F II–7 Magnetic ké pole II

1. FII–7Magneticképole II

2. Hlavní body • Síly působící na pohybující se náboje • Biot-Savartův a Ampérův zákon • Magnetickédipóly • Výpočet některých magnetických polí • Solenoid • Toroid • Použití Lorentzovy síly • Náboje v elektrickém i magnetickém poli • Hmotnostní spektroskopie • Hallův jev

3. Síly působící na elektrické proudy IV • Ze vztahu popisujícím sílu působící na elektrické proudy mohou být odvozeny jednotky a rozměry. • V soustavě SI je jednotkou magnetické indukce B 1 Tesla, zkratka T, 1T = 1 N/Am • Běžně se jestě používají některé starší jednotky, např. 1Gauss: 1G = 10-4 T

4. Síla působící na elektrický náboj v pohybu I • Protože proudy jsou pohybující se elektrické náboje, platí pro proudy vše, co platí pro náboje v pohybu. • Síla , kterou působí magnetické pole o indukci na náboj q, pohybující se rychlostí je popsána Lorentzovým vztahem:

5. Síla působící na elektrický náboj v pohybu II • Obecněji se Lorentzovou silou nazývá síla, která zahrnuje společné působení elektrických a magnetických sil: • Tento vztah může být považován za definici elektrických a magnetických sil a může být i počátečním bodem pro jejich studium.

6. Síla působící na elektrický náboj v pohybu III • Lorentzova síla je centrem celého elektro- magnetismu. Vrátíme se k ní probráním několika příkladů a zjistíme, že pomocí ní lze jednoduše vysvětlit téměř všechny elektromagnetické jevy. • Nyní si ukážeme, jak je magnetické pole generováno kvantitativně.

7. Biot-Savartův zákon I • Existuje mnoho analogií mezi elektrostatickým a magnetickým polem a nabízí se otázka, zda existuje vztah analogický Coulombovu zákonu, který by popisoval, jak na sebe působí dva krátké rovné kousky vodičů, protékaných proudem. Takový vztah existuje ale právě jeho složitost je důvodem pro rozdělení problémů magnetismu na generaci polí a jejich působení.

8. Biot-Savartův zákon II • Vše, co je potřebné pro nalezení sil, kterými na sebe působí dva makroskopické vodiče libovolné velikosti a tvaru je aplikovat princip superpozice a integrovat. • V obecném případě se takovým způsobem musí postupovat, ale v případě speciální symetrie existuje analogická pomůcka, jako je Gaussova věta elektrostatiky.

9. Ampèrův zákon • Podobně jako v případě elektrostatického pole existuje v magnetismu zákon, který může výrazně usnadnit výpočty v případech speciální symetrie a může být také použit pro vysvětlení fyzikálních myšlenek v mnoha důležitých situacích. • Je to Ampérův zákon, který dává do souvislosti integrál přes uzavřenou křivku s proudy, které tato křivka obemyká.

10. Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem I • Podobně jako při použití Gaussovy věty, je Ampérův zákon jednoduše použitelný, podaří-li se najít vhodnou integrační křivku, která je všude tečná k , čili siločáru, na níž je navíc Bvšude konstantní. Potom lze Bvytknout před integrál, který je jednoduše délkou integrační cesty – uzavřené křivky.

11. Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem II • Mějme přímý dlouhý vodič protékaný proudem I. • Předpokládáme, že B(r)je osově symetrická a vodič je přirozeně osou symetrie. • Siločáry jsou kružnice a tedy naše integračnícesta bude kružnice s poloměrem r, která prochází bodem, kde chceme zjistit velikost magnetického pole. Potom:

12. Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem III • Vektory magnetické indukce jsou tečné ke kružnicím, jejichž centrem je vodič, které jsou tudíž siločaramy, a klesá s první mocninou vzdálenosti. • To je situace podobná jako u elektrostatického pole dlouhého nabitého vodiče. Ovšem siločáry elektrického pole jsou radiální, zatímco siločáry pole magnetického jsou kružnice, tedy jsou navzájem v každém bodě kolmé.

13. Síla mezi dvěma přímými vodiči I • Mějme dva dlouhé rovné paralelní vodiče vzdálené d, protékané proudyI1 a I2, které mají stejný směr. • Nejprve nalezneme směry sil a potom, díky symetrii, můžeme jednoduše pracovat s velikostmi. Je vhodné pracovat se silami na jednotku délky:

14. Síla mezi dvěma přímými vodiči II • Protože síla se relativně snadno měří, je tento vztah použit jako definice 1 ampéru: 1 ampér je konstatníproud, protékaný dvěma přímými, rovnoběžnými, nekonečně dlouhýmy vodiči o zanedbatelném průřezu, vzdálenými 1 metr, který by způsobil sílu rovnou 2 10-7 Nnametr jejich délky.

