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Raciocínio Aproximado

Raciocínio Aproximado. Relações Clássicas Relações Difusas Implicação: se A então B Lógica Clássica Lógica Difusa : regras difusas e operações de composição Princípio de Extensão e Raciocínio Aproximado : se A’ então B’. Ross – cap 7: Classical Logic and Fuzzy Logic.

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Raciocínio Aproximado

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  1. Raciocínio Aproximado • Relações Clássicas • Relações Difusas • Implicação: se A então B • Lógica Clássica • Lógica Difusa : regras difusas e operações de composição • Princípio de Extensão e Raciocínio Aproximado: se A’ então B’ Ross – cap 7: Classical Logic and Fuzzy Logic Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  2. Raciocínio aproximado: regra difusa e operação de composição • Regra difusa: A e B são conjuntos difusos. • Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B • Regra 1: A  B = R=(AxB)U(AxY) Produto Cartesiano • Considerando uma nova entrada (antecedente) A’ teremos a saída (conseqüente) B’: B’= A’RRelação R Operação de Composição Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  3. Regras Saídas “crisp” Entradas “crisp” Fuzzificação Desfuzzifica-ção Inferência Fuzzy Sistema Difuso: raciocínio aproximado Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  4. Relações Clássicas • Produto Cartesiano: • Uma seqüência ordenada de n elementos (a1, a2, a3, ... , an) é chamada de n-tupla ordenada. • Sejam os conjuntos A1, A2, A3, ... , Ar então o conjunto de todas as r-tuplas, onde a1A1, a2A2 e arAr , é chamado de PRODUTO CARTESIANO A1xA2xA3x ... xAr • Quando Ar são iguais a A então o produto cartesiano A1xA2xA3x ... xAr é denotado por Ar Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  5. Produto Cartesiano: exemplos • Para os conjuntos A={0, 1} e B={a, b, c} temos os seguintes produtos cartesianos: • AxB= {(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c)} • BxA= {(a, 0), (b, 0), (c, 0), (a, 1), (b, 1), (c, 1)} • AxA=A2= {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  6. Produto Cartesiano: relações n-árias • Um subconjunto do Produto Cartesiano A1xA2x ... xAn é chamada de um RELAÇÃO n-ária sobre A1,A2, ... ,An. • O PRODUTO CARTESIANO de dois universos X e Y é definido como: X x Y = {(x,y) | xX e yY} xX e yY • A força desta RELAÇÃO entre os pares ordenados de elementos é definida pela função característica א a seguir: אXxY (x,y) =1 se (x,y)  XxY (completamente relacionado) 0 se (x,y)  XxY (não relacionado) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  7. R a b c 1 2 3 X Y 1   a 2   b 3   c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 R = Produto Cartesiano: representação • Um subconjunto do Produto Cartesiano A1xA2x ...xAn é chamada de um RELAÇÃO n-ária sobre A1,A2, ... ,An. • Diagrama Sagittal • Matriz de Relação - Cardinalidade da relação R : nx*ny Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  8. Relações Clássicas: operações Sejam duas relações R e S no universo cartesiano X x Y: • União: RS • RS(x,y) = max [R(x,y) , S(x,y) ] • Intersecção: RS • RS(x,y) = min [R(x,y) , S(x,y) ] • Complemento: R •  R(x,y) = 1 - R(x,y) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  9. Relações Clássicas: operações Sejam duas relações R e S no universo cartesiano X x Y: • Contido: RS • R(x,y)  S(x,y) • Identidade: •   O e X  E onde a relação O é a relação nula (matriz nula) e a relação E é a relação universal ou completa (matriz identidade) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  10. R S X Y Z x1 y1 x2 y2 z1 x3 y3 z2 Relações Clássicas:composição A relação T é uma relação de COMPOSIÇÃO na forma T= RS Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  11. z1 z2 y1 y2 y3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 R = S = z1 z2 x1 x2 x3 0 1 0 0 0 0 T = COMPOSIÇÃO: max-min Relações Clássicas:composiçãoT= RS Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  