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GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIO POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS

GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIO POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS. TEMA 5 Pág: 116-119. POSICIONES RELATIVAS DOS PLANOS. Las posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres: • SECANTES: tienen en común los puntos de una recta. • PARALELOS: no tienen ningún punto en común.

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  1. GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIOPOSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS TEMA 5 Pág: 116-119

  2. POSICIONES RELATIVAS DOS PLANOS Las posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres: • SECANTES: tienen en común los puntos de una recta. • PARALELOS: no tienen ningún punto en común. • COINCIDENTES: tienen todos sus puntos en común.

  3. Dados dos planos Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada

  4. Ejemplos: - Pág 116: 8 • Calcular “a” para que los planos x-y+3z=0 y 2x-ay+6z =3 sean paralelos • Calcula “m” para que los planos x+4y =2 y mx+3y-4z =4 sean perpendiculares.

  5. POSICIONES RELATIVAS TRES PLANOS • Las posiciones relativas de tres planos en el espacio son ocho, agrupadas en cinco casos: • • Secantes en común un punto. • • Se cortan dos a dos o uno a los otros dos que son paralelos. • Se cortan en una recta en forma de haz o porque dos son iguales. • Son paralelos, o dos son iguales y el tercero paralelo. • • Coincidentes: tienen todos sus puntos en común.

  6. Dados tres planos Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada

  7. Ejemplos: - Pág 125: 2 - Posición relativa de tres planos en función de un parámetro: Pág 125: 3 a, b - Calcula “m” para que los planos : x +y – z + 2 = 0, 2x – y + mz + 5 = 0 y 3x + 2z + 7 = 0 se corten en una recta. Escribe la recta en forma paramétrica.

  8. POSICIONES RELATIVAS RECTA y PLANO • Las posiciones relativas que pueden tener una recta y un plano en el espacio son las siguientes: • Secantes: tienen un punto en común. • Paralelos: no tienen ningún punto en común. • Recta contenida en el plano: todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

  9. Dados la recta y el plano: Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada

  10. Dados la recta y el plano: Sustituimos los valores de x, y, z de la recta en el plano y despejamos t

  11. Ejemplos: • Pág 118: 9 • Pág 127: 22 (parámetro) - Determina el valor de “a” para que la recta r: y el plano π: x + y – z + 3 = 0 sean paralelos. • Determina el valor de “m” para que la recta. r: x – y + z = 2, x + z = 1 y el plano 3x - mz = 1 sean perpendiculares

  12. POSICIONES RELATIVAS DOS RECTAS • Dos rectas en el espacio pueden tener las siguientes posiciones entre sí: • SE CRUZAN: no tienen ningún punto en común (no están situadas en el mismo plano). • SECANTES: tienen un punto común • PARALELAS: no tienen ningún punto en común COINCIDENTES: tienen todos los puntos en común. En los tres últimos casos, las rectas están en el mismo plano

  13. r : s : Dadas las rectas Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada

  14. Dadas las rectas r : s :

  15. Ejemplos: - Pág 119: 10 • Pág 127: 21 (parámetro) • Determina el valor de “a” para que las rectas r: y s: estén situadas en el mismo plano - Halla “k” para que las rectas r: y s: sean perpendiculares .

  16. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD • Entre dos rectas r y s: • Entre dos planos α y β: • Entre una recta r y un plano α:

  17. Ejercicios: - Pág 127: 18 a, 19 a, 20 - Pág 128: 30, 32 a, 34 • Sea “a” un número real, y las rectas r: y s: . Para el valor de “a” para el que r y s son paralelas, halla el plano que las contiene.

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