ORIENTOVANÉ GRAFY

1. ORIENTOVANÉ GRAFY • V této části se seznámíme s následujícími pojmy: • orientovaný graf (OG), orientovaný multigraf, prostý/obyčejný OG, zrušení/zavedení orientace, opačná orientace • spojení, orientovaný tah, orientovaná cesta, cyklus, silně souvislý OG, silná komponenta, kondenzace OG • vstupní/výstupní stupeň uzlu, množina následníků / předchůdců uzlu • Skripta odstavec 2.2, strana 28 - 33

2. Co je to orientovaný graf ? G = H, U,  • : H  U  U (množina uspořádaných dvojic) • (h) = (u, v) ... počáteční / koncový uzel hrany h • u je následník uzlu v, v je předchůdce uzlu u • (h1) = (h2) ... rovnoběžné hrany => multigraf hranygrafuG uzlygrafu G incidence prostýorientovaný graf = graf bez rovnoběžných hran, tzn. hranu určují její krajní uzly =>  je zbytečné, G = H, U obyčejný orientovaný graf = prostý OG bez smyček Orientované grafy

3. Jinými slovy ... Hrany v OG jsou orientované, tzn. pořadí uzlů je významné. zrušení orientace zavedení orientace opačná orientace Orientované grafy

4. Jeden malý trik ... • Následující pojmy z neorientovaných grafů lze přenést do orientovaných grafů tak, že je uvažujeme na grafu vzniklém zrušením orientace: • sled (otevřený / uzavřený), složení sledů, tah, cesta, kružnice, • souvislý graf, • komponenta grafu, strom, kostra grafu • Další pojmy lze zavést pro orientované grafy analogicky jako pro neorientované grafy: • podgraf, faktor, indukovaný podgraf • operace s grafy (sjednocení, průnik, rozdíl, symetrická • diference a doplněk), disjunktní a hranově disjunktní grafy, • konečný / nekonečný graf, izomorfismus grafů Orientované grafy

5. a a b b c c e e f f d d ? Tak proč vůbec orientovat hrany ? Spojení (délky n) v orientovaném grafu G z uzlu u do uzlu v: S = u0, h1, u1, h2, …, hn, un, kde (hi) = (ui-1, ui), u0 = u, un = v • orientovaný tah- spojeníbez opakovaných hran • orientovaná cesta– spojení bez opakovaných uzlů ( ani hran) • otevřenéxuzavřené spojení (orient. tah, orient. cesta) • cyklus– uzavřená orientovaná cesta Spojení délky 10 z uzlu a do uzlu b (a  b):  a, (a,b), b, (b,e), e, (e,a), a, (a,b), b, (b,c), c,(c,f), f, (f,b), b, (b,e), e, (e,a), a, (a,b), b Orientované grafy

6. a b c e f d a b c e f d POZOR – spojení a sled v OG Spojení délky 3 z uzlu a do uzlu f (a  f):  a, (a,b), b, (b,c), c, (c,f), f Sled délky 3 z uzlu a do uzlu f (a  f):  a, [a,b], b, [b,e], e, [e,f], f (jako kdybychom zrušili orientaci) Tento graf je souvislý. Orientované grafy

7. a b c e f d Silně souvislý orientovaný graf G - pro každou dvojici uzlů u,v existují spojení jak z u do v tak i z v do u (uv&vu) Spojení: a  fANOf  aNE c  dNEd  cNE e  ...NE ... aNE  graf nenísilně souvislý Podmnožiny vzájemně propojitelných uzlů: {a}, {b,c,f}, {d}, {e} Silná komponenta= maximální silně souvislý podgraf a b c e f d Orientované grafy

8. a b c e f d Co dalšího lze říci o silně souvislých grafech? Následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1) G je silně souvislý orientovaný graf 2) G je souvislý a každá jeho hrana je v (nějakém) cyklu 3) pro každý rozklad {U1, U2} množiny uzlů existují hrany U1 U2 a U2 U1 D:1  2  3  1 Podmnožiny vzájemně propojitelných uzlů: {a,b,c,d,e,f}  graf jesilně souvislý(tzn. je tvořen jedinou silnou komponentou) Orientované grafy

9. Důsledek: Když z grafu odebereme všechny silné komponenty, vznikne podgraf, který nemá žádné cykly ani hrany z nějakého cyklu původního grafu. G' = G-( Gi), Gi - silné komponenty grafu G G' je bez cyklů Základem silných komponent jsou cykly! Kondenzace O.G. - silná komponenta se stane uzlem +hrany Orientované grafy

