VECTORI I N PLAN

1. VECTORI I N PLAN GRUPA I

2. Dacă un automobil se află în centrul unei intersecţii şi se deplasează cu viteza de 40 km/h pot şti unde se va afla după 5 minute? Dar dacă ştiu direcţia şi sensul deplasării?

3. Dacă Lassie şi Hector trag de răţoiul Duck în acest mod, unde se va afla acesta în cele din urmă? Parcă am mai văzut pe undeva figura asta…

4. - Cele două maşini sunt pornite, au accelerat, dar rămân pe loc…Ce-o mai fi şi asta, se întreabă Ionică. O fi ceva legat de vectorii aceia opuşi?

5. Pinguinul vrea să ajungă mai repede acasă, iar vântul îi bate din faţă. De ce înaintează aşa de greu? Se compun vitezele, moşule!

6. SEGMENT ORIENTAT. VECTOR LIBER Definitia 2.1.1 Numim segment orientatoriceperecheordonata (A, B) Vomfolosinotatiapentruacestsegment,caruireprezentaregraficaeste data în fig. 1. Punctul A se vanumiorigineasegmentuluiorientatiar B vârfulsauextremitatea. Dacapuntele A si B suntdiferiteatunciacesteadeterminaîn mod unic o dreapta care se numestedreaptasuport a segmentuluiorientat. Daca C = D atunciconvenimsanumimsegmentulorientat (C, D) = segment orientatnul. Este evident ca un segment orientatnul nu determinaîn mod unic o dreapta, ceeace face ca înacestcazsaspunem ca oricedreapta care treceprinpunctul C este o dreaptasuport a segmentului

7. VECTORI Definiţie: Un vector este un segment de dreaptă orientat. Caracteristicile unui vector: - dreapta suport ( ) sau direcţia vectorului; - punctul de aplicaţie (O); - sensul vectorului ( de la O câtre A ); - valoarea numerică sau modulul vectorului dată de lungimea segmentului exprimată în unităţi de măsură. Modulul vectorului se notează sau simplu A O

8. EGALITATEA VECTORILOR Doi vectori sunt consideraţi egali dacă au dreptele suport paralele, acelaşi sens şi module egale.

9. Vectorii se pot compunefolosind: • Metode geometrice • Metoda analitică

10. A) Metodele geometrice sunt : • Regula paralelogramului • Regula triungiului • Regula poligonului

11. REGULA PARALELOGRAMULUI Regula paralelogramului este cea mai cunoscută metodă de compunere a doi vectori concurenţi. A compune vectorii a şi b înseamnă a găsi modulul şi orientarea vectorului rezultant c = a + b .

12. Regula paralelogramului are următoarele etape : 2. Seconstruieşte paralelogramul care are ca laturi ceidoi vectori : • Se translatează (se deplasează paralel cu ei înşişi ) vectorii a şi b până au origine comună • prin vârful lui a se duce paralelă la b • prin vârful lui b se duce paralelă la a 3. Se construieşte vectorul sumă c ( este diagonala paralelogramului dusă prin originea vectorilor ) a c a b b

13. Vectorul sumă c are următoarele caracteristici: • origineacomună cu originile celor doi vectori a şi b ; • direcţiade-a lungul diagonalei paralelogramului; • sensul dat de săgeată; • modulul egal cu lungimea diagonalei paralelogramului.

14. Caz particular Cei doi vectori au direcţii perpendiculare În acest caz paralelogramul devine un dreptunghi şi putem calcula modulul c aplicând teorema lui Pitagora. c a a c² = a² + b² b b

15. COMPUNEREA (ADUNAREA) VECTORILOR DEFINIŢIE:Operaţia de adunare a doi vectori, numită şi compunerea lor, are drept rezultat un vector numit suma lor. REGULA TRIUNGHIULUI REGULA PARALELOGRAMULUI

16. REGULA TRIUNGHIULUI Regula triunghiului este o metodă de compunere a doi vectori. Regula triunghiului are următoarele etape: • Se translatează un vector ( b ) până când originea lui va fi în vârful celuilalt vector ( a ) • Se uneşte originea primului vector a cu vârful lui b şi se obţine vectorul sumă c a a c b b

17. Cazuri particulare • Cei doi vectori au direcţii perpendiculare Se poate calcula modulul c cu terema lui Pitagora c a a c² = a² + b² b b

18. b) Vectorii au aceeaşi orientare (aceeaşi direcţie şi acelaşi sens) Modulul c este egal cu suma modulelor a şi b. a b a b c c = a + b

19. c) Vectorii au aceeași direcţie şi au sensuri opuse Modulul c este egal cu diferenţa dintre modulele a şi b. a a b c b c = a - b

20. REGULA POLIGONULUI Regula poligonului este folosită pentru a aduna 3 sau mai mulţi vectori. Etapele sunt: • Se translatează vectorul b cu originea în vârful vectorului a, apoi se translatează vectorul c cu originea în vârful vectorului b şi mai departe • Vectorul sumă s uneşte originea primului vector cu vârful ultimului vector

21. b b a a c c s

22. REGULA POLIGONULUI CONCLUZIE: ADUNAREA VECTORILOR ARE PROPRIETĂŢILE DE COMUTATIVITATE ŞI ASOCIATIVITATE

23. SCĂDEREA VECTORILOR Observaţie: scăderea vectorilor nu este comutativă

24. ÎNMULŢIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR O O O O Prin înmulţirea unui vector cu un scalar se obţine tot un vector ce are: - Aceeaşi direcţie cu direcţia vectorului iniţial; - Acelaşi sens cu sensul vectorului iniţial dacă scalarul este pozitiv; sens contrar sensului vectorului iniţial dacă scalarul este negativ; - Modulul egal cu produsul dintre modulul vectorului iniţial şi scalar.

25. VERSORUL UNUI VECTOR are direcţia şi sensul Versorul (vectorul unitar) al unui vector vectorului , iar modulul egal cu unitatea. unităţi

26. VALOAREA NUMERICĂ A SUMEI DE DOI VECTORI

27. CAZURI PARTICULARE 1. Vectori paraleli şi de acelaşi sens:

28. VALOAREA NUMERICĂ A DIFERENŢEI DE DOI VECTORI