Etimo Un po’ di storia Cronologia Storia dello Zero Prof.ssa Francesca Russo

1. Liceo Classico “S. Nilo” - Rossano (CS)Matematica e MedioevoUnità Didattiche di Matematica afferenti al MODULO INTERDISCIPLINARE progettato per le classi del biennio:“CULTURA E CIVILTÀ DEL MEDIOEVO: NILO DI ROSSANO” • Etimo • Un po’ di storia • Cronologia • Storia dello Zero Prof.ssa Francesca Russo

2. Etimo • Mathma, atos: oggetto dell’apprendimento (da mananw = imparare) Secondo Anatolio (santo e vescovo di Laodicea, studioso di Matematica, 269 d.C), i Peripatetici (discepoli di Aristotele, IV sec. a.C.) affermavano che “mentre la retorica, la poesia e la musica popolare possono essere praticate anche senza essere studiate, nessuno può capire le cose che vengono chiamate con il nome di matematica senza averle prima studiate”, e per questa ragione “la teoria di queste cose è detta Matematica”.

3. Un po’ di storia La Matematica è sempre stata considerata genericamente come la “Scienza dei Numeri”… Una simile definizione è parziale, anche riferita solo al Medioevo, durante il quale la Matematica era insegnata nelle Università come arte liberale. Nelle facoltà di Filosofia, infatti, venivano apprese le arti del Trivio(complesso delle discipline letterali, costituito da Grammatica, Retorica, Logica) e del Quadrivio(complesso delle discipline scientifiche, costituito dalla matematica “pura”: Aritmetica e Geometria, e dalla matematica “mista”: Musica e Astronomia, viste come loro rispettive applicazioni). Tale facoltà era la più importante per il numero di studenti che la frequentavano, e che dopo aver concluso i corsi potevano proseguire gli studi in una delle altre tre facoltà (Teologia, Diritto, Medicina)…

4. Un po’ di storia Oggi sarebbe eccessivamente riduttivo definire la Matematica come Scienza dei Numeri, considerato l’enorme numero di discipline specifiche ma interdipendenti in cui essa si è sviluppata e suddivisa a partire dal Rinascimento in poi. Prima di prendere in considerazione il periodo storico su cui è incentrato questo modulo interdisciplinare (secoli X e XI), è comunque necessaria una panoramica cronologica che cerchi di cogliere l’evoluzione del pensiero matematico nel corso dei secoli. E allora…

5. Un po’ di storia LE ORIGINI della Matematica si perdono lontano nel tempo, nelle epoche più antiche in cui visse l'uomo. Le prime nozioni quantitative familiari all'uomo primitivo erano quelle legate all'esperienza quotidiana: il numero, la grandezza, la forma… Il sistema di numerazione decimale che usiamo oggi deriva probabilmente dal fatto “accidentale” che noi - come i nostri antenati - possediamo dieci dita delle mani e dieci dita dei piedi. Alcune scoperte archeologiche suggeriscono che l'idea di numero e di figura è molto più antica rispetto alla nascita della civiltà e della scrittura: si è trovata traccia di conteggi da parte dell'uomo di Neanderthal, oltre cinquantamila anni fa; si sono scoperti disegni geometrici primitivi su rocce di oltre venticinque mila anni fa, all'epoca dell'uomo di Cro-Magnon; particolarmente interessante è la scoperta di ossa di animali, risalenti a quindici mila anni fa circa, profondamente incise con intaccature riunite in gruppi di cinque o multipli di cinque.

6. Un po’ di storia AMERICA PRECOLOMBIANA IV millennio a.C.: la civiltà Incascomprendeva un vasto complesso di scienze matematiche che tuttavia non possono essere stabilite con certezza, a causa della mancanza di documentazione scritta dell’epoca. Testimonianza più sicure ci sono nel caso dei Maya, che approfondirono soprattutto il problema della misura del tempo, del calendario e delle previsioni astronomiche.

