LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

1. a cura della prof. Gabriella Climaco LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

2. La geometria euclidea La geometria � nata per soddisfare esigenze relative all�agrimensura e alla costruzione di edifici. Egizi e Babilonesi abbozzarono le prime tecniche geometriche ed elaborarono metodi approssimativi per il calcolo dell�area del cerchio.

3. Con i Greci la geometria � divenuta una disciplina teorica, astratta e rigorosa Talete di Mileto (VII � IV secolo a.C.) fu il primo ad enunciare in modo esplicito le propriet� delle figure geometriche e a formulare i primi teoremi. Platone ( 427 � 347 a.C.) affront� il problema della natura astratta degli oggetti geometrici. Aristotele ( 384 � 322 a.C.) affront� il problema della struttura del procedimento deduttivo ( nozioni comuni e specifiche = assiomi e postulati ). Euclide ( 325 - 265 a.C.) compose gli Elementi, un�opera che raccoglie le conoscenze acquisite dai Greci in circa 300 anni.

4. Gli Elementi sono composti da 13 libri, che riguardano i seguenti argomenti: libri I � IV : figure piane rettilinee e cerchi libro V : le proporzioni libro VI: le figure simili libri VII � IX : la teoria dei numeri libri X : le grandezze incommensurabili libri XI � XIII : la geometria solida

5. Nel I libro sono enunciate le basi della geometria euclidea ( 23 termini, 5 postulati, 8 nozioni comuni o assiomi) e vengono dimostrati il teorema di Pitagora e i criteri di uguaglianza dei triangoli, in totale 48 proposizioni. termini: gruppo di definizioni che descrive gli enti geometrici a partire dal loro modello reale. postulati: verit� autoevidenti, quindi accettabili sulla base dell�intuizione comune; nozioni comuni o assiomi: proposizioni primitive di grande generalit�, chiare ed evidenti sulla base dell�intuizione ( Es : I. Cose uguali ad una stessa cosa sono fra loro uguali)

6. * per i Greci rette e piani hanno estremi e quindi non sono illimitati I termini I - VII : concetti di punto, linea, retta * e superficie * ; VIII - XII : concetto di angolo, definizione di angolo retto,  acuto e ottuso; XIII -XIV : figure geometriche come enti limitati; XV - XIX : concetti di cerchio, diametro, circonferenza,  centro, semicerchio; XX - XXII : figure trilatere e quadrilatere; XXIII : concetto di rette parallele: � parallele sono quelle rette che essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall�una e dall�altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti�

7. nozioni comuni o assiomi Cose che sono uguali ad una stessa cosa sono uguali anche tra loro; Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalit� sono uguali; Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali; Se cose uguali sono addizionate a cose disuguali, le somme sono disuguali; I doppi di una stessa cosa sono uguali fra loro; Le met� di una stessa cosa sono uguali tra loro; Cose che coincidono tra loro sono uguali; Il tutto � maggiore della parte

8. I postulati I : si pu� condurre una linea retta da un qualsiasi punto a  ogni altro punto; II : una retta terminata si pu� prolungare continuamente  per diritto; III : si pu� descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni  distanza; IV : tutti gli angoli retti sono uguali fra loro; V : se una retta venendo a cadere su due rette forma gli  angoli interni e dalla stessa parte minore di due retti, le  due rette prolungate illimitatamente verranno a  incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori  di due retti.

9. I , II, III sono postulati di �esistenza�, collegati all�uso della riga e del compasso e quindi �costruibili�, secondo la tradizione greca; IV postulato non costruttivo, ma  necessario per il V postulato

10. V postulato In termini pi� moderni pu� essere cos� enunciato: Siano date due rette r ed s tagliate da una trasversale t e siano a e � gli angoli coniugati interni formati da r e s con t. Se a + � < 2 angoli retti, allora le due rette r e s prolungate illimitatamente si incontrano dalla parte in cui a + � < 2 angoli retti

11. Altra formulazione del V postulato �Dati in un piano una retta e un punto fuori di essa, esiste nel piano una sola retta passante per il punto e parallela alla retta data.� Questa proposizione, per�, risulta falsa in un universo di dimensioni finite. Immaginiamo infatti che il piano contenente r e P sia limitato alla zona interna ad un cerchio, si vede immediatamente che vi sono molte rette passanti per P che non incontrano r, contro la nuova formulazione del V postulato.

