arvioija-ESS mahdollinen • Todennäköisesti reviiristä, pesästä tai seitistä kilpaileminen • Kamppailun vaihtoehtona on oman löytäminen tai rakentaminen • Epäsymmetrioista toinen voi vaikuttaa palkkioihin enemmän • Ratkaiseeko tärkeämpi epäsymmetria pelin suoraan • Hammerstein (1981): ei välttämättä • Esiintyykö tällaisia pelejä luonnossa?

25. Ravut kilpailevat pesäkolojen hallinnasta(Hyatt ja Salmon, 1978) Pesäkolot parittelupaikkoja Epäsymmetriat: Pesäkolon omistajuus Kokoero Havainnot: Omistajuus vaikuttaa eniten Kokoero vaikuttaa vähemmän C:n arvo vaikea määrittää Saksella voisi murskata vastustajan Taisteluista ei kuitenkaan merkkejä Rinnakkaislaji uca burgersi taistelee(Jones 1980) Taskurapu uca pugilator

26. Suppilohämähäkki agelenopsis aperta

27. Hämähäkkien kilpailu verkoista • Naarashämähäkit kilpailevat verkkojen omistuksesta (Richert 1978, 1979, 1981) • Osalla naaraista ei verkkoja • Aavikkoisella ruohotasangolla 5-35% • Verkkojen arvo vaihtelee • Arvokkaammista verkoista taistellaan enemmän • Vain omistaja tietää verkon arvon • Omistajan paino kasvaa keskimäärin 3.3 mg päivässä • Ei-omistajien paino vähenee keskimäärin 8.6 mg päivässä • Heinäkuussa hämähäkit hukkuvat sateissa • Munat säilyvät • Munien määrä riippuu naaraan painosta

28. Suppilohämähäkkien kilpailun vaiheet • ”Asemointi”; asettautuminen verkkoon, verkon väristely • Väristely välittää tietoa hämähäkin massasta • ”Signalointi”; pitkä viestintä väristämällä ja visuaalisilla esityksillä • ”Uhkailu”; vastustajaa kohti juokseminen ja syöksyminen • ”Kontakti”; äärimmäisillään kilpailijat pyörivät verkossa toisissaan kiinnittyneinä • Kuolemisen tn. 1% • Loukkaantuminen tavallista

29. Havainnot kilpailuista • Lyhimmät kilpailut kun omistaja paljon suurempi kuin tunkeilija • Suurempi hämähäkki voitti 91% havaituista kilpailuista • Jos painoero yli 30%, signalointivaihe voi jäädä väliin • Jos samankokoisilla hämähäkeillä tunkeilijan painoa lisätään punnuksin, tunkeilija voittaa • Pitkä kilpailu ja signalointivaihe jos kokoero alle 10 % • Omistaja yleensä voittaa • Pisimmät kilpailut kun verkko arvokas ja tunkeilija hieman pienempi • Usein myös uhkailu- ja kontaktivaihe

30. Pelimalli suppilohämähäkkien kilpailulle • Muodostetaan pelimalli havaitun käyttäytymisen selittämiseksi • Oletukset • Osuudella p verkoista arvo V, 1-p arvo v, jossa V >> v • Kaksi toimintoa, haukka (H) ja kyyhky (D) • Omistajalla ja tunkeilijalla kokoero • Eskaloituneessa kamppailussa omistaja voittaa tn. x • Eskaloituneen kamppailun palkkiot • Voittajalle V tai v • Häviäjälle -C • Molemmat kilpailijat tietävät arvon x, verkon arvo vain omistajan tiedossa • Tapauksessa (D, D) molemmilla yhtä suuri todennäköisyys saada verkko

31. Pelimallin strategiat • Kiinnitetään strategiat omistajalle ja tunkeilijalle • Omistajan strategiat • Haukka (H): eskaloi aina • Kyyhky (D): älä ikinä eskaloi • Ehdollinen haukka (CH): eskaloi jos verkon arvo V, älä muulloin • Tunkeilijan strategiat: • Haukka (H): eskaloi aina • Kyyhky (D): älä ikinä eskaloi • Ei ehdollista strategiaa, koska verkon arvo vain omistajan tiedossa • Muuttuja x molempien kilpailijoiden tiedossa ennen peliä • Strategiat tulevat olemaan ehdollisia x:n arvolle

32. Pelimatriisi suppilohämähäkkien kilpailulle Tunkeilija Omistaja E = pV + (1-p)v

33. Pelimallin analysointi • Pelimatriisista voidaan löytää parhaat vasteet • Jos tunkeilija valitsee H:n, paras vaste omistajalle on • H jos x > C/(v+C) • CH jos C/(C+V) < x < C/(v+C) • D jos x < C/(V+C) • Maynard Smith: jos tunkeilijan paras vaste omistajan strategiaan on omistajan paras vaste tunkeilijan strategiaan, kyseessä ESS • Vrt. kuitenkin Nashin tasapaino!

