전자의 존재 전자의 분류 (classification) 및 거동 양자역학의 기초 통계역학 페르미준위 띠 이론 (Band theory)

1. 전자의 물리화학적 성질 • 전자의 존재 • 전자의 분류(classification) 및 거동 • 양자역학의 기초 • 통계역학 • 페르미준위 • 띠 이론(Band theory)

2. 전자의 존재 1.전자의 존재 • 소립자의 일종으로 물질을 구성하는 가장 작은 요소 • 크기에 대해서는 고전적으로 산출한 값을 도입 • 전자의 정지질량(靜止質量)=mo 아인슈타인의 식으로부터 전자가 가진 에너지 εo는 • εo=moC2. 여기서 C는 빛의 속도이다. • 전자의 전하q,거리 r의 위치에 만드는 전위 • Φ=q/4πεor 여기서 εo는 진공의 유전율 • 전위 Φ에 있어서 전하q가 갖는 에너지 εc는 Φq로부터 εc=q2 /4πεor

3. 전자의 반경 • . 만약 전자의 전하가 수학적인 영점으로 집중(r→0)하고 있다면 • 그 에너지는 무한대로 되고 식 εo=moC2로부터 질량이 무한대가 되지 않으면 안된다. • 식 εc=q2 /4πεor 로 표현되는 에너지 εc가 식 εo=moC2의 에너지 εo와 같게 되도록 전하가 분포하여 있다고 하면 전자의 전하 반경은 => r=q2 /4πεomoC2 =2.82 X 10-13cm • 일반적으로 이것을 "고전전자반경"이라고 한다. 이는 사람의 눈으로 볼 수 있는 가시광의 파장 10-5cm의 범위로서는 볼 수 없다.

4. 전자의 기능 • Determination of chemical properties • Nature of the inter-atomic bonding -mechanical & strength character. • Control the size of the atom -electrical conductivity -thermal conductivity • Influence the optical characteristics

5. 2.전자의 분류 및 거동 • 전자물성론=>전자가 가지고 있는 물리현상과 효과 및 그것에 의한 물질의 성질을 취급하는 학문의 영역 • 전자의 분류 - 자유전자(free electron) - 전도전자(conduction electron) - 속박전자(bound electron)

6. 전자의 분류 • 자유전자= 진공 또는 기체중을 자유롭게 운동하고 있 는 전자  자유전자현상 • 전도전자= 물질내을 자유롭게 운동하고 있는 전자  전도전자 물성 • 속박전자= 원소에 속박되어 있는 전자 속박전자물성(쌍극자 물성)

7. 전자의 거동 • 전기전도현상 = 전자의 이동시 전자가 운반하는 전하 을 중심 • 열전도 현상 = 전자가 운반하는 열에너지에 주목 • 발광 현상 = 전자가 가진 에너지가 광자(photon)의 발생으로 변환 • 강유전현상 = 전계의 인가 없이 전기분극을 가지는 경우 • 자성 = 자기 쌍극자의 배열과 크기에 의해 나타나는 현상

8. 3. 양자역학의 기초 양자역학의 기초 • 흑체복사(black body radiation) • Planck’s Law • 광전효과(photoelectric Effect) • Louis de Broglie의 학설

9. 흑체복사(black body radiation) 흑체복사(black body radiation) • 가열된 고체는 전자기복사선을 방출 • 높은 온도에서는 이 복사선의 상당한 분율이 가시영역의 스펙트럼에서 나타남 • 온도가 높아 질수록 푸른빛을 내는 단파장의 분율이 커짐 • 예=> 빨갛게 가열된 물체를 더 가열했을 때 흰 빛을 내놓는 것