12.  Cosa ci assicura che questa situazione non sussista pi� quando il piano � illimitato? La verit� del V postulato non � affatto immediata!

13. Nell�intenzione di Euclide i postulati dovevano essere autoevidenti e accettabili sulla base dell�intuizione comune. Il V postulato non � autoevidente e il dibattito sulla sua validit� si � protratto per oltre duemila anni e ha avuto come conseguenza la scoperta delle geometrie non euclidee, cio� di geometrie basate su postulati diversi da quelli di Euclide.

14. Le geometrie non euclidee Nel tentativo di dimostrare l�assoluta verit� della geometria euclidea, Girolamo Saccheri (1667-1733) espose la sua presunta dimostrazione del V postulato nel trattato �Euclides ab omni naevo vindicatus� (1733), in cui supponendo falso il V postulato, cerc� di dedurre le contraddizioni, che lo avrebbero condotto a concludere la verit� del suddetto postulato. Egli in realt� non mostr� alcuna contraddizione logica, creando, senza saperlo, una geometria non euclidea.

15. Nello sviluppo della sua teoria, Saccheri analizz� le propriet� del quadrilatero birettangolo isoscele , una figura ottenuta innalzando da una base AB due segmenti uguali AD e BC ad essa perpendicolari e unendo i punti C e D. Saccheri osserv� che gli angoli in C e in D possono essere: acuti ( ipotesi dell�angolo acuto) retti ( ipotesi dell�angolo retto) ottusi (ipotesi dell�angolo ottuso). Dato che l�ipotesi dell�angolo retto implica la validit� del V postulato, Saccheri cerc� delle contraddizioni nelle due ipotesi rimanenti. Solo l�ipotesi dell�angolo ottuso � in realt� contraddittoria, mentre quella dell�angolo acuto, per quanto non intuitiva, pu� essere alternativa a quella dell�angolo retto, anche se scrive Saccheri ��. ripugna alla natura della linea retta �.

16. L�opera di Saccheri fu presto dimenticata a causa del clima culturale in cui egli e i suoi successori si trovarono ad operare. Per tutto il XVIII secolo la geometria euclidea , insieme alla teoria della dinamica newtoniana fu considerata quanto di pi� saldo vi potesse essere nella conoscenza scientifica. In particolare Immanuele Kant (1724 � 1804) aveva individuato in questi due pilastri la base per attribuire allo spazio e al tempo il carattere di intuizioni a priori, preliminari ad ogni forma di conoscenza empirica. �Lo spazio non � un concetto empirico, ricavato da esperienze esterne(�), � una rappresentazione necessaria a priori, la quale serve di fondamento a tutte le intuizioni esterne � ( Dalla Critica della ragion pura )

17. Si pu� ben capire, allora, quali turbamenti, esitazioni e ripensamenti abbiano attraversato le menti e i cuori di quei tre matematici dell'800 , Lobacevskji, Bolyai e Gauss che, pressoch� contemporaneamente e in tre nazioni diverse e distanti tra loro, l'Ungheria, la Russia e la Germania, stavano, con le loro intuizioni e i loro studi, giungendo ad una medesima conclusione: la geometria di Euclide poteva non essere pi� il modello ideale del sapere assoluto poich� non possedeva pi� quei caratteri di verit� e di necessit� assoluta che fino ad allora le erano stati attribuiti.