12. Relações Clássicas: exemplos de composição Sejam as relações R, S e T= RS: • Composição max-min: • T(x,z) = max [min((R(x,y) , S(y,z) )] yY • Composição max-produto ou max-dot : • T(x,z) = max [(R(x,y) * S(y,z) )] yY Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  13. Inferência Dedutiva: exemplo Sejam os universos de discurso X e Y definidos por X={1,2,3,4} e Y={1,2,3,4,5,6}. Sejam os conjuntos clássicos A={2,3} e B={3,4}. Obtenha a matriz de relação para a regra “Se A então B”, utilizando R= (AxB)  (A x Y) R(x,y) = max [(A(x)  B(y) ), ((1- A(x)) 1) ] (cap. 7, pag 195 - ROSS) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  14. Relações Difusas: princípio da extensão • Mapeiam os elementos de um universo X para outro universo Y • Produto Cartesiano X x Y • A força da relação para os pares (x,y) é definida em [0;1] por uma Função de Pertinência. • A cardinalidade de uma relação difusa R é infinita Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  15. Relação Difusa R: princípio da extensão • Sejam dois conjuntos difusos A em X e B em Y então o produto cartesiano AxB=R XxY • A relação difusa R tem a seguinte função de pertinência R(x,y) = AxB(x,y) =min [A(x) , B(y) ] Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  16. Operação de Composição Raciocínio aproximado: regra difusa eoperação de composição • Regra difusa: A e B são conjuntos difusos • Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B • Regra 1: A  B = R=(AxB)U(AxY) Produto Cartesiano • Considerando uma nova entrada (antecedente) A’ teremos a saída (conseqüente) B’: B’= A’R Relação R Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  17. Relações Difusas: operações padrão • União: RS • RS(x,y) = max [R(x,y) , S(x,y) ] • Intersecção: RS • RS(x,y) = min [R(x,y) , S(x,y) ] • Complemento: R •  R(x,y) = 1 - R(x,y) • Contido: RS •  R(x,y)  S(x,y) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  18. Relações Difusas: propriedades • ATENDEM: • Comutatividade, associatividade, distributividade, involução e idempotência. • NÃO ATENDEM: • Leis do meio excluído: • R  R  E (relação completa, identidade) • R R  O (relação nula, nula) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  19. Lógica Difusa: • Raciocínio aproximado: • proposições imprecisas • extensão da lógica de predicados • valores de verdade [0, 1] Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  20. Lógica Clássica: inferência dedutiva (Modus Ponens) Regra R: Se A então B • onde A é definido no universo X e B é definido no universo Y • A regra é considerada uma RELAÇÃO entre os conjuntos A e B • R= (AxB)  (A x Y) • supondo um novo antecedente A’ então temos um novo conseqüente B’ • regra: Se A’ então B’ • onde B’ = A’R = A’  ((AxB)  (A x Y)) • R(x,y) = max [(A(x)  B(y) ), ((1- A(x))  1) ] Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  21. Operação de Composição Lógica Difusa: Raciocínio aproximado • Regra difusa: A e B são conjuntos difusos. • Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B • Regra 1: A  B = R=(AxB)U(AxY) Produto Cartesiano • Considerando uma nova entrada (antecedente) A’ teremos a saída (conseqüente) B’: B’= A’RRelaçãoR Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  22. Formas de Implicação Difusa Para a relação difusa R com base na regra SE A então B, isto é R = A  B, temos: Mamdani:R(x,y) = min [ A(x) , B(y) ] Lukasiewicz:R(x,y) = min [1, ( 1- A(x)+ B(y) ] Soma Limitada:R(x,y) = min [ 1, (A(x) + B(y)) ] Goguen:R(x,y) = min [1, ( B(y)/ A(x) ] Ross – cap 7: pag 209 Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  23. Formas de Composição Difusa Composição B’ = A’ R temos para todo xX: max-min:B’(y) = max{min [ A’(x) , R(x,y) ] } max-produto:B’(y) = max { A’(x)* R(x,y)} min-max:B’(y) = min{max [ A’(x) , R(x,y) ] } max-max:B’(y) = max{max [ A’(x) , R(x,y) ] } min-min:B’(y) = min{min [ A’(x) , R(x,y) ] } Ross – cap 7: pag 210 Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

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