10. The energy per unit volume per unit wavelength range in a black-body cavity at the several temperature.

11. 흑체(black body)? • 이 곡선은 모든 파장의 복사선을 공평하게 방출하기도 하고 흡수하기도 하는 이상적인 방출제가 내놓는 복사선을 나타낸 것이다. • 이와 같이 모든 파장의 복사선을 흡수하기도 하고 방출하는 이상적인 물체를 => 흑체 • 온도가 올라갈수록 봉우리의 파장값이 작아지고 단파장쪽의 꼬리가 전체가시영역에 더 많이 퍼져 들어간다는 것을 나타냄

12. Wien's Displacement Law & Rayleigh-Jean’s Theory • λmaxT= constant • Rayleigh-Jean의 법칙을 제안하였다. dU=ρdλ ρ=8πkT/λ4 - U =전자기장이 갖는 단위부피당의 총 에너지인 전체에너지 밀도 - ρ = 단위파장당 단위 부피의 에너지.

13. Rayleigh-Jean’s theory의 오류 • 큰 파장과 낮은 진동수에서는 대단히 잘 맞지만 높은 진동수에는 전혀 맞지 않는다. 즉 λ가 감소됨에 따라 ρ가 한없이 증가하여 극대점을 나타내지 않는다. • 전자기파의 높은 진동수의 영역에서는 다량의 에너지가 축척된다는 것 • 어둠속에서도 물체가 밝게 보여야 하는 것, 어둠이란 없어야 하는 터무니 없는 결과가 나오게 된다.

14. 1.3.2 Planck의 분포식 Planck’s Law • 물체로부터 전자기 복사선이 방출 또는 물체로 흡수되는 경우에는 그 전자기 복사선의 에너지가 불연속적인 값들만 가지며 임의로 변화될 수 없다. 즉 불연속적이라는 이론을 제시하였다. • 이와 같이 에너지가 불연속적인 값들만을 갖는 것을 => 에너지의 양자화

15. 에너지의 양자화 및 Planck 상수 • 전자기복사선의 진동수가 ν인 경우 에너지는 hν의 어떤 정수배가 되는 에너지만을 가질 수 있다는 것이다. • 여기서 h => Planck의 상수 • 에너지 양자의 크기 E=nhν, h=6.626 × 10-34J/Hz

16. Planck의 분포식 • Planck는 Wien의 법칙이 흑체복사의 실험과 일치하지 않음 • Rayleigh-Jean의 식을 조금 수정하면 실험 결과와 일치한다는 사실을 알게 됨. • λ로부터 λ+dλ까지의 영역에서의 에너지 밀도는 다음과 같은 Planck의 분포식으로 주어진다. dU=ρdλ ρ=8πhC/λ5{1 /ehc/λk/T-1} • 분모항은 Maclaurin급수를 적용하면, ehc/λkT-1≈1+ch/λkT +……… -1 성립 • 분포식은 ρ= 8πch/λ5 ·λkT/ch = 8πkT/λ4 • 이와 같은 결과는 Planck의 상수 h가 대단히 작은 까닭에 기인하며 보통의 경우에는 그 양자를 막대한 수로 취급하게되므로 복사에너지를 연속적인 것으로 착각하게 되었던 것이다.

17. Theoretical attempts to account for black-body radiation.(Rayleigh-Jean vs Planck)

18. 광전효과(photoelectric Effect) 광전효과(photoelectric Effect) • 광전효과 => 단색광이 진공중에 놓인 금속판 표면에 입사되면 금속내의 전자가 광에너지를 흡수하여 진공으로 나오게 되는 현상 • 가열된 물체에서 복사는 불연속적인 단위인 양자의 단위로 이루어진다는 Planck의 가정에 따르면 진동수 ν의 진동자는 0, hν, 2hν등의 에너지 값들만을 가질 수 있으므로 이 진동수의 빗살은 각각 hν의 에너지를 갖는 알맹이 0, 1, 2,...개로 된 것이라고 볼 수 있다. 이에 따라 그곳에 도달하는 광자의 수가 E/hν라야 한다.

