Dane informacyjne:

2. Dane informacyjne: Nazwa szkoły:Gimnazjum w Wierzbnie ID grupy:98/29_MF_G1 Opiekun grupy: Dorota Kryś Kompetencja:Matematyka i fizyka Temat projektowy: Semestr: trzeci/rok szkolny:2010/ 2011 „Geometria trójkąta”

3. Cele tematu projektowego • Rozwój wiedzy • uporządkowanie i utrwalenie dotychczasowych wiadomości o trójkątach • poznanie nowych twierdzeń opisujących własności trójkątów • Rozwój umiejętności • przypomnienie i rozszerzenie umiejętności odpowiedniego posługiwania się cyrklem i linijką przy rozwiązywaniu problemów konstrukcyjnych w trójkącie. • samodzielnego stawiania i rozwiązywania problemów w różnych sytuacjach geometrycznych. • kształtowanie umiejętności posługiwania się technologią informacyjną, • kształtowanie umiejętności przygotowania i publicznego prezentowania wyników swojej pracy. • Rozwój postaw • rozwijanie ciekawości poznawczej i umiejętności badawczych. • rozwijanie sprawności umysłowej oraz osobistych zainteresowań uczniów. • rozwijanie samodzielności uczniów oraz umiejętności organizacji pracy własnej. • kształtowanie i rozwijanie umiejętności współpracy w zespole i podejmowania decyzji grupowych. • kształtowanie umiejętności planowania działań. • kształtowanie postawy systematyczności i odpowiedzialności za przydzielone zadania

4. „Gdyby trójkąty stworzyły sobie Boga, zrobiłyby go o trzech bokach”. Charles Louis de Secondat Montesquieu

5. Spis treści: Podstawowe wiadomości o trójkątach Twierdzenia opisujące własności trójkątów Zadania konstrukcyjne Programy komputerowe do geometrii Trójkąty wokół nas W świecie trójkątów Ciekawostki Zabawy, zagadki, rebusy z trójkątami Galeria zdjęć

6. Trójkąt Trójkąt to figura płaska będąca wielokątem o trzech bokach. Jeden z boków trójkąta jest nazywany podstawą. Inne definicje: Trójkątem nazywamy część wspólną trzech półpłaszczyzn, których brzegi zawierają w sobie odpowiednie boki trójkąta ,gdzie wierzchołek nie należący do brzegu leży na półpłaszczyźnie. Trójkąt to część płaszczyzny ograniczona przez odcinki łączące trzy niewspółliniowe punkty.

7. Kąty w trójkącie Dowód:

8. Zadanie 1 Oblicz miary kątów w trójkącie, jeżeli ich wzajemny stosunek wynosi 3: 2: 4. Rozwiązanie: 3x, 2x, 4x- miary kątów trójkąta Suma kątów w trójkacie wynosi 1800 3x + 2x + 4x = 180 9x = 180 /:9 X = 20 3x = 3 · 20 = 60 2x = 2 · 20 = 40 4x = 4 · 20 = 80 Odp. Trójkąt ma kąty o miarach 600, 400, 800.

9. Warunek trójkąta

10. Wysokość trójkąta

11. Środkowa trójkąta

12. Symetralna boku Dwusieczna kąta

13. Twierdzenie o dwusiecznej

14. Podział trójkątów ze względu na boki ze względu na kąty równoboczny ostrokątny równoramienny prostokątny rozwartokątny różnoboczny

15. Wnioski

16. Trójkąt równoboczny Trójkąt równoramienny

17. Zadanie 2 Oblicz stosunek pola koła wpisanego do pola koła opisanego na trójkącie równobocznym. Rozwiązanie:

18. Problem trójkątów równoramiennych • Jaki musi być ten kąt, aby pole powierzchni było największe? W trójkącie równoramiennym o stałej długości ramienia zmieniamy kąt przy wierzchołku. Odpowiedź podyktowana intuicją brzmi: trójkąt równoboczny ma największe pole. Wynika to z doświadczeń z różnymi problemami, dotyczącymi optymalizacji, w których rozwiązaniem jest często trójkąt równoboczny, oraz szukaniem rozwiązań w symetrii. Przeanalizujmy jednak tę sytuację - wyobraźmy sobie, że jedno ramię jest stałą podstawą, a przesuwamy wierzchołek przy drugim ramieniu. Pole trójkąta jest równe połowie podstawy przez wysokość – tu podstawa jest stała i jasno widać, że wysokość jest największa, gdy drugie ramię tworzy z podstawą kąt prosty. Zatem największe pole ma trójkąt równoramienny prostokątny, a nie równoboczny.