34. Pelimallin tulokset • Numeerinen esimerkki • V=2C, v=C/2, p=1/4 • Vasteet x:n funktiona • Kaksi ESS:ää • A-tyyppi • B-tyyppi • Molemmat selittävät havainnot • Pieni kokoero (x ≈ ½), omistajan strategia riippuu verkon arvosta • Ei eskaloitunutta kamppailua jos suuri kokoero • Alue pisteen x = ½ ympäristössä jossa eskaloituneita taisteluita tapahtuu verkon arvon perusteella

35. Lantakärpästen kilpailu • Parittelun jälkeen koiraat jäävät naaraan selkään • Yhteenotot tarrautuneen koiraan ja tunkeilijan välillä • Sigurjónsdóttir ja Parker (1981) tutkivat 200 yhteenottoa • Pituus, lopputulos, koot • Naaraan jäljellä olevat munat naaraan arvon mittari • 195 tapauksessa tunkeilija suurempi • Kokoero havaitaan ennen taistelua • Omistaja voittaa, ellei kokoero suuri • Omistaja voitti 75% taisteluista koosta riippumatta • Omistajalla asemointietu • Strategioiden arviointi vaikeaa • Vain häviäjän valitsema aika tiedossa • Voittaja valmis odottamaan pidempään

36. Havainnot lantakärpästen kilpailusta • Suhteellinen koko tärkeää • Kun omistajan koko kasvaa, tunkeilijan kärsivällisyys lyhenee • Omistajan pitenee? • Tunkeilijan onnistumistodennäköisyys kasvaa jos naaras suurempi • Suuri koko viittaa suureen munien määrään • Tunkeilija valmis odottamaan kauemmin • Omistajan kärsivällisyys korreloi negatiivisesti jo odotetun ajan kanssa • Positiivinen korrelaatio jäljellä olevien munien kanssa • Hyökkääjän kärsivällisyys ei korreloi • Munien määrä vain omistajan tiedossa

37. Yhteenveto • Epäsymmetriat yleisiä eläinten välisissä yhteenotoissa • Havaintoaineisto vahvistaa arvioinnin tärkeyden • Muodostamalla sopiva pelimalli voidaan selittää eläinten käytös • Miten löydetään ESS, jos strategiajoukot erilaiset? • Seuraava esitys?

38. Kotitehtävä • Muodosta pelimalli jollekin luonnossa esiintyvälle epäsymmetriselle yhteenotolle ja ratkaise sen ESS, jos mahdollista/helppoa • Pohdi lähestymistavan, pelimallin ja ESS:n järkevyyttä

39. Sanastoa 1/2 • Escalated conflict: eskaloitunut kamppailu • Canines: kulmahampaat • Olive baboon (papio anubis): oliivipaviaani, anubispaviaani • Stone’s sheep (ovis dalli): alaskanlammas. Kaksi alalajia, ovis dalli dalli (Dall’s sheep) ja ovis dalli stonei (Stone’s sheep) • Red deer (cervus elaphus): saksanhirvi, nykyään isokauris • Stag: uroshirvi tai uroskauris • Hind: naarashirvi tai naaraskauris

40. Sanastoa 2/2 • Roaring contest: mylvimiskilpailu • Parallel walk: rinnakkain kävely • Toad (bufo bufo): rupikonna • Sand fiddler crab (uca pugilator): eräs taskurapu, suomenkielinen nimi ei tiedossa • Burrow: pesäkolo • Funnel web spider: suppilo(verkko)hämähäkki, mattohämähäkki • Desert grass spider (agelenopsis aperta): eräs suppilohämähäkki, suomenkielinen nimi ei tiedossa

41. Lähteet • Kaikki viitteet ja teksti: Maynard Smith (1982). Evolution and the Theory of Games, Cambridge University press. • Kuvamateriaali: Wikimedia Commons