18. Nikolaj Lobacevskij (1793 � 1856) e Jonas Bolyaj (1802 � 1860) cominciarono a trattare delle propriet� dello spazio sostituendo il V postulato con la sua negazione: �dati una retta e un suo punto esterno ad essa, per quel punto � possibile condurre infinite rette che non intersecano la retta data.� Nasce la geometria iperbolica

19. Geometria euclidea o parabolica* La somma degli angoli interni di un triangolo � uguale a due retti. Due triangoli che hanno angoli interni congruenti sono congruenti oppure simili. Vale il teorema di Pitagora. Geometria iperbolica* La somma degli angoli interni di un triangolo � minore a due retti. Due triangoli che hanno angoli interni congruenti sono necessariamente congruenti. Non vale il teorema di Pitagora. Non esistono quadrati e parallelogrammi, ma esistono triangoli aperti

20. Oltre alla geometria iperbolica � possibile, introducendo modifiche pi� ampie all�edificio euclideo, costruire altre geometrie non euclidee, che vengono dette geometria sferica e geometria ellittica ( localmente equivalente a quella sferica). Per dimostrare che le geometrie non euclidee sono coerenti tanto quanto quella euclidea si ricorre all�uso di modelli, che consentono di interpretare i risultati non euclidei per mezzo di particolari enti euclidei. In particolare i modelli di Poincar� e Riemann possono essere usati per visualizzare, rispettivamente, le propriet� della geometria iperbolica e sferica.

21. Modello di Poincar� Il modello di Poincar� fa riferimento alla porzione del piano euclideo formata da un cerchio O avente centro O e raggio r.

22. La geometria sferica e la geometria ellittica La geometria iperbolica , ottenuta negando il V postulato non � l�unica geometria che si pu� costruire in alternativa a quella euclidea. Escludendo l�esistenza di rette parallele si possono ottenere due distinte geometrie: modificando il I postulato, ammettendo che due rette possono costruire un�area si ottiene la geometria sferica , dove, secondo il modello di Riemann, le rette sono linee chiuse; modificando il II postulato, escludendo la possibilit� di prolungare illimitatamente le rette, di ottiene la geometria ellittica, dove le rette sono linee non chiuse. Un risultato comune alle due geometrie � che la somma degli angoli interni di un triangolo � maggiore di due retti.

23. Modello di Riemann Il modello di Riemann fa riferimento ad una superficie sferica S di raggio r e centro O.

24. Riemann e la geometria ellittica L�approccio di Bernhard Riemann (1826 -1866) alla geometria � completamente diverso da quello dei suoi predecessori. Egli considera lo spazio da un punto di vista analitico anzich� sintetico. Il concetto base delle Teorie di Riemann � quello di variet� n-dimensionali, cio� l�insieme di n-ple di numeri reali. Il piano � una variet� bidimensionale, lo spazio � una variet� tridimensionale.

25. Il punto di vista astratto permette di dare ai risultati teorici una validit� generale, che prescinde dalle propriet� fisiche dello spazio. Naturalmente le variet� a quattro o a pi� dimensioni non potranno essere � visualizzate� dalla nostra intuizione geometrica. I concetti chiave dell�impostazione di Riemann sono la distanza tra due punti e la geodetica. La geodetica � una linea che ha la propriet� di rappresentare il cammino pi� breve tra due punti. Nello spazio euclideo � una linea retta, ma se muta il concetto di distanza, muta anche la forma della geodetica.

26. Per chi si muove sulla superficie terrestre il percorso pi� breve tra due punti non � una retta, ma un arco di circonferenza! Dati i punti Po( xo;yo) e P(xo+dx; yo+dy) Riemann dimostra che la distanza tra di essi pu� essere rappresentata dalla funzione ds che gode di tutte le propriet� della distanza tra due punti: la distanza di un punto da se stesso � nulla; la distanza di un punto A da un punto B � uguale alla distanza di B da A; la distanza di A da B � minore o uguale alla somma delle distanza da un punto C da A e da B.

27. Se a = c =1 e b=0, ds coincide con l�ordinaria distanza nel piano euclideo in cui le geodetiche sono rette. Ma se a,b e c hanno valori diversi? Riemann dimostra che le propriet� geometriche di una variet� dipendono da un certo numero , che chiama curvatura dello spazio e che � funzione dei parametri a,b,c. Le variet� a curvatura costante possono essere: a curvatura costante negativa: vale la geometria iperbolica di Lobacevskij; a curvatura costante nulla: gli spazi piani dove vale la geometria euclidea; a curvatura costante positiva : vale la geometria ellittica.