19. Einstein의 상대성 이론 • 1905년 Einstein은 빛의 불연속적인 성질 즉 양자화 성질을 증명하는 학설을 제시. • E=hν=mc2, c=νλ • 즉 빛의 에너지는 질량 m인 알맹이의 빛의 속도의 제곱과 질량m을 곱한 것으로 표현하고 이러한 알맹이들을 광자(photon)또는 광양자(light quantum)라고 하였다. • 따라서 만일 이 빛이 어떤 영역으로 에너지 E를 운반해간다면 그곳에 도달하는 광자의 수가 E/hν라야 한다.

20. 문턱진동수 및 양자화 • 금속내의 전자가 광자와 충돌하여 hν인 에너지를 얻어 금속 표면의 전위장벽 Φ[V]를 뛰어 넘어 금속외부로 나오게 된다. • 이 전위장벽Φ[V]는 사용한 특정 금속의 특성을 나타내는 것이며 이 전위에 전자의 전하e를 곱한 양 즉 eΦ는 금속으로부터 진공으로 전자가 탈출하는데 필요한 최소에너지 • 따라서 광전효과가 나타나기 위해서 조사되어야 하는 빛은 특정한 진동수이상의 진동수를 갖는 것이어야 하며 이 진동수 => 문턱진동수 • 이 광전효과는 빛의 입자성을 주장한 Planck의 가설이 옳음을 나타내는 현상이다.

21. Niel Bohr의 모형 • 1913년 NielsBohr는 Planck의 가정을 도입하여 원자모형을 설명하는데 성공 • Niel Bohr의 모형 • => 전자는 원자핵사이에 전자기학 법칙에 따른 쿨롱의 힘이 작용하고 이 쿨롱의 힘은 전자의 회전에 의한 원심력과 평형을 이룸. => 전자는 원자핵의 주위에 궤도의 안정성을 유지하기 위해서 각 운동량이 h/2π의 정수배에 해당하는 윈궤도을 가져야 한다. • Bohr는 성공적으로 원자모형을 설명하였지만 전자가 왜 어떤 고정거리를 두고 핵주위의 궤도를 돌고 있는가를 설명할 수가 없었다.

22. Louis de Broglie의 학설 Louis de Broglie의 학설 • 만일 빛의 파동이 입자 즉 광양자의 흐름과 같이 행동한다면 입자 역시 파동의 성질을 가질 수 있을 것. • 핵에 속박된 전자도 정상파(standing wave)와 같이 행동. • 즉 de Broglie의 추리는 파동은 입자와 같이 행동할 수 있고 입자는 파동성질을 나타낼 수 있다는 결론에 도달하였으며 입자와 파동은 다음과 같은 관계가 있다고 추론하였다. • λ=h/mu -여기서 λ= 입자의 파장, m=입자의 질량, u=입자의 속도 • 입자는 파동과 같이 다루어 질 수 있고 그리고 파동은 입자의 성질을 나타낼 수 있음을 나타낸다.

23. Louis de Broglie의 추론(1)

24. Louis de Broglie의 추론(2) • 전자는 어떻게 핵으로 부터 일정한 궤도에 존재하게 되는가? • 수소원자의 전자가 정상파와 같이 파동의 특성을 지니고 있다면 파동의 길이는 정확히 궤도의 원주와 맞아야 한다는 것이다. 즉 가능한 궤도의 원주(2πr)와 전자의 파장(λ)간의 관계식은 2πr= nλ가 성립되어야 한다. 여기서 λ는 전자파의 파장이며 n=1, 2, 3, …으로 n가 정수이기 때문에 n값이 1에서 2, 3 등으로 증가할 때는 궤도의 반경 r은 특정한 값 즉 반드시 양자화 되어야 하는 것이다.

