LIMITE DE UMA FUNÇÃO II

1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO II Nice Maria Americano Costa Pinto

2. LIMITES À ESQUERDA E À DIREITA Se a função f(x) tende ao limite b1, quando x tende ao valor a por valores inferiores a a, diz-se que b1 é o limite à esquerda de f, e escreve-se Se a função f(x) tende ao limite b2, quando x tende ao valor a por valores superiores a a, diz-se que b2 é o limite à direita de f, e escreve-se Se os limites à esquerda e à direita da função f(x) existem esão iguais, isto é, se b1=b2=b, então b é o limite de f(x), quando x→ a. Inversamente, se f(x) tem limite b em a, então os limites à esquerda e à direita da função são iguais a b

3. Limite de f(x), x infinito A função f(x) tende a um limite b, quando x , se, para todo número >0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um número N, tal que, para todo x verificando x>N, tem-se a f(x)-b<  satisfeita. Por exemplo, a função tem limite 1, para x , isto é De acordo com a definição, temos que mostrar x>N, se Portanto, temos que determinar N a partir de . Vejamos.

6. FUNÇÃO TENDENDO AO INFINITO Esta situação é distinta da anterior, pois examinaremos a situação da variável x tendendo a um número finito e a função f(x) tendendo ao infinito. A função f(x) tende ao infinito quando x a, se, para número positivo M, tão grande quanto ele seja, pode-se encontrar um >0, tal que, para todos os valores de x diferentes de a que verificam a condição x-a< , a inequação f(x) >M é satisfeita. Se f(x) tende ao infinito assumindo valores negativos ou positivos, diz-se, respectivamente, que f(x) tende a -, + . Exemplo

8. FUNÇÃO LIMITADA Definição: A função y= f(x) é dita limitada no domínio de definição de x, se existe um número positivo M, tal que, para todos os valores de x pertencendo a este domínio, tem-se que |f(x)|M. Exemplo: y=f(x)= senx é limitada, pois, para -<x<+, está |f(x)|1. Definição: A função y= f(x) é dita limitada quando x→a, se existe uma vizinhança de centro em a, dentro da qual a função é limitada. Definição: A função y= f(x) é dita limitada quando x→, se existe um número N>0, tal que, para todos os valores de | x |>N, a função é limitada.

9. Infinitamente pequenos Definição: Diz-se que =(x) é um infinitamente pequeno, quando x→a ou x→, se lim (x)=0, quando x→a. Então, pela definição de limite, vemos que para todo>0, existe um >0, tal que, para todo x satisfazendo|x-a|< , tem-se |(x)|< . A função =(x-1)2é um infinitamente pequeno quandox→1, pois lim (x-1)2, quando x→1 é 0. Igualmente, =1/x é um infinitamente pequeno quandox→, pois lim 1/x=0 Teorema: Se uma função y=f(x) pode ser posta na forma da soma de um número b com um infinitamente pequeno(x), y=b + (x), então lim f(x)=b, quando x→a. Inversamente, se lim f(x)=b, quando x → a então, pode-se escreverque y=f(x)=b+ (x), ou seja, a função y é dada pela soma de seu limite b com um infinitamente pequeno.

10. Demonstração: Se por hipótese y=b + (x), então, podemos escrever y-b= (x) e |y-b|=| (x) |. Como(x) éum infinitamente pequeno, tem-se | (x) |<, logo, |y-b|=| (x) |<, O que é a condição para b ser lim f(x). Exemplo: A função y=1+1/x. 1/x é um infinitamente pequeno quando x →; lim y=1, quando x →. Então y pode ser escrita como a soma de seu limite com um infinitamente pequeno, y=1+

11. Teorema 1: A soma algébrica de um número finito de infinitamente pequenos é um infinitamente pequeno. Teorema 2: O produto de um infinitamente pequeno por uma função limitada é um infinitamente pequeno quando x →a ou x →  Teorema 3: O quociente de um infinitamente pequeno, (x), por uma função, z(x), cujo limite é diferente de zero é um infinitamente pequeno, i. e., (x)/ z(x) é um infinitamente pequeno .

12. Teoremas fundamentais Teorema. O limite da soma algébrica de duas ou mais funções é igual à soma dos limites dessas funções. lim (u1+u2)= lim u1+lim u2 Demonstração:

13. Teorema 2. O limite do produto de um número finito de funções é igual ao produto dos limites dessas funções. lim (u1(x) u2(x) ..un (x))= lim u1.lim u2.limun Demonstração (para duas funções):

14. Teorema 2. O limite do quociente de duas variáveis é igual ao quociente dos limites dessas variáveis. lim (u/v)= lim u/lim v Demonstração:

15. Exemplos

16. C M x A O B

17. Continuidade das funções Seja y=f(x) uma função definida para o valor x0e numa certa vizinhança de x0; seja ainda y0=f(x0). Se à variável x damos um acréscimo x, passando do ponto x0 para x0+ x, a função também sofrerá um acréscimo y, dado por y=f(x0+ x)-f(x0) y=f(x) é dita uma função contínua em x=x0, seela é definida em x=x0 e numa certa vizinhançade x0eainda se

18. Teorema. Toda função elementar é contínua no ponto em que ela está definida Se uma das condições de continuidade não for satisfeita, i.e., se a função não está definida em x0, ou, se o lim f(x), quando x →x0 não existe, a função é dita descontínua em x0, ou, que há uma descontinuidade em x=x0 Exemplos

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