Exploring Non-Euclidean Geometries: A Journey of Discovery

1. GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008 GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Gennaio 2009

2. Gli elementi di Euclide • Il problema del V postulato • La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee • La geometria iperbolica • La geometria ellittica • Le tre geometrie • Un vero viaggio di scoperta

3. Coerenza logica e modellizzazione Costruire dei modelli di geometria non euclidea all’interno di quella euclidea: • interpretare gli enti primitivi della geometria non euclidea in termini degli enti primitivi di quella euclidea; • tradurre gli assiomi della geometria non euclidea nei corrispondenti enunciati euclidei; • dimostrare che gli enunciati euclidei così ottenuti sono tutti teoremi validi. la coerenza del sistema modellizzato segue immediatamente da quella del sistema “ospite”

4. Il modello di Klein - K2

5. Posizione relativa di due rette in K2 • Secanti = le rette che intersecano r in un punto interno di Ω • Parallele = le rette che intersecano r in un punto di ∂Ω • Iperparallele = le rette che non intersecano r né in un punto interno né in un punto di ∂Ω

6. Difetti del modello di Klein Modello non conforme D C

7. Indipendenza del V postulato

8. Il modello del disco: l’omino geometra e il suo mondo di gas

9. Che cos’è una retta?

10. Formalizzando: il modello del disco - D2

11. Il modello del disco - segue

12. Posizione relativa di due rette in D2 • Secanti = due rette che si intersecano in un punto interno di Ω • Parallele = due rette che si intersecano in un punto di ∂Ω • Iperparallele = due rette che non si intersecano né in un punto interno né in un punto di ∂Ω

13. Triangoli sgonfi

14. Circonferenze

15. Arte iperbolica: Escher

16. Il modello del semipiano - Π2

17. Il modello del semipiano - segue

18. Triangoli

19. Il modello dell’iperboloide

20. Equivalenza e comodità

21. Gli elementi di Euclide • Il problema del V postulato • La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee • La geometria iperbolica • La geometria ellittica • Le tre geometrie • Un vero viaggio di scoperta

22. Curvatura di una linea

23. Curvatura di una linea in un suo punto definizione rigorosa

24. Curvatura di una superficie: intuitivamente…

25. … e rigorosamente n P

26. Classificazione dei punti di una superficie

27. Classificazione dei punti di una superficie

28. Superfici curve … di curvatura nulla!

29. Superfici di curvatura costante e geometrie Superfici omogenee

30. Pari dignità!

31. Gauss e la geometria intrinseca Estrinseco Intrinseco

32. Flatlandia

33. Gauss e la geometria intrinseca Theorema egregium: La curvatura è una grandezza intrinseca!

34. Isometrie e grandezze intrinseche La curvatura è una grandezza intrinseca La curvatura è una grandezza invariante per isometrie

35. Superfici curve … di curvatura nulla! (bis)

36. Aree di triangoli

37. Carte geografiche e deformazioni prevedibili

38. Buckminster Fuller, Dymaxion Map e cupole geodesiche

39. A spasso su Marte

40. Pavimenti e tassellazioni Tassellazione regolare {N,K}

41. Il paradiso del piastrellista

42. Il paradiso del piastrellista

43. Klein e la nuova definizione di geometria cosa vuol dire fare geometria? Gruppo di trasformazioni Proprietà invarianti Geometria = lo studio degli enti le cui proprietà sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo dato

44. Gli elementi di Euclide • Il problema del V postulato • La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee • La geometria iperbolica • La geometria ellittica • Le tre geometrie • Un vero viaggio di scoperta

45. La forma dell’universo

46. Perché il problema è così difficile? n dimensioni obbligatorietà del punto di vista intrinseco

47. Generalizzazione del concetto di curvatura alle dimensioni superiori • esiste e funge da “spartitraffico” • 3 geometrie: ellittica (K > 0), euclidea (K = 0), iperbolica (K < 0) • si può edificare una geometria globalmente valida solo su oggetti di curvatura costante e il segno della curvatura stabilisce il tipo di geometria. • 3 modelli: Sn(K ≡ 1), En(K ≡ 0),Hn(K ≡ -1), • la curvatura è sempre una grandezza intrinseca

48. Einstein: la gravità è geometria la presenza di massa ed energia curva lo spazio

49. Lenti gravitazionali e croci di Einstein

50. Forma dell’universo a grande scala: possibili soluzioni delle equazioni della relatività generale Principio cosmologico: l’universo a grande scala è omogeneo e isotropo tensore energia - impulso = funzioni del tensore di Ricci • l’universo non è statico ma si evolve, cambiando le sue dimensioni nel tempo (contraendosi o dilatandosi); • la geometria dell’universo a grande scala è curva e l’usuale geometria euclidea è solo un caso particolare tra le ∞ geometrie non euclidee che si ottengono come soluzioni delle equazioni.