10. Stupně a sousedi uzlů v orientovaném grafu G: • výstupní stupeň+(u)– kolik hran vystupuje z uzlu u • (je-li +(u)=0  u je list grafu G) • vstupní stupeň-(u)– kolik hran vstupuje do uzlu u • (je-li -(u)=0  u je kořen grafu G) • (u) - množina následníků uzlu u • 1(u) - množina předchůdců uzlu u Lze něco zjistit o stupních ?? = |H| = Vysvětlení: Každá hrana přispívá +1 výstupnímu stupni svého počátečního uzlu a +1 vstupnímu stupni svého koncového uzlu. Orientované grafy

11. Kontrolní otázky • Bude graf vzniklý zrušením orientace libovolného obyčejného orientovaného grafu obyčejným neorientovaným grafem ? • Je možné, aby byl silně souvislý nějaký orientovaný graf, jehož všechny uzly mají vstupní stupeň rovný nule ? • Orientovaný graf G vznikl jako sjednocení několika cyklů. Je graf G silně souvislý ? • Kolik silných komponent má orientovaný graf G = H,U,, který neobsahuje žádný cykl? • Jaký je minimální počet hran silně souvislého orientovaného grafu s n (2) uzly ? • Pokuste se formulovat nutnou a postačující podmínku pro to, aby orientovaný graf G obsahoval nekonečně mnoho spojení z uzlu u do uzlu v. • Jaký je minimální počet hran orientovaného grafu, který má n (3) uzlů a k (2  k  n-1) silných komponent ? • Souvislý orientovaný graf G obsahuje aspoň dva uzly a má konečně mnoho různých spojení. Může být tento graf silně souvislý ?

12. Orientované grafy a binární relace • V této části se seznámíme s pojmy: • acyklický graf, testování acykličnosti, topologické uspořádání uzlů/hran orientovaného grafu • graf binární relace na množině, graf složení relací, složení grafů, tranzitivní uzávěr grafu • Skripta odstavec 2.2, str. 33 - 36 Orientované grafy

13. Jak nejlépe testovat, zda je graf acyklický ? ??? Hledáním cyklů ??? Zjištění: Pokud pro uzly orientovaného grafu G platí uU: (u)1 nebo uU: (u)1 , potom graf G obsahuje alespoň jeden cyklus. cyklus! Co víme:silně souvislý graf má každou hranu v nějakém cyklu Jak vypadá opačný extrém ? Acyklický graf= orientovaný graf bez cyklů nesplňuje podmínku (u)  1 nesplňuje podmínku +(u)  1 Orientované grafy

14. Nové zjištění: Orientovaný graf G je acyklický  G - {u} je acyklický pro libovolný kořen nebo list u. Teď už můžeme formulovat ALGORITMUS TESTOVÁNÍ ACYKLIČNOSTI Naše zjištění představuje podmínku postačující, nikoliv nutnou! Pro testování acykličnosti se nehodí. nemá ani kořen ani list ! Orientované grafy

15. a b c e g h d f Tyto akce NELZE reálně naplánovat. Proč? Odpovídající graf není acyklický Topologické uspořádání uzlů(obyčejného) orientovaného grafu je posloupnost u1, u2, ..., un taková, že každá hrana (ui, uj) má i<j. Topologické uspořádání hran (obyčejného) orientovaného grafu je posloupnost h1, h2, ..., hm taková, že každá dvojice navazujících hran hi, hj má i<j (co jsou to "navazující" hrany ?) Plánujeme pořadí provádění nějakých akcí, např.: a<b, a<c, b<d, c<d, d<e, d<f, e < g, e < c, f < h, g < h K čemu je dobrý acyklický graf ? Orientované grafy

16. Budeme postupně odebírat kořeny grafu (-(u)=0) jako při testu acykličnosti. Jak to efektivně zařídit ? • pro každý uzel spočítáme • -(u) ... vstupní stupeň (je-li =0, je to kořen) • (u) ... množinu následníků • při každém vypuštění kořene upravíme -(u) pro jeho • následníky, při poklesu na 0 zařadíme mezi kořeny. • Pořadí odebrání uzlů je jejich topologickým uspořádáním. Jak bychom našli topologické uspořádání uzlů ? ! Později uvedeme ještě jednodušší algoritmus ! Orientované grafy

17. Vztah orientované grafy :: binární relace Binární relace na množině X : R  X  X Prostý OG s množinou uzlů U : H  U  U (orientovaný) graf binární relace R ... GR : h = (u, v)vyjadřuje platnost u R v Složení grafůGR  GS = GRS (RE), (SY), (TR), (ANS), (AS), (IR) - jak se projeví v grafu ?? Tranzitivní uzávěr grafu G Orientované grafy