25. 전자 궤도의 반경의 양자화

26. 전자의 입자성과 파동성(1) • 전자는 Planck및 Einstein의 학설에 따라 입자성을 가지며 de Broglie의 추론에 따른 파동성도 갖는 것으로 결론. • 일반적으로 입자성과 파동성의 일면만을 고려할 경우는 고전론이고, 양자론은 이 이중성을 함께 고려 • λ=h/mu에 나타나는 물질파의 파장보다 충분히 길때는 전자을 입자로 취급. -이에 대해 파장과 거의 같은 정도이거나 그것보다 적을 때에는 파동으로 취급. -구체적인 예로서 일반적으로 전자관에서는 전자를 입자로 취급하고 대단히 얇은 전위 장벽이 관여하는 터널 다이오드(tunnel diode)에서는 파동으로 취급해야 한다.

27. 전자의 입자성과 파동성(2) 통상 전자의 물리적 특성의 설명에 있어서는 전자의 입자성에 중점을 두고 설명하는 경우가 많으며 특히 중요한 부분을 제외하고는 전자의 파동성은 직접적으로 고려하지 않고 있다.

28. 4. 통계역학 • 각종 매질 내에 있어서 전자, 이온, 음자 등의 입자성을 가진 것이 관여하여 어떤 물리현상이 일어나게 되는 경우 결정적인 1개의 입자에 의한 것이 아니고 대단히 많은 입자에 의하여 일어나게 되는 것이다. • 그러므로 입자의 집단을 대상으로 하는 해석법이 필요하며 이을 위한 것이 통계역학. • 통계역학으로서는 어느 입자의 운동이나 상호작용을 취급하는 것이 아니라 많은 입자들의 가장 가능한 분포법칙으로부터 임의의 시간에 어떤 위치에서 어떤 운동을 하는가를 알아보는데 있다.

29. 통계역학 적용의 분류 • 적용되는 대상 입자에 따라 분류 • Maxwell-Boltzmann분포법칙 • Bose-Einstein 분포 법칙 • Fermi-Dirac분포 법칙

30. Maxwell-Boltzmann분포법칙 • 임의의 온도에서 기체분자나 원자에 적용. • 밀도가 적거나 높은 온도에서 큰에너지 를 가진 입자의 분포에 적용 • 스핀 양자수를 갖는 입자들이 멀리 떨어져 있을 때는 상호작용이 없으며 또한 이들을 구별할 수 있을 때 이런 입자들의 평균값의 결정시에 적용.

31. Maxwell-Boltzmann분포함수

32. Bose-Einstein 분포 법칙 • 흑체 복사에서 나오는 광양자에 적용하며, 이 분포 법칙을 만족하는 입자를 Boson이라 한다 • 이 법칙은 같은 입자나 스핀 양자수가 0 또는 정수이고 서로 구별할 수 없는 입자의 평균값을 구할 때 적용된다.

33. Bose-Einstein 분포 함수

34. Fermi-Dirac분포 법칙 • 금속 내의 자유전자에 적용. • 같은 입자로 스핀 양자수가 1/2이며 서로 구별할 수 없는 입자의 평균값을 구할때 적용. • 금속 내의 전기적 성질, 반도체의 성질 및 고체의 비열을 자유 전자 이론으로 설명하는 데 이용된다.

35. Fermi-Dirac분포 함수

36. 각 분포 함수 및 분포식

37. NOTATION • 1. • 2. ni= 에너지가 Ei인 입자들의 수 • 3. Si = 같은 에너지 Ei를 가진 양자 상태 (cell)의 수. • 4. => 에너지 Ei를 가진 양자 상태의 점유계수라 불리는 분포함수 • 5. 상태밀도=위치 에너지가 일정한 상자 속에 갇혀 있는 입자의 단위 에너지당의 허용 상태 수

38. 분포함수의 비교 • Boltzmann의 분포로 표현되는 기체의 에너지 분포에서는 몇 개의 분자가 같은 에너지 상태를 가질 수 있음. • 전자에너지의 경우에는 단지 두개의 전자만이 같은 에너지 상태를 점유가능. Boltzmann의 분포로 표현 불가능