15. Magnetický dipól I • V elektrostatice jsme definovali elektrickýdipól: Představujeme si jej jako dva náboje, které mají stejnouabsolutníhodnotu ale opačnoupolaritu a jsou drženy v určité vzdálenosti od sebe například pomocí pevné tyčinky. • Přestože celkový náboj je nulový, je díky rozdílné poloze obou nábojů dipól zdrojem elektrostatického pole speciální symetrie, které klesá rychleji než pole bodových nábojů. • Vnější elekrické pole se obecně snaží dipól natáčet a je-li nehomogenní i posunovat.

16. Magnetický dipól II • Magnetickým dipólem jsou buď tenké ploché permanentnímagnety nebo proudovésmyčky. • Jsou opět zdroji polí speciálnísymetrie, která také klesají rychleji než pole přímých vodičů a • ve vnějších magnetických polích jsou natáčeny nebo posunoványpodobně jako elektrické dipóly. • Pomocí magnetickýchdipólů vysvětlujeme magnetickévlastnostilátek.

17. *Magnetický dipól III • Mějme kruhovou vodivou smyčku o poloměru a, protékanou proudem I. Popišme magnetické pole na ose smyčky ve vzdálenosti b. • Rozdělme smyčku na malé kousíčky dl = ad asečtěme vektorově jejich příspěvky k magnetické indukci s použitím Biot-Savartova zákona.

18. *Magnetický dipól IV • Ze symetrie je směr magnetické indukce stejný jako směr osy smyčky, kterou nazveme osouz.V tomto případě znamená integrace pouze součet projekcí magnetické indukce do osy z dBz = dB sin . A z geometrie: sin = a/r  1/r2 = sin2 /a2 r2 = a2 + b2 • Proveďme integraci.

19. Magnetický dipól V • Protože magnetické dipóly jsou zdroji magnetického pole, jsou jím také ovlivňovány. • V homogenním magnetickém poli bude na magnetický dipól působit momentsíly, který bude jejich osunatáčet do směru magnetických siločar. • Ilustrujme to na speciálním případě obdélníkové smyčky a x b, kterou protéká proud I.

20. Magnetický dipól VI • Z obrázku vidíme, že síly působící na strany ase snaží smyčku roztáhnout. Je-li pevná, síly se vyruší. • Síly působící na strany b jsou horizontální. Horní působí do tabule a spodní z tabule. Lze je rozložit na složky z nichž jednen pár se snaží smyčku roztáhnout, ale druhý tvoří dvojicisil mající otáčivý účinek.

21. Magnetický dipól VII • Momentsíly můžeme najít například nalezením projekce sílykolmo na smyčku: T/2 = Fbsin a/2 • Protože obě síly působí ve stejném smyslu: T = BIabsin • Užitím definice magnetickéhodipólovéhomomentu: lze vztah pro momentsíly zobecnit :

22. Magnetické pole solenoidu I • Solenoidje dlouhá cívka s mnoha závity. • V případě konečného solenoidu je nutné magnetické pole počítat jako superpozici magnetické indukce vyvolané jednotlivými závity. • V případě solenoidu téměř nekonečného, kdy lze zanedbat okrajové efekty, můžeme elegantně použít ampérova zákona.

23. Magnetické pole solenoidu II • Jako uzavřenou křivku zvolíme obdélník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné s osou solenoidu. • Ze symetrie lze předpokládat, že siločáry budou paralelní s osou solenoidu. • Protože se uzavřené siločáry vrací „celým vesmírem“ jsou vně solenoidu nekonečně zředěny.

24. Magnetické pole solenoidu III • Je zřejmé, že nenulový příspěvek křivkového integrálu bude pouze přes stranu obdélníka, která je uvnitř solenoidu. • Obklopuje-li obdélník N závitů s proudem I a jeho strana má délku l, potom: Bl = 0NI • A zavedeme-li hustotu závitů, potom: n = N/l  B = 0nI

25. Magnetické pole solenoidu IV • Ze symetrie je patrné, že výsledná indukce je stejná, ať je náš obdélník ponořen do nitra solenoidu libovolně hluboko. Úvnitř dlouhého solenoidu je tedy homogenní pole. • Pole co nejblížší homogennímu v určitém objemu je nutné vytvořit u mnoha metod např. hmotnostní spektroskopie nebo NMR. • Relativně kvalitní pole lze získat pomocí tzv. Helmholtzových cívek. To je velmi krátký solenoid o velkémprůměru, rozdělený na půlky.