18. Kontrolní otázky • Navrhněte algoritmus topologického očíslování hran acyklického orientovaného grafu. • Zdůvodněte, proč pro testování acykličnosti (resp. hledání topologického uspořádání uzlů) orientovaného grafu stačí vypouštět jenom kořeny (nebo jenom listy). • Je topologické uspořádání uzlů (hran) orientovaného grafu určeno jednoznačně ? • Kolika různými způsoby lze orientovat úplný neorientovaný graf o n uzlech Kn tak, aby byl výsledný graf acyklický ? • Popište strukturu obyčejného orientovaného grafu s n uzly, který má pro danou hodnotu k (1  k  n-1) přesně k! . (n-k)! různých topologických uspořádání uzlů. • Popište strukturu grafu binární relace, která je reflexivní (resp. symetrická, antisymetrická, asymetrická, tranzitivní, ireflexivní). Orientované grafy

19. spojové další ... maticové REPREZENTACEGRAFŮ • V této části se seznámíme s pojmy: • matice incidence NG/OG, matice sousednosti NG/OG • (základní) spojová reprezentace NG/OG • Skripta odstavec 4.1, str. 64 - 73 Reprezentace grafů, odst. 4.1

20. a d e b c 2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 5 4 0 0 1 1 0 0 0 6 3 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 7 ? Co námříká matice incidence o grafu ? ? Smyčky, rovnoběžnéhrany ? Matice incidence NG A= [ aik]obdélníková matice typu |U| x |H| nad tělesem mod 2 (pozor na základní operace!) 1 .... hrana hk inciduje s uzlem ui aik = 0 .... jinak 1 5 2 6 3 7 4 a b c d e Reprezentace grafů, odst. 4.1

21. Poznáme podle matic incidence, zda jsou dva grafy izomorfní? Např.: G1 G2?? právě když ??A1 A2 • Zjištění: • součet (mod 2) ve sloupci je 0 (vždy dvě jedničky!)  • řádky jsou lineárně závislé, takže hodnost matice A ... • h(A)  |U| - 1 (rovnost platí pro souvislé grafy) • h(A) = |U| - p obecný vztah pro graf s p komponentami Reprezentace grafů, odst. 4.1

22. a d e b c 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 ? Co námříká matice sousednosti o grafu ? ? Smyčky, rovnoběžnéhrany ? Matice sousednosti NG V= [vij]čtvercová matice typu |U| x |U| nad okruhem celých čísel: vij =počet hran mezi uzlyui a uj a e b c d a b c d e Reprezentace grafů, odst. 4.1

23. Poznáme podle matic incidence, zda jsou dva grafy izomorfní? Např.: G1 G2?? právě když ??A1 A2 • Zjištění: • V = VT • Vr = [vik(r) ] ... počet sledů délky r mezi ui a uk • A . AT = V + D, D= [ dii], kde dii= (ui) Reprezentace grafů, odst. 4.1

24. a d e b c 2 1 1 0 0 0 -1 0 0 -1 1 1 0 0 0 -1 5 4 0 0 -1 1 0 0 0 6 3 0 0 0 0 1 -1 1 0 -1 0 -1 0 1 0 7 Vlastnosti podobné jako pro NG Matice incidence OG A= [ aik]obdélníková matice typu |U| x |H| nad okruhem celých čísel: 1 ... hrana hk vychází z uzlu ui aik = -1 ... hrana hk končí v uzlu ui 0 ... jinak 1 5 2 6 3 7 4 a b c d e Reprezentace grafů, odst. 4.1

25. a a e e b b c c d d b e d a c a a b b c c 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 d d 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 e e 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 ? Poznáme izomorfní orientované grafy ? ? V = VT? Matice sousednosti OG V= [vij]čtvercová matice typu |U| x |U| nad okruhem celých čísel: vij =počet hran z uzluui do uzlu uj Reprezentace grafů, odst. 4.1

26. Zjištění: • Vr = [vik(r) ] ... počet spojení délky r z ui do uk • V* =  Vi , i=0, ... d, kde d = min(|H|, |U|-1) • ?? Co asi říká o grafu tato matice V*?? • A . AT = D - V - VT , D= [ dii], kde dii= +(ui)+ -(ui) Reprezentace grafů, odst. 4.1

27. Spojová reprezentace grafu NG - seznamy sousedů OG - seznamy následníků (příp. ještě seznamy předchůdců) Adj[u]: 1 2 3 |U| Srovnání paměťové složitosti: NG A: |U|.|H| (bitů!) V: |U|.|U| (integer ? Boolean) Adj: |U| + 2.|H| OG Adj: |U|+|H| Reprezentace grafů, odst. 4.1