7. Un po’ di storia MESOPOTAMIA Verso la fine del IV millennio a.C., una forma primitiva di scrittura era stata sviluppata in modo indipendente e assai diverso dalle popolazioni che vivevano lungo il Nilo e nella mezzaluna compresa tra il Tigri e l'Eufrate. In Mesopotamia, terra ricca di argilla, nacque la scrittura cuneiforme: si cominciarono a incidere con uno stiletto segni dalla forma appuntita, su tavole di argilla che venivano poi cotte. Il contenuto delle tavolette babilonesi è rimasto un mistero fino a circa un secolo fa, per la grande difficoltà di decifrare la scrittura cuneiforme.

8. Un po’ di storia EGITTO L'Egitto invece sviluppò la scrittura geroglifica: antica almeno quanto le piramidi (più di tre mila anni a.C.), la numerazione egiziana si basava su un semplice schema iterativo e di simboli, distinti per ciascuna delle prime sei potenze di dieci (dieci, cento, mille ecc.). La natura dei problemi matematici studiati nell'antico Egitto ci è nota grazie alla scoperta di due importanti documenti matematici, il papiro di Mosca e quello di Rhind (1700 a.C.), contenenti decine di problemi di vario tipo. Oggi sappiamo che la maggior parte dei problemi sia in Egitto che in Mesopotamia era di natura economica: questi antichi popoli conoscevano il numero "pi greco", le quattro operazioni, le equazioni quadratiche, il calcolo dell'area di quasi tutte le figure piane e quello del volume dei solidi (parallelelepipedi, cilindri, piramidi…).

9. Un po’ di storia LA MATEMATICA GRECA Attorno al VI secolo a.C., raccogliendo l'eredità dei matematici egiziani e babilonesi, una nuova civiltà si preparava ad assumere l'egemonia culturale tanto nella terra dei faraoni e nella Mesopotamia quanto nelle regioni che si affacciavano sul Mediterraneo: la civiltà greca. I greci sollevarono la Matematica dal piano pratico a quello filosofico; da mero calcolo per risolvere problemi concreti, la matematica divenne anche pura astrazione del pensiero fine a se stessa. Con gli studiosi ellenici nacquero i due processi principali su cui si basa l'organizzazione logica della matematica: l'astrazione (ricavare una regola generale dall'osservazione di fenomeni particolari diversi) e la deduzione (partendo da alcune premesse, ricavare una conclusione coerente con le assunzioni del ragionamento).

10. Un po’ di storia NEL MONDO DI PITAGORA Tra il VI e il V secolo a.C. apparve sulla scena un matematico considerato oggi il fondatore della geometria, nonché il primo filosofo: Talete, cui vengono attribuiti i teoremi sulla similitudine dei triangoli, in particolare quello che porta il suo nome. Più o meno contemporanea è la figura di Pitagora, profeta, mistico e matematico, fondatore di una scuola matematica, filosofica e religiosa che svolse un ruolo cruciale per l'intera storia della scienza dei numeri. Con i pitagorici la matematica cominciò a essere più un prodotto dell'amore per la scienza che la risposta a problemi della vita pratica; i principi di questa disciplina divennero oggetto di discussione filosofica.

11. Un po’ di storia EUCLIDE Nel V secolo a.C., un piccolo gruppo di matematici si mise in luce per la grande portata dei problemi geometrici studiati, rispetto alla scarsità di strumenti a loro disposizione. Si tratta di Ippocrate, che scrisse il primo trattato di geometria; Democrito, Eudosso e Archita di Taranto che risolsero importanti problemi di geometria e aritmetica; e Zenone, noto per i suoi paradossi (famoso quello di Achille e la tartaruga). Nel Trecento a.C., la matematica greca raggiunse il massimo sviluppo. Con la morte di Alessandro Magno il centro della cultura matematica si spostò da Atene ad Alessandria. Nella scuola più prestigiosa del tempo fu chiamato a insegnare Euclide di Alessandria, autore del più fortunato manuale di matematica della storia: gli Elementi, una raccolta chiara, esauriente e rigorosa di tutto lo scibile matematico fino ad allora conosciuto. La grande fama di Euclide è legata non a qualche teorema di sua concezione, bensì alla sua chiarezza espositiva, chiave del successo degli Elementi: in tredici libri Euclide organizzò tutti i teoremi di geometria e di teoria dei numeri della matematica greca dell'epoca, con una esposizione rimasta classica fino a oggi. Gli Elementi, che fino al XIX secolo fu il testo più diffuso dopo la Bibbia, rappresentò così la sistemazione delle conoscenze geometriche “elementari” e aprì la strada a ricerche di carattere “superiore” quali quelle di…