19. Trójkąt prostokątny

20. Twierdzenie Pitagorasa Założenie: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, Teza : to zachodzi równość Odkrycie tego twierdzenia w naszym zachodnio-europejskim kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.

21. Twierdzenie odwrotne Założenie : Jeżeli suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanemu na przeciwprostokątnej, Teza: to trójkąt jest prostokątny.

22. Dowód twierdzenia Pitagorasa • Dany jest trójkąt prostokątny o bokach a, b i c jak na rysunku. Za pomocą czterech takich trójkątów układamy figurę przedstawioną po prawej stronie poniższej ilustracji. Drugi trójkąt umieszczamy tak, żeby jego bok a był w jednej linii z bokiem b pierwszego trójkąta, a boki c tworzyły kąt prosty (jest to możliwe, bo kąty w trójkącie sumują się do podwojonego kąta prostego). Następnie ustawiamy bok a trzeciego trójkąta w jednej linii z bokiem b drugiego, znów tak, aby boki c tworzyły kąt prosty. Domykamy kwadrat o boku a+b, umieszczając bok a czwartego trójkąta w linii z bokiem b trzeciego. • Z jednej strony pole powierzchni tego kwadratu to (a+b)2 , bo a+b jest długością jego boku. • Z drugiej strony, kwadrat utworzony jest przez cztery przystające trójkąty, każdy o polu ab/2 oraz środkowy kwadrat o boku c. Tak więc całkowite pole dużego kwadratu można zapisać jako 4·ab/2+c2. • Te dwa wyrażenia możemy przyrównać i uprościć: • (a + b)² = 4 · ab/2 + c² • a ² + 2ab + b ²= 2ab + c ² • Stąd wynika, że a ² + b ² = c ²

23. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

24. Wybrane zadania z testu „Geometria trójkąta” Zadanie 16 W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 8 m i 6 m odległość wierzchołka kata prostego od przeciwprostokątnej wynosi … Zadanie 12 Przezwierzchołek kwadratu o boku długości 5 poprowadzono prostą dzielącą kwadrat na trójkąt i trapez. Jeżeli pole trójkąta wynosi 15/2, to przekątne trapezu maja długości …

25. Zależności miedzy bokami w trójkącie prostokątnym

26. Przykłady zależności miedzy bokami w trójkącie prostokątnym

27. Trójkąt równoboczny z kartki A4 Aby zbudować trójkąt równoboczny musimy kąt 90°, jaki ma prostokątna kartka, podzielić na kąty 60° i 30°. Weź kartkę A4 (jej połówkę lub ćwiartkę) i przyjmij, że jej wysokość wynosi 1. Przypomnij sobie również, że trójkąt prostokątny o kącie 30° ma, naprzeciw kąta 30° bok, którego długość jest równa połowie przeciwprostokątnej. Spróbuj teraz zagiąć róg kartki w taki sposób, aby otrzymać kąty 60° i 30°. Jeśli w dalszym ciągu masz problemy spójrz na rysunek . Czy już wiesz jak zagiąć kartkę?

28. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

29. Przykłady funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym

30. Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych miar kątów

31. Zadanie 3 Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się 2. Rozwiązanie:

32. Jak obliczyć pole trójkąta? Dowód:

33. Trójkąty przystające czyli kiedy trójkąty są bliźniakami....

34. Cechy przystawania trójkątów

35. Symetria osiowa i środkowa trójkąta

36. Cechy podobieństwa trójkątów

37. Twierdzenie Talesa Założenie: Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, Teza : to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

38. Dowód twierdzenia Talesa Niech AC || BD S2 = S3 Wówczas wynika, że:

39. Zadanie 4 W słoneczny dzień chłopiec o wzroście 1,6 m rzuca cień długości 2 m. Oblicz wysokość drzewa, którego cień wynosi 12 m. Rozwiązanie:

40. Twierdzenie cosinusów- Carnota

41. Twierdzenie sinusów- Snelliusa

42. Twierdzenie Stewarta Niech a, b, i c będą długościami boków trójkąta. Niech d będzie dowolnym odcinkiem (czewianą) łączącym wierzchołek naprzeciwko boku długości a z punktem na tym boku. Niech czewiana dzieli bok a na dwa odcinki o długościach m i n. Wówczas b2m + c2n = a(d2 + mn) Twierdzenie to dotyczy związku między długościami boków trójkąta a tzw. czewianą. Udowodnione i opublikowane przez szkockiego matematyka Matthew Stewarta w roku 1746.