26. Magnetické pole toroidu I • Toroid si lze představit jako solenoid uzavřený do sebe. Protože siločáry nemohou uniknout, nemusíme dělat žádné předpoklady o jeho velikosti. • Má-li toroid střední poloměr R a N závitů, protékaných proudem I, můžeme jednoduše ukázat, že pole jen v toroidu a vypočítat jaká bude jeho velikost pro určitou siločáru.

27. Magnetické pole toroidu II • Budeme integrovat podél siločáry o poloměru r : B2r = 0NI  B(r) = 0NI/2r • Toto platí pro každé r uvnitř toroidu. • Je patrné, že pole je: • nehomogenní, protože závisí na r. • nulovévně toroidu.

28. *Magnetické pole vodiče konečného průřezu I • Mějme přímý vodič o průměru R, kterým protéká proud I a předpokládejme konstantníproudovouhustotu. • Použijme Ampérova zákona. Uvažujme dvě kruhové dráhy, jednu uvnitř a druhou vně vodiče. • Dráha vně vodiče obemyká celý proud a pole je zde stejné jako, kdyby byl vodič nekonečně tenký. • Dráha uvnitř vodiče obemyká jen část proudu, což vede k lineární závislosti indukce na r.

29. *Magnetické pole vodiče konečného průřezu II • Uvažujme kruhovou dráhu o poloměru r uvnitř vodiče: B2r = 0Ienc • Obemknutý proud Ienc zde závisí na ploše, jejímž obodem je uvažovaná smyčka Ienc = I r2/R2  B = 0Ir/2R2

30. Znovu Lorentzova síla • Vraťme se k Lorentzově síle : a zabývejme se užitím totohoto vztahu. • Začněme pouze s magnetickým polem. • Ukažme, že platí :

31. Proudy jsou pohybující se náboje I • Mějme přímý kousek vodiče délky L kolmo na magnetickou indukci a v něm náboj q, pohybující se rychlostí v. • Na překonání vzdálenosti L bude náboj potřebovat čas : t = L/v • To odpovídá proudu : I = q/t = qv/L  q = IL/v • Dosadíme za q do výrazu pro Lorentzovu sílu : F = qvB = ILvB/v = ILB

32. Proudy jsou pohybující se náboje II • Chceme-li znát, jak se v magnetickém poli chová určitý vodič, protékaný proudem, můžeme si pro jednoduchost představit, že nosiče náboje jsou kladné a pohybují se vesměru tekoucího proudu. U většiny jevů nezáleží jakou polaritu nosiče náboje ve skutečnosti mají, ani se jimi tedy nedázjistit. Výjimkou je např. Hallův jev. • Ilustrujme to na vodivé tyčce pohybujicí se na vodivých kolejnicích v magnetickém poli.

33. Proudy jsou pohybující se náboje III • Připojme zdroj ke dvěma rovnoběžným kolejničkám, ležícím v rovině, kolmé k magnetickým siločárám. Položme na ně dvě vodivé tyčinky. V jedné budou nosiče kladné, ve druhé záporné. • Vidíme, že vzhledem k tomu, že se náboje opačné polarity pohybují při stejném směru proudu na opačnou stranu, bude síla působící na náboje rozdílné polarity a tedy i síla působící na obě tyčky stejná. Je to vlastně principelektromotoru.

34. Pohybující se náboj v magnetickém poli I • Vstřelme nabitou částici q, m rychlostí vkolmo do homogenního magnetického pole o indukci B. • Velikost síly působící na částici je F = qvB a její směr můžeme najít z vlastností vektorovéhosoučinuFvB musí tvořit pravotočivý systém. • Protože F je kolmá k v, bude neustále měnit směr pohybu, ale nikolivelikost rychlosti a výsledný pohyb částice bude kruhový.

35. Pohybující se náboj v magnetickém poli II • Výsledný pohyb je analogický pohybu planetárnímu. Lorentzova síla musí být silou dostředivou kruhového pohybu : mv2/r = qvB • Obvykle se měří r, aby se identifikovaly částice : • rje úměrné velikosti rychlosti a nepřímo úměrné specifickémunáboji a magnetické indukci.

36. Pohybující se náboj v magnetickém poli III • Tento vztah je základem pro identifikaci částic například v mlžnékomoře, používané v částicové fyzice. • Můžeme okamžitě určit polaritu částice. • Jsou-li dvě částice stejné, má ta s většímrvětšírychlost a energii. • Jsou-li stejné rychlosti, má částice s většímspecfickýmnábojemmenšír.

37. *Měření specifického náboje I • Tento princip lzepoužít k měření specifickéhonábojeelektronu. • Volné elektrony získáme ze žhavené elektrody (katody). Potom je urychlíme napětím U, necháme vletět kolmo do magnetického pole o indukci B a změříme poloměrr jejich kruhové dráhy.