12. Un po’ di storia ARCHIMEDE DI SIRACUSA Geniale inventore di congegni meccanici, a questi preferiva tuttavia i "prodotti" della sua attività intellettuale. Archimede può essere considerato il padre dellafisica matematica: grazie ai suoi studi sulla leva, sull'equilibrio dei piani e sui corpi galleggianti, lo studioso individuò quella stretta relazione tra la matematica e la meccanica destinata a diventare così importante sia per la Fisica che per la Matematica. Archimede si occupò anche di aritmetica, algebra e geometria, risolvendo importanti problemi sulle equazioni cubiche e anticipando il calcolo logaritmico e integrale.

13. Un po’ di storia APOLLONIO E TOLOMEO Tra il II secolo a.C. e il I secolo d.C. si gettarono le basi della trigonometria piana e sferica, con Ipparco, e dello studio delle coniche, con Apollonio. Nonostante le sezioni coniche fossero già note da un secolo e mezzo prima degli studi di Apollonio, a questo matematico va il merito di aver derivato tutte le sezioni coniche da un unico cono circolare obliquo a doppia falda e di averle chiamate con nomi appropriati (parabola, iperbole, ellisse). In quest'epoca Eratostene effettuò la più riuscita e famosa misurazione del diametro della Terra, e Tolomeo scrisse l'Almagesto (l'opera trigonometrica più significativa di tutta l'antichità). Dodici libri di questo trattato contengono una bella costruzione della teoria planetaria dei cicli e degli epicicli, nota come il sistema Tolemaico. Tolomeo postulava un universo geometrico e geocentrico: in tal modo si potevano rappresentare facilmente i movimenti apparenti dei corpi nello spazio. L'Almagesto rappresentò uno strumento indispensabile per gli astronomi per più di mille anni.

14. Un po’ di storia UNO SGUARDO ALL'ORIENTE Tra il VI e il X secolo d.C. il centro degli studi matematici si spostò a Baghdad e l'arabo diventò il linguaggio scientifico internazionale. I matematici arabi tradussero i testi principali della matematica greca, sperimentarono nuovi settori di ricerca e misero in contatto la matematica occidentale con quella indiana. Per questo probabilmente il nostro sistema di numerazione - basato sulla notazione posizionale - viene erroneamente considerato un'invenzione degli arabi. La vera origine va cercata in India; merito degli arabi è di aver diffuso la numerazione indiana. Quel che l'Europa imparò dagli arabi è invece quella branca della Matematica nota come algebra, grazie all'opera più importante di Al-Khuwarizmi, il testo Al-jabr wa'l muqabalah, dal cui titolo il termine Algebra fu appunto coniato. Degli indiani è inoltre l’invenzione e la chiara definizione del numero zero.

15. Un po’ di storia IL MEDIOEVO IPRIMI SECOLI del periodo medievale, dal VI fino al XII d.C., sono generalmente classificati come l'Età buia della Scienza. Tra l'Europa e il vasto sapere arabo si ergeva inespugnabile la barriera linguistica. Finalmente, agli inizi del 1200, un dilagare di traduzioni permise agli studiosi europei di riscoprire il patrimonio di conoscenze matematiche, fisiche e astronomiche sia degli antichi greci che della cultura musulmana. Agli Arabi siamo debitori, oltre che del nostro sistema di numerazione, di tecniche per la fusione dei metalli, e dei mulini ad acqua. Ed anche astronomia, alchimia, medicina hanno una matrice araba…

16. Un po’ di storia FIBONACCI Nel XI secolo il Papa Silvestro II aveva introdotto in Europa le tecniche arabe di calcolo con uno strumento detto abaco. L'Europa medioevale, dopo le crociate contro gli infedeli, studiava la loro scienza! Il secolo XII, dicevamo, è l'epoca delle traduzioni che porteranno poi alla compilazione delle "enciclopedie" del Medioevo. Il libro di maggior successo in questo senso fu completato nel 1202 dall'italiano Leonardo Pisano, noto con il nome di Fibonacci. Nella sua opera, il Liber abaci, descriveva in modo esauriente i metodi e i problemi algebrici arabi, oltre alle "nove figure indiane" più lo zero. Fibonacci, matematico abile e originale, è noto oggi anche per la famosa serie che porta il suo nome.