43. Prosta Eulera • W geometrii euklidesowej na płaszczyźnie to prosta, która przechodzi przez ortocentrum danego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów. Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego, a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.

44. Okrąg dziewięciu punktów • Znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to okrąg, który przechodzi przez środki boków (na rysunku niebieskie) dowolnego trójkąta. Okrąg Feuerbacha przechodzi ponadto przez spodki trzech wysokości (czerwone) oraz przez punkty (zielone) dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum. Środek okręgu Feuerbacha leży na prostej Eulera i jest środkiem odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś jego promień jest równy połowie promienia okręgu opisanego.

45. Zadania konstrukcyjne Kanon postępowania przy rozwiązywaniu zadań konstrukcyjnych, a także dobór środków konstrukcyjnych zostały ustalone w Akademii Platońskiej. W starożytności i jeszcze długo później panowało przekonanie, że za pomocą cyrkla i linijki można rozwiązać wszystkie zadania konstrukcyjne, chociaż starożytni Grecy znali problemy, których nie umieli rozwiązać dostępnymi im środkami .

46. Opis konstrukcji dwusiecznej kąta 1. Kreślimy łuk z wierzchołka kąta. 2. Kreślimy łuki o jednakowym promieniu i środkach w punktach zaznaczonych na ramionach kąta. 3.Rysujemy półprostą, która zawiera punkt przecięcia łuków oraz wierzchołek kąta. Jest to dwusieczna kąta.

47. Konstrukcja trójkąta równobocznego o boku AB Na dowolnej prostej zaznacz dowolny odcinek AB, który ma być bokiem trójkąta. Następnie odmierz cyrklem długość odcinka AB i zakreśl dwa okręgi: jeden o środku w punkcie A i drugi o środku w punkcie B. Jeden z punktów przecięcia się okręgów oznacz literą C. Połącz odcinki AC i BC. Powstały w ten sposób trójką ABC jest trójkątem równobocznym.

48. W trójkącie równoramiennym dany jest bok i promień okręgu wpisanego. Skonstruuj ten trójkąt. Mamy tu dwa przypadki do rozpatrzenia. Pierwszy przypadek: dany bok jest podstawą trójkąta równoramiennego. Konstrukcja może wyglądać tak: ze środka podstawy prowadzimy prostopadłą, odkładamy na niej promień tak, by jeden jego koniec leżał na podstawie, z drugiego końca promienia zakreślamy okrąg o tym promieniu, z końców podstawy prowadzimy styczne do okręgu, punkt przecięcia stycznych wyznacza wierzchołek trójkąta równoramiennego. Bez trudu zauważamy, że promień okręgu wpisanego musi być krótszy od połowy podstawy, żeby konstrukcja była możliwa. Drugi przypadek: dany bok jest ramieniem trójkąta. Tu spotyka nas przykra niespodzianka. Konstrukcji nie da się wykonać! Nie dlatego, że dane są źle dobrane. Po prostu za pomocą cyrkla i linijki nie możemy skonstruować poszukiwanego trójkąta. Można to udowodnić, wykorzystując odpowiednie teorie matematyczne. Istnieją więc dające się prosto sformułować zadania, których nie można rozwiązać za pomocąklasycznych środków.

49. Okrąg opisany na trójkącie R- promień okręgu opisanego R = h- wysokość trójkąta r- promień okręgu wpisanego r = h- wysokość trójkąta R = 2r

50. Wybrane programy komputerowe Program komputerowy CABRIzostał stworzony po to, by umożliwić samodzielne odkrywanie geometrii. Pozwala on na budowanie wszelkich figur geometrycznych. Po utworzeniu figury można ją "deformować", "chwytając" jej elementy bazowe i przemieszczając je, przy zachowaniu wszystkich własności, które zostały figurze przypisane. Nie tylko umożliwia pomiar długości i kątów, lecz daje szansę obserwowania zmian tych miar w wyniku modyfikacji figury.