39. a=0이고 E≫kT 일때 , PBE =>PMB와 같게 됨. • E≪kT일 때는, PBE의 분모에서 -1을 무시할 수 없음 • PFD에서 분모를 라하고 E≫kT라 하면, PFD=>PMB로 됨. • 0[K]에서 PFD의 값은 Fermi에너지 EF값까지 1이 되며 1보다 큰 값을 가질 수는 없다. • 그러므로 밀도가 적거나 높은 온도에서 큰 에너지를 가진 입자는 M-B 분포로 되며 이 경우 모든 분포 함수는 M-B 분포 함수로 된다.

40. 1.6 페르미 준위 5. 페르미 준위 • 금속이나 반도체 내의 전자는 Fermi-Dirac 통계에 의하여 지배 • 일반적으로 Fermi-Dirac 통계가 적용되는 입자 => Fermi 입자(Fermion) • Fermi 분포 함수에 포함되는 정수 α 및 β에 의하여 다음과 같은 Ef를 정의할 때, 이것을 Fermi 준위(Fermi level)라 부른다.

41. 낮은 에너지준위상태가 우선 채워지고 0K에서 채울 수 있는 가장 높은 에너지 준위 => Fermi 준위(Fermi level =(Ef)) -즉, 0K에서 Ef이상의 채워진 에너지준위는 없다. 반면에 Ef이하의 모든 에너지준위는 채워져 있다.

42. Fermi분포함수 의 이해 • Fermi level은 에너지의 차원을 갖는 양으로 온도에 따라 변화. Fermi 분포를 ( PFD)를 다시 쓰면 • T가 영이 아니고 E=Ef인 경우 위 식의 PFD는, • 즉, T≠0의 경우에는 Fermi준위에 있는 입자의 점유율은 1/2로 됨=> T=0에서는 PFD로부터 다음과 같은 관계가 성립함

43. 온도 변화에 따른 Fermi분포합수 • 따라서 0[K]에서 입자가 • 가질 수 있는 최고 에너지는 => Fermi준위와 같게 됨. • 0K에서 채울수 있는 가장 높은 에너지 준위 • => Fermi level • 온도가 높아질수록 Fermi준위는 감소하지만 상온에서의 Fermi준위는 0[K]에서의 Fermi준위와 큰 차이가 없다.

44. Fermi level의 변화 • 위치 에너지가 일정한 상자 속에 갇혀 있는 입자의 단위 에너지당의 허용 상태수 즉, 상태밀도는 다음과 같이 된다 • 여기서 V는 상자의 체적이다. 상기식과 를 Fermi분포의 상태밀도식에 대입하면 다음의 에너지 분포함수를 얻게 됨

45. 상태밀도 dS/dE, Fermi분포 함수 PFD및 에너지 분포 함수 dN/dE 에너지 변화에 따른 상태밀도 dS/dE, Fermi분포 함수 PFD및 에너지 분포 함수.

46. 축퇴(degenerate)분포함수 • T=0의 경우 에너지 분포 함수는 • 과 로 부터 다음과 같이 얻어진다. 이를 축퇴(Degenerate)분포함수

47. 축퇴(degenerate)분포함수

48. 상자속 입자의 총수 • 즉, 입자밀도 N/V는 Fermi준위 Ef의 3/2승에 비례한다. • 상자의 체적이 일정한 경우에는 입자의 수가 증가하면 Fermi준위도 증가한다.

49. 온도가 높아질수록 Fermi준위는 감소하지만 상온에서의 Fermi준위는 0[K]에서의 Fermi준위와 큰 차이가 없다. • 반도체에서와 같이 입자의 수가 온도에 따라 변화할 경우에는 Fermi준위는 온도에 따라 변화한다.

50. Fermi 준위의 계산(T=0K) • 따라서 Fermi준위 Ef는 체적 V=1일 때, • 로 부터