17. Cronologia Ma con Fibonacci abbiamo già oltrepassato l’epoca su cui vogliamo concentrare la nostra attenzione, e allora proviamo a ripercorrere le principali tappe dell’evoluzione del pensiero matematico attraverso una mappa cronologica che “riassuma” (???) ben 51 millenni di storia…

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24. Storia dello Zero Come avrete appreso dalle lezioni di Storia su San Nilo, il Patrono della nostra città (e del nostro Liceo) muore nel 1004. Proprio in quel secolo la Matematica affronta una nuova rivoluzione di pensiero, grazie al preziosissimo contributo dell’indiano Srihdara che introduce quello che sarà un nuovo “numero”, oltre che una nuova “cifra”: lo ZERO.

25. Storia dello Zero Ai primordi della matematica si distingueva solamente tra "uno" e "molti": un uomo delle caverne aveva una punta di lancia o molte punte di lancia. Successivamente si ebbero sistemi di numerazione a base "quinaria" o, come nelle lingue indoeuropee, a base "decimale". Non c'era mai stato bisogno di tenere il conto di zero pecore o di fare appello dei propri zero figli! Siccome non serviva un numero per esprimere l'assenza di qualche cosa, a nessuno venne in mente di collegare un simbolo alla mancanza di oggetti: questa è la ragione per cui la gente ha fatto tranquillamente a meno dello zero per così tanto tempo…

26. Storia dello Zero GliEgizi, che pure erano dei raffinati matematici, mantennero la scienza dei numeri su un piano tecnico-pratico senza trasformarla in un sistema di logica astratta. Furono i Greci a volgersi all'astrazione e al pensiero puro, ma non furono tuttavia loro a introdurre lo zero. Il sistema babilonese, pur essendo sessagesimale, era di gran lunga il più evoluto e conosceva lo zero; esso non era però che un segnaposto, rappresentando lo spazio vuoto dell'abaco, la colonna con tutte le pallottole abbassate: serviva a fare in modo che le cifre cadessero al posto giusto e non possedeva un valore numerico proprio. I greci preferirono rimanere abbarbicati alla propria notazione pseudo-egizia, piuttosto che adottare il ben più semplice sistema babilonese.

27. Storia dello Zero Perché avevano pauradello zero? Lo zero presentava alcune caratteristiche destabilizzanti, in quanto: • non ha consistenza; • sommato o sottratto non muta la quantità di partenza; • zero volte qualsiasi quantità deve dare zero, in base alla proprietà "distributiva" dei numeri. A ciò si aggiungeva il fatto che lo zero contravveniva ad uno dei principali assunti della filosofia di Aristotele, la cui importanza derivava dal paradosso di Zenone: il vuoto non esiste… ( horror vacui)

28. Storia dello Zero Se la Grecia rifiutò lo zero, la cultura indiana, già dedita all'investigazione attiva del vuoto e dell'infinito, accettò lo zero. I matematici indiani non si limitarono a recepire lo zero: lo trasformarono, mutandone il ruolo di mero segnaposto in quello di numero in piena regola. Nel VII secolo, i musulmani incorporarono rapidamente il sapere dei popoli conquistati e divulgarono la notazione indiana che comportò l'adozione dello zero, la cui denominazione indiana sunya (che significa "vuoto") presso gli arabi divenne sifr (che è la radice anche di "cifra").