29. La rivoluzione non euclidea � "una rivoluzione scientifica, importante quanto la rivoluzione copernicana in astronomia, la rivoluzione darwiniana in biologia, o quanto la rivoluzione newtoniana o quella del secolo XX in fisica, rivoluzione che � per� di gran lunga meno nota perch� i suoi effetti sono stati pi� indiretti: una rivoluzione nata dall'invenzione di un'alternativa alla tradizionale geometria euclidea."

30. Geometria, spazio fisico e relativit� generale Fino all�inizio dell�Ottocento si pensava che potessero esistere una sola geometria ( quella euclidea) e un solo tipo di spazio fisico ( lo spazio assoluto di Newton), le cui propriet� non potevano essere in alcun modo alterate dai corpi in movimento nel suo interno. La scoperta di una pluralit� di geometrie insieme all�avvento della teoria della relativit� generale di A.Einstein (1879 � 1955) ha cambiato radicalmente la situazione. Se si possono �immaginare� molte geometrie, lo spazio fisico non deve necessariamente essere euclideo.

31. Con la teoria della relativit� generale del 1916 Einstein ha proposto una nuova teoria della gravitazione universale, che corregge quella di Newton, in alcuni punti fondamentali. Essa prevede l�esistenza di un rapporto tra spazio e materia : la presenza di materia pu� �deformare� lo spazio nei termini seguenti: lo spazio pu� essere globalmente curvo e deve presentare curvature a livello locale; l�eventuale curvatura �globale� dello spazio dipende dalla densit� di materia che in esso si trova; le deformazioni �locali� sono prodotte dai corpi in virt� della loro massa: sono tanto maggiori quanto pi� grandi sono le masse dei corpi Il problema della curvatura globale dello spazio � divenuto fondamentale per la moderna cosmologia , la branca della scienza che tenta di descrivere l�universo come un tutto, sulla base delle osservazioni astronomiche e delle leggi fisiche note.

32. L�esistenza delle deformazioni �locali�, previste da Einstein � stata brillantemente confermata sin dal 1919, durante l�osservazione di un�eclissi totale di Sole, da parte di una spedizione della Royal Astronomical Society, sull�isolotto di Principe, al largo delle coste occidentali dell�Africa. In quella occasione si osserv� che la massa del Sole � in grado di deviare i raggi di luce provenienti da stelle lontane, quando questi passano nelle sue vicinanze. Le stelle vengono cos� osservate in posizioni diverse da quelle che dovrebbero occupare. Questo fatto , totalmente inspiegabile sulla base della teoria di Newton, indica che lo spazio � incurvato dalla massa del Sole e che la luce, passando nelle sue vicinanze, percorre linee che non coincidono con le rette euclidee.

34. Sitografia e Bibliografia http://progettomatematica.dm.unibo.it/NonEuclidea/index.htm http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Apr_02/APPUNTI.HTM serenascarpa.blogspot.com/2007_10_01_archive.html http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_non_euclidea http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Maggio_05/Escher.htm ( sull�opera di M.C. Escher) Bergamini, Trifone, Neri, Tazzioli : �Le geometrie non euclidee e i fondamenti della matematica� - Ed. Zanichelli Dodero � Baroncini � Manfredi :� Nuovi elementi di Matematica� � vol. C � Ghisetti e Corvi Editori

35. Quesiti sulle �Geometrie non euclidee� ( Esami di Stato PNI) Esame di Stato PNI 2007: 5) Si consideri il teorema: �la somma degli angoli interni di un triangolo � un angolo piatto� e si spieghi perch� esso non � valido in un contesto di geometria non-euclidea. Quali le formulazioni nella geometria iperbolica e in quella ellittica? Si accompagni la spiegazione con il disegno. Esame di Stato PNI 2008: 7) Perch� � geometria �non� euclidea? Che cosa e come viene negato della geometria euclidea? Si illustri la questione con gli esempi che si ritengono pi� adeguati. Esame di Stato PNI 2009: 10) Se due punti P e Q del piano giacciono dalla stessa parte rispetto ad una retta AB e gli angoli PA�B e OB�A hanno somma minore di 180�, allora le semirette AP e BQ, prolungate adeguatamente al di l� dei puntiP e Q, si devono intersecare�. Questa proposizione � stata per secoli oggetto di studio da parte di schiere di matematici. Si dica perch� e con quali risultati.