38. *Měření specifického náboje II • Vyjádříme rychlost: mv2/r = qvB  v = rqB/m • Tu dosadíme do rovnice, vyjadřující zachování energie během urychlování :mv2/2 = qU q/m = 2U/(rB)2 • Veličiny na pravé straně jsou měřitelné. B lze vypočítat z proudu a geometrieelektromagnetů, obvykle Helmholtzových cívek.

39. Specifický náboj elektronu I • Původní přístup objevitele elektronu J. J. Thompsona v roce 1897 byl odlišný. • Používal zařízení známé nyní jako “rychlostní filtr”. • Použije-li se magnetické pole B a kolmé elektrické pole Esprávné polarity, projdou filtrem pouze částice, mající určitou rychlostv.

40. Specifický náboj elektronu II • Má-li částice filtrem projít, musí se navzájem kompenzovatelektrická a magnetická síla, které na ní působí : qE = qvB  v = E/B • Tato podmínka nezávisí ani na hmotnosti ani na náboji částic!

41. *Specifický náboj elektronu III • Thopson tedy : • Použil elektronové “dělo”, nyní známe jako CRT. • Označil si, kam nevychýlené elektrony dopadají při nulových polích. • Zapnul elektrické pole E a označil si výchylku. • Zapnul také magnetické pole a nastavil jeho indukci B, aby paprsek elektronů dopadal na stejné místo, jako při nulových polích.

42. *Specifický náboj elektronu IV • Vletí-li nabitá částice q/m rychlostí v do elektrického pole o intenzitě E, koná pohyb po parabolické dráze (obdobně jako při vodorovném vrhu) a po průletu úsekem pole o délce L, který trvá L/v, je odchýlena o y : y = EqL2/2mv2 • Dosadíme za rychlost v = E/B a dostaneme : m/q = L2B2/2yE

43. Hmotová spektroskopie I • Výše popsané principy jsou také základem významné analytické metody – hmotnostníspektroskopie, která funguje následovně : • Analyzovaný vzorek je separován, např. GC a ionizován. • Ionty se urychlí a nechají prolétnout rychlostnímfiltrem • Nakonec vletí kolmo do magnetickéhopole a měří se množství částic v závislosti na poloměru dráhy.

44. Hmotová spektroskopie II • Výsledkem je množství částic v závislosti na specifickém náboji, z něhož lze, alespoň principiálně rekonstruovat chemickésložení analyzované látky. • Moderní hmotnostní spektroskopy obvykle pracují s proměnným polem, aby poloměr r byl konstantní a svazek částic dopadal po stejné dráze do velice citlivého detektoru. • Základní princip ale zůstává stejný.

45. Hallův jev I • Vložme tenký(tloušťka a),podlouhlý a plochý kousek látky do homogenního magnetického pole, aby silořáry procházely kolmo největší plochou. • Protéká-li proud po délce (c), objevuje se tzv. Hallovo napětínapříč vzorku. • Polarita tohoto napětí závisí na polaritě volných nosičůnáboje a jeho velikost nese informaci o jejich pohyblivosti.

46. Hallův jev II • Okraje vzorku se budou nabíjet až do rovnováhy mezi elektrickými a magnetickými silami : qE = qvdB • Je-li rozměr napříč b, bude Hallovo napětí U : Uh = Eb = vdBb

47. *Hallův jev III • Za vd můžeme dále dosadit ze vztahu : j = I/ab = nqvd vd = I/abnq = I/abRh ZdeRh=1/nqje tzv. Hallovakonstanta, materiálový parametr, důležitý a hlediska vodivosti. • Celkově : Uh = BIRh /a  Rh = Uha/ BI

48. Urychlovače částic • Urychlovače se staví, aby se získaly nabité částice a velké energii. Obvykle používá elektrické pole k urychlování a magnetické k udržení svazku částic v určitém tvaru a k fokusaci. • Cyklotrony • Synchrotrony

49. *Cyklotrony I • Cyklotron je plochý, dutý, evakuovaný buben, rozdělený na dvě, v půdorysu, polokruhové části. Materiál musí být vodivý, ale proniknutelný pro magnetické pole, které je kolmé k plochám. Obě části jsou připojeny k vysokonapěťovému a vysokofrekvenčnímu generátoru, který přepíná polarity. • Částice jsou urychlovány při průchodu mezerou a přepínání způsobuje, že projdou jen ty, které mají správnou frekvenci kruhového pohybu.

50. *Cyklotrony II • Poloměr je určen : • r = mv/qB •  = v/r = qB/m  • f = /2 = qB/2m • frekvence fje naladělna na částice s určitým specifickým nábojem. Jejich konečná energie závisí na počtu průchodů mezerou.