29. Storia dello Zero Nella descrizione del nuovo numero fatta da alcuni dotti occidentali essa mutò nel termine assonante latinizzato zephirum, che è la radice della parola corrente. Se la cristianità inizialmente respinse lo zero, il commercio lo reclamò ben presto. Come già sappiamo, chi ne introdusse il concetto in Occidente fu Leonardo da Pisa che nel 1202 pubblicò il Liber abaci. Il libro dimostrava la grande utilità di quel sistema nell'esecuzione dei calcoli complessi, cosicché i banchieri e i mercanti italiani ne fecero rapidamente tesoro, e lo zero cominciò a venire utilizzato in qualità di numero.

30. Storia dello Zero Indiano: “sunya” Arabo: “sifr” Latino:“zephirum”

31. Storia dello Zero Accettato sul piano empirico, lo zero dovette ricevere l'imprimatur da parte delle autorità filosofiche e teologiche. Un libro interessante da leggere a proposito è: “Zero. La storia di un'idea pericolosa”, di Charles Seife (Bollati Boringhieri, 2002), euro 29 L'autore narra in modo avvincente la storia di coloro che si batterono per il significato da dare al numero misterioso, degli eruditi, dei mistici, degli uomini di scienza e di fede che cercarono ognuno di comprendere lo zero. Così come la storia dei tentativi, vani e talvolta violenti, fatti in Occidente per isolare quel concetto venuto dall'Est.

32. Storia dello Zero Alla fine però lo zero conobbe la sua definitiva vittoria. Non solo i matematici non ebbero altra scelta che imparare a convivere con lo zero e l'infinito, ma anche i fisici (che avevano ritenuto questo numero irrilevante per il funzionamento dell'universo) cominciarono ad imbattersi nello zero nel mondo reale.

33. Storia dello Zero In termodinamicauno zero divenne la barriera insuperabile, la più bassa temperatura possibile. Nella storia della relatività di Einstein, uno zero divenne il buco nero, capace di inghiottire interi sistemi solari. In meccanica quantistica, uno zero è all'origine di una inverosimile sorgente di energia infinita e diffusa ovunque, presente anche nel vuoto siderale e di una forza fantasma esercitata dal nulla assoluto. Infine, se il Big Bangè all'origine dell'universo, il Big Crunch ne sarebbe l'inevitabile destino…

34. Storia dello Zero Ma vediamo ora un caso in cui lo ZERO è protagonista assoluto e sa stupirci con le sue straordinarie proprietà… Per l’occasione il nostro amico Zero indossa i panni di un grande illusionista e ci dimostra che… 1 + 1 = 1 ???

35. Storia dello Zero Assegnamo ad x il valore 1: x = 1 Dovrebbe essere chiaro allora che vale l’uguaglianza: x2 – 1 = x2 – x Scomponendo dunque in fattori entrambi i membri dell’uguaglianza si ottiene: ( x + 1) ( x – 1) = x ( x – 1) Fin qui è tutto chiaro?

36. Storia dello Zero Dividiamo adesso tutti e due i membri per (x – 1): ( x + 1) ( x – 1) = x ( x – 1) Dunque avremmo: x + 1 = x Ma poiché abbiamo posto x = 1 allora vuol dire che: 1 + 1 = 1 Stupiti? Ma certo, e fate bene. Immaginate quali conseguenze (comiche o disastrose) scaturirebbero da un’affermazione del genere… E allora… caccia all’errore!

37. Se siete arrivati a questa diapositiva, qualcuno di voi avrà finalmente smascherato il trucco del nostro illusionista, magari dopo qualche opportuno suggerimento che vi abbia ricordato l’esatto enunciato dei principi di identità delle equazioni oppure la legge di annullamento del prodotto, oppure ancora la proprietà invarantiva della divisione ecc. Insomma, qualcuno si sarà accorta che abbiamo diviso per zero! Mai allora dimenticare che nessun numero moltiplicato per zero sopravvive alla sua azione nullifica, e pertanto non è possibile avere zero come divisore (o come denominatore! E qui rimando alla discussione del campo di esistenza delle frazioni algebriche, o alle condizioni per la risoluzione delle equazioni frazionarie…)

38. “EX ABSURDIS SEQUITUR